平面几何，很有趣的！老封我报名要听课.

引用:

原帖由 黑发侠女 于 2007-3-11 15:35 发表
平面几何，很有趣的！老封我报名要听课

报名听平面几何课的同学，3月30日晚7时须参加一次免费的公开测试。
初中六、七、八、九年级的同学都可参加。
欢迎前来！.

原则和姜老师的小学班一样：按成绩择优录取。
所以明天不能缺考.

淡化平面几何的目的在于降低课程难度，但同时也意味着降低课程质量。数学无非研究的是数量和空间的问题，平面几何研究空间问题地基础课程，其最大的作用就是培养学生平面空间想象能力。培养的是一种感觉，而这种感觉往往可以通过解题，特别是有代表性的题过程中获得。如果降低要求，势必很多结论忽略，这样的学习是不系统的，对最终的质量可能有问题。最简单的说法，平面几何要求低，学得不好，到高中空间几何和解析几何学起来就困难，数形结合思想就弱，数学就白学。
但从另一方面看，平面几何对于初中生来说技巧性过强，没有通性通法，不易总结归纳，难题偏题较多，不符合一般教学规律。另外，平面几何的后继课程立体几何在高考中的地位也每况愈下，势必影响到平面几何的地位。而按数学的发展来看，公理--定理式的欧式平面几何其实际应用性已经越来越差，逐步将被越来越成熟的解析几何取代，而解析几何的跨学科能力（特别是在立体几何、物理中的应用）是平面几何无法替代的。所以有人提出淡化平面几何，用解析几何填补。
综合这两方面，在中学数学中解析几何的地位必然依旧稳固。是走从平面几何到解析几何的道路，还是走解析几何替代平面几何的路，现在有了分歧。.

引用:

原帖由 dean1128 于 2007-3-29 12:19 发表
淡化平面几何的目的在于降低课程难度，但同时也意味着降低课程质量。数学无非研究的是数量和空间的问题，平面几何研究空间问题地基础课程，其最大的作用就是培养学生平面空间想象能力。培养的是一种感觉，而这种 ...

在我看来，平面几何这门学科对学生平面或空间想象能力的培养作用倒是十分有限的，人类这方面的能力更多来自于生活实践。如果真要说空间想象能力，高中阶段的立体几何更具这方面的功能，所以现在教学改革中已将对空间的认识渗透到更早的阶段，例如小学，我觉得这是可行的。
    那么平面几何的作用究竟更主要的体现在哪些方面呢？
    我认为作用主要是两大方面：一是培养逻辑思维能力；二是培育人的美感。
    这两方面平面几何都有其无可替代的优势。
    张景中院士曾说过，学习平面几何的最佳年龄段是初中；过了这一年龄段，花费双倍的努力也未必能达到同样的效果！他还打了一个”狼孩“的比喻，说明人的智力开发是有其必然规律性的。我极认同张院士的这一真知灼见！
    在我看来，平面几何是不存在可替代性的。在科技发展的今天，电脑可以为人类提供无法想象的高效率，但在逻辑思维能力和美感培养这两个方面，电脑的作用与人脑相比在这两方面都还是暂时无法企及的。人们会越来越意识到几何思维对把握当今文明的重要意义。
    所以，加强几何会是今后教育发展的大势所趋。也许暂时，从国内教育现状中还难以体会到这种新变化，甚至还会在倒退的方向越走越远，但总有一日人们会意识到这样做所付出的惨重代价。
    从这点上说，西方发达国家又一次走在了我们前面，它们一反上个世纪抛弃平面几何的那些做法，喊起了”几何学万岁“的新口号。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-29 13:20 编辑 ].

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原帖由 dean1128 于 2007-3-29 12:19 发表
淡化平面几何的目的在于降低课程难度... 是走从平面几何到解析几何的道路，还是走解析几何替代平面几何的路，现在有了分歧。

如果是在一两个世纪前，讨论这两条路还是有意义的，因为的确这体现了两种不同的思维形式。但到了现在，解析几何的那些套路已经完全可以交给电脑来做。
所以，走哪条路就变得明显了：必须沿平面几何这条路坚定地走下去！.

◆叶先生您好：
恕我冒昧给您写信。半月前，在网上偶尔读到您的书评《平面几何中的小花》，十分钦佩您为数学科普所做的工作。也为现实的残酷而痛心。我也是一个数学爱好者，尤其偏爱几何学。种种原因，我仍在为生活而奔波，可我从来没有放弃对数学的执著追求，而且略有所得。得知好书《平面几何中的小花》、《平面几何中的小草》之出版，立即跑去购买。遗憾的是，跑遍整个市区大大小小书店，竟然没有买到！（可悲可叹）究其原因，都是“商品化、功利化”惹的祸。诚如您在答《科学时报》温新红的采访所言，真是国人之悲哀。
面对科普工作的现实，当然不可轻言放弃，有几句谬议，不吐不快，故写此信。
数学科普以出版图书方式困难很大。不如应用网络开展活动，其优点显而易见：传播范围广、速度快、对象众多。只要建立起一个专业网站，提出一些值得研究的问题，引导以正确的方法，吸引众多高手和爱好者来参与研究讨论，营造良好的氛围，以研究促科普，有望迎来《几何》的复兴。
首先，邀请一些知名专家、学者，给予多方面的支持，初步建立一个专业网站。内容一方面提供各种相关文献，以备参考查询。另一方面，提供一些研究课题、研究方法指导、研究工具。这方面我可以提供一些，不知道您以为如何。
我在用《几何画板》探讨平面几何问题时，发现了一些知识和值得研究的问题。例如，我发现三角形的一条重要的双曲线，它通过三角形的九个特殊点，三角形的三个顶点A1，A2，A3，三角形的垂心H，质心M，两个等角中心R和R′，三角形与其Brocard三角形的透视中心D，和另外一点E（它具有许多与点D平行的性质，是一个值得深入研究的点，见附录）。您知道，任意六点共一条二次曲线，就有60条Pascal线，60个Kirkman点，20个斯坦纳点，等等丰富性质。把它们算做一组，九点共一条二次曲线，将产生84组，其间的性质可能是无穷无尽的。更有意思的是这条双曲线的离心率e= ，为一常数。亦即各种三角形的这条双曲线都是相似的！随之而来的问题是，这条双曲线的参数性质及其与三角形的关系就值得深入研究了。
上述曲线，是另一个更一般的性质定理的特例。该定理是：任意一条直线上的点，关于一个三角形的等角共轭点的轨迹是该三角形的一条外接二次曲线，反之三角形任意一条外接二次曲线上的点，关于一个三角形的等角共轭点的轨迹是该三角形的一条直线。证明是解析的，略。我把该曲线称为直线的共轭二次曲线，该直线称为二次曲线的共轭直线。前述二次曲线（双曲线）是Brocard轴OK的共轭双曲线。
一些结论如下：
&        当直线是无穷远线时，它的共轭二次曲线是三角形的外接圆。
&        当直线与三角形的外接圆外离时，它的共轭二次曲线是三角形的外接椭圆。
&        当直线与三角形的外接圆外切（除去三角形的三个顶点），它的共轭二次曲线是三角形的外接抛物线。
&        当直线通过三角形的一个顶点时，它的共轭二次曲线退化为一条直线。
&        当直线通过三角形的两个顶点（即通过三角形的一边）时，它的共轭二次曲线退化为一点（边的对应顶点）。
&        当直线与三角形的外接圆其余情形的相割时，它的共轭二次曲线是三角形的外接双曲线。
这个定理揭示的是，任意三点共线（如欧拉线、IMN线）都有一条（六点）二次曲线（欧拉线、IMN线对应是双曲线A1A2A3 OKH，A1A2A3 IKN′）与之对应，它们的性质及其与三角形和共轭直线的关系值得研究。
对于等距共轭点也有完全类似的性质，也值得进一步研究。等角共轭点、等距共轭点的这些性质定理都是“对称的”，还有“反对称的”和“相关的”共轭二次曲线，等等。
这些研究直接揭示出圆锥曲线与三角形的内在联系，深入研究有可能打破《平面几何》、《解析几何》、《射影几何》之间的壁垒，建立起开放的几何学。
（一般位置的圆的等角共轭、等距共轭、“反对称”和“相关共轭”曲线是一些十分美丽的四次曲线，可以用来开展数学美育教育。）
对圆锥曲线的作图，一般只停留在利用辅助圆作图上，都没有做进一步的深入研究。我的看法是，反过来，把辅助圆看作圆锥曲线的特征圆，其性质就是圆锥曲线的性质，都值得深入研究。例如，我喜欢使用单圆法绘制圆锥曲线，不仅是因为其简单。更因为它直观反映了圆锥曲线的定义、性质，深入研究也有新发现：如双心二次曲线（椭圆和双曲线）的特征圆对径点切线与另外一心到对径点连线的中垂线相交在圆锥曲线的一条准线及其关于另一条准线的反射线上。各种圆锥曲线的作图法，也应揭示圆锥曲线的一些性质，值得研究（陶维林老师就有一些新发现，网上有述）。
这些研究直接揭示出圆与圆锥曲线的内在联系。
除了有关圆锥曲线性质的研究外，我在三角形的其它方面也进行了探讨，也有所得。例如，对于平面上任意一点，对一个三角形来说，都有三个对应旁点。如同三角形内心的三个旁心一样，对于三角形垂心H，外心O，两个等角中心R和R′，三角形两个Brocard点都有类似性质点：三个旁垂心H，三个旁外心O，六个旁等角中心R和R′，六个旁Brocard点它们的性质都值得研究。另外当这一点在任意一个圆上运动时，三个旁点轨迹也分别是三条二次曲线。
其它的，如推广的Simson线、三角形的特征平行四边形等等，在此不再罗嗦。
以上所述，是我利用《几何画板》闭门造车所得，真得感谢这个伟大的软件。上个月有幸购得您请单老翻译的《近代欧氏几何》受益匪浅，许多工作都得到了印证、深入和提高，在此对一并表示感谢。没有您和单老的工作和激励，我只能是个自娱自乐的逍遥人，有了您和单老，我也想为数学科普和复兴几何学做一点微薄工作，尽一点绵力，算做抛砖引玉吧。
以上建议不知当否，期盼您的教诲。
另外，没有您的联系方式，不知能否赐告。此致
敬礼
陈殿林二○○四年三月二四日于松花江畔
注：为了能与您和单先生取得联系，同文也另寄单先生，不知谁能收到。
附录，点E的性质：
1、        设三角形的第一Brocard三角形为B1B2B3，以三角形A1A2A3三边向外部做底角为ω的相似等腰三角形，三个等腰三角形顶点E1E2E3构成的三角形仍与原来三角形的透视，透视中心为点E。
2、        等腰ΔB1A2A3与ΔE1A2A3是关于直线A2A3的对称形，因而全等。（同样使用循环下标，下同）
3、        顶点E1、A2A3边中点O1、顶点B1、对应旁共轭质心K′、外心O共线。
4、        K′B1⊥A2A3.
5、        点E的等角共轭点E′是两个Brocard点W，W′的中点，即两个Brocard点到三角形A1A2A3三边的垂足共圆的圆心，也在Brocard轴OK上。点E′在DM上（M为三角形A1A2A3的质心），ME′＝DM/2，点E′是三角形A1A2A3与其第一Brocard三角形B1B2B3两个中点三角形O1O2O3和O′1O′2O′3的透视中心。点E′与点D的等角共轭点D′将线段OK调和分割，即(D′O/D′K)/(E′O/E′K)＝－1。


■陈殿林先生：您好！
很高兴于今天中午收到您的来信，为能找到有共同兴趣爱好的朋友而感到欣慰。说实在，如今真正爱好几何者寥寥无几，不时会有孤军奋战的感受。偶遇知音，真有空谷足音之感！
从来信得知您对平面几何有相当的心得，并深深感受到几何画板的乐趣。这方面我也有同感。这些年来，我著意把几何学作为自己的第一爱好，并利用工作的便利为几何爱好者提供了像《近代欧氏几何学》之类的经典文献，并有志于再多做一些类似的工作。但困难也不小，您从那篇访谈录中也许已了解到一些。以后如能充分利用网络的优势，看来还真能做点事情！
我最近一段刚升级到几何画板4.04版，并已建立了五十多条常用的绘图工具，手段基本上已觉齐备，比以前的3.09版功能有明显进步，可以较方便地用电脑来写几何题了。下一步，我打算将几何题一个个地输入电脑，把自己的做题心得及时写下来（以往写在纸上，到时就找不到了）。而且，在电脑中操作，可以随意地修改，并可前后穿插，不致于做重复无用的劳动，这很适宜于我的习性。不过，这却又很耗费时间，而且须从零开始，真有点“而今迈步从头越”的感慨。现随信附上近期写的“平面几何新思索”及去年写的“三个几何问题思考”两文，请予指教。
来信中提到的那个轨迹，叫做Kiepert双曲线（Kiepert，Ludwig，1846—1934） ，以前我也曾作过一些探讨，见于《数学通讯》1995年第8期。而直线的等角共轭像是一条经过三角形三个顶点的二次曲线，这个结论也已为我和曹纲所熟悉，用重心坐标来处理较为容易，见于《初等数学论丛（第3辑）》（1981年出版）上杨路教授的“谈谈重心坐标”一文。（顺便剪切上Kiepert的头像一枚，以供参考。）
来信的其余部分，尚未详读，留待日后再慢慢回味。
目前我还与若干爱好者保持E-mail联系（附上与一高中学生的通信）。希望我们以后也多通过E-mail作类似的交流。
（倘如方便，请将您的这封来信再用E-mail发给我一次，以便留底）
网络方面，说实在我并不很熟，往往心有余力不足。复兴几何学看来得靠大家的共同努力！看看以后我们还能做些什么。
信中提到的《平面几何中的小草》，实际上并未出版过，这本是单教授对我提出的一项建议和鼓励，但说来惭愧我一直未能动笔将它写出来，看来短期内也难以完成。（以后我想按照“新思索”的格式将从前的笔记整理出来，不知这样做是否值得？在这基础上再去创作《小草》可能就更切实一些。）而单教授自已撰述的《小花》目前也已脱销近两年，出版社亦迟迟未能作出重印的决定，真是无奈。
暂写这些，望保持联系。
祝
好！2004-4-5.

我记得以前有人说“二十一世纪时，几何的世纪”。我很认同。
问题是我们的几何观念已经普遍保守。欧几里何的公理--定理体系虽说很完整，但实际问题解决（如在物理中的应用）以及利用机器进行大型运算，都不是很容易的一件事。所以要学解析几何，但是现在的情况相反，重欧式轻解析已经和显然了，很多大学毕业的人连转轴公式都不知道。
数学是一门工具学科，失去了工具作用就没有意义了。几何学也一样，单纯抱着锻炼逻辑思维和美学目的而不强调其应用性会让几何学死去。
所以，教材改革时必然要重解析轻定理。问题是欧式几何是解析几何的基础，试想连“正方形的定义”都不知道，怎样去做解析几何？现在的一些担忧不是没道理的。但这不妨碍减轻欧式几何在课本中分量，因为这是趋势，这是方向这是数学发展的必然。
其实我们不必担忧什么，欧式几何有其基本的东西，绝对不回被解析几何完全替代，它可以被看作几何学的基石或者第一大流派，或者叫经典几何学。其地位无论以后几何学怎样发展，都无人能撼。.

随着计算机的发展，向量和解析几何的重要性明显增加，这在计算机图形学方面变的特别明显，游戏、动画和cad软件等等都是用代数的方法解决的，对于现在的学生来说，纯平面几何学的太深是没有太多意义的。.

张景中院士说,有些应用性或程式化的东西可以放到后面阶段再学.例如向量或矩阵这些抽象的东西到了高中或大学阶段就会变得更容易理解,效率可大大提高,只需要花不多的精力就可掌握得非常牢固,完全没有必要过早地搞小孩的脑筋.
相反,逻辑能力却需靠更早的阶段来渗透,到后来思维一定型就不容易再改变.
所以课程的分布应体现出教育的规律性,决不能靠少数冬烘先生拍脑袋就作出草率的决定.这会贻误一代人的.
教育是百年大计!应慎之又慎.
建议教育部门对新课标做及时反思..

老封，我讨教一下这个问题。

您是怎么看待现在小学2年级就要学正方体的11种展开图这种教学要求的，要记什么4-1-1，3-2-1结构的。好像这些是不是都是中学内容。（不是我的问题，我家没碰到这个问题，但不少其他小2小朋友碰到了。）.

引用:

原帖由 xyq2100 于 2007-3-29 14:14 发表
随着计算机的发展，向量和解析几何的重要性明显增加，这在计算机图形学方面变的特别明显，游戏、动画和cad软件等等都是用代数的方法解决的，对于现在的学生来说，纯平面几何学的太深是没有太多意义的。

对呀。很多学美术的人问我：“为什么现在我们高考也要考数学，以前不考不是蛮好嘛，又没用的？”我马上就说，“你们将来计算机准不准备用，计算机上图画不画？”他们就再也没有提出那么愚蠢的问题。后来他们要学3D的东西了，就问：“为什么我们高中时立体解析几何不上啊。”我说：“你去问教委。”他们就说“教委尽上些没用的东西。”
其实，现在的教材改革还是不错的，包括上次沸沸扬扬的“历史教科书”问题，把高中历史教材改为专题史很好。.

引用:

原帖由 千零 于 2007-3-29 14:36 发表
老封，我讨教一下这个问题。

您是怎么看待现在小学2年级就要学正方体的11种展开图这种教学要求的，要记什么4-1-1，3-2-1结构的。好像这些是不是都是中学内容。（不是我的问题，我家没碰到这个问题，但不少其 ...

我觉得让小孩在动手玩玩之间领悟一些空间的直观概念，这不仅必要，而且也是可行的。
其实很多知识并不是靠教条所能教会的。
小孩子的悟性往往比大人还高。正方体的展开，可能连幼儿园的小朋友都能理解，但是他们也许不能想到全部的方式，思维的严密正是要靠后期的教育来逐渐培养的。如果小孩子能自己想到一种或几种方式，就应该得到鼓励。我们应该允许他们遗漏，不能对小孩子有过苛的要求。决不能伤害他们思考问题的乐趣和积极性！
要小孩死记什么“4-1-1，3-2-1结构”，那简直是对教育的糟蹋！
中国现在正是那些不懂教育的人在搞教育。让这些冬烘先生一直来把持教育，中国也许就没救了！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-29 14:51 编辑 ].

引用:

原帖由 千零 于 2007-3-29 14:36 发表
老封，我讨教一下这个问题。

您是怎么看待现在小学2年级就要学正方体的11种展开图这种教学要求的，要记什么4-1-1，3-2-1结构的。好像这些是不是都是中学内容。（不是我的问题，我家没碰到这个问题，但不少其 ...

我来告诉你，这是拓扑学里学的，有些大学都不学这个。
他老师也就知道11种结构，为什么有且只有11种结构，怎么证明，别的多面体有多少种，她都不知道。
但奥数里会要求，这就是为什么有些人说奥数是“杂技”。
我的观点奥数就是去尽可能的挖掘孩子的智力潜力，知道了没坏处，有多少好处？仁者见仁，智者见智。.

报名听平面几何课的同学，3月30日晚7时须参加一次免费的公开测试。
初中六、七、八、九年级的同学都可参加。
欢迎前来！.

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原帖由 老封 于 2007-3-29 14:33 发表
张景中院士说,有些应用性或程式化的东西可以放到后面阶段再学.例如向量或矩阵这些抽象的东西到了高中或大学阶段就会变得更容易理解,效率可大大提高,只需要花不多的精力就可掌握得非常牢固,完全没有必要过早地搞 ...

你逻辑上的考虑是对的。我们现在没有系统的逻辑课，学生的逻辑思维大多是靠平面几何这个平台来锻炼的，这是标准的杜威理论“从做中学”，没有系统的理论知识，一切都靠几何中的实际应用。这样的做法成功之处很明显，作为中国学生以此应引以为豪。
但对于逻辑上困难学生，平面几何的逻辑学起点就有点高。这就是为什么有的学生一上几何数学就差下来，特别是女孩子，定理背得出就是不会用。对于逻辑能力差的学生，给予逻辑学和数理逻辑的铺垫可能会有点效果。这一点语文数学老师都有责任。.

30日晚考试是在胶州路吗.

引用:

原帖由 g1xx_luh 于 2007-3-30 08:50 发表
30日晚考试是在胶州路吗

是的，没有变化。.

引用:

原帖由 dean1128 于 2007-3-29 14:52 发表
我来告诉你，这是拓扑学里学的，有些大学都不学这个。
他老师也就知道11种结构，为什么有且只有11种结构，怎么证明，别的多面体有多少种，她都不知道。
但奥数里会要求，这就是为什么有些人说奥数是“杂技” ...

这不是奥数里的要求啊，这个是现在小学2年级的教材里的东西哎，而且有些老师要求的。所以，我问问看老封对小2课堂里教这类东西有啥看法。如果是奥数，是课外东西，就不要谈了，家长自己忙活。.

引用:

原帖由 千零 于 2007-3-30 09:25 发表

这不是奥数里的要求啊，这个是现在小学2年级的教材里的东西哎，而且有些老师要求的。所以，我问问看老封对小2课堂里教这类东西有啥看法。如果是奥数，是课外东西，就不要谈了，家长自己忙活。

我还是先插一下嘴，其实二年级的孩子对于这些东西更应注重把正方体剪开并展开后过程，而不是11种结果。强记11种结果不会是书本的要求，而是老师的教法问题。也是大多数老师把新教材当作老教材教的后果。新教材的内容，老教材的教法，这也是教材改革最担心失败的地方，现在即便搞了好几次新教材培训效果也不好。高中里仍有老师喜欢用tan去求线线夹角，他们的对新教材的目标把握不准确。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-3-30 09:10 发表


是的，没有变化。

您好，具体地是哪里啊？上次不记得了，不好意思．.

引用:

原帖由 dean1128 于 2007-3-30 13:02 发表

我还是先插一下嘴，其实二年级的孩子对于这些东西更应注重把正方体剪开并展开后过程，而不是11种结果。强记11种结果不会是书本的要求，而是老师的教法问题。也是大多数老师把新教材当作老教材教的后果。新教材 ...

是的，如果老师真的这样要求小朋友，就是课改失败的真正原因。这个和语文课改一样的，用老教材要求来要求新教材结果，这就是为什么现在小学生学业负担深重的主因。所幸是我们数学老师没有这么要求，即便测验在这个上面失分了，也没太大所谓。
从你的言语和你的ID看的出你也教育线上的人。谢谢你！.

引用:

原帖由 bluemoon 于 2007-3-30 15:20 发表


您好，具体地是哪里啊？上次不记得了，不好意思．

胶州路491号，
长久大厦的15楼。.

单墫教授的解题经验谈：
“解几何题，通常需要画图。图是帮助思考的，不必画得太好。有人花了许多时间画图，与其这样，不如多画几张草图。
多画一次，对于题目的了解就进了一层。题目的条件与结论逐步熟悉了，它们之间的关系渐渐显现了，图也就越能反映所绘图形的特性。”

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-16 16:10 编辑 ].

单墫教授的解题经验谈：
“现在的中学教材，几何内容太少，推理训练不够。即使参加竞赛的学生，也常常以算代证。其实几何问题，还是用纯粹几何的方法论证最为优雅，最富有几何的意味。三角、复数、向量或解析几何的方法，如果简洁便当，也不应排斥，但不能喧宾夺主，完全取代纯粹几何的方法。”

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-16 16:10 编辑 ].

这是介绍单教授的一个网页：

www.jw-edu.cn/Shownews.asp?ArticleID=25082.

单墫教授的解题经验谈：
“几何方面的知识适当增加，解题才能得心应手。可以读读约翰逊的《近代欧氏几何学》（上海教育出版社，1999）。我也写过一些小册子可供参考，如《几何不等式》、《覆盖》、《组合几何》、《平面几何中的小花》、《解析几何中的技巧》、《十个有趣的数学问题》等。”.

www.jw-edu.cn/Shownews.asp?ArticleID=25082.

近日有朋友问如何能买到单教授的《平面几何中的小花》。
这书已多时未重印了，目前已经售磬。
不过单教授最近有一专著修订完毕，即将出新版了，书名为《解题研究》，内容同样很是精采！.

.

引用:

原帖由 老姜 于 2007-3-3 20:29 发表

3，老姜狗尾续貂，在冯先生的问题的基础上提出第二个问题：

如图，已知AD//BC，四边形ABGE， ...

今天探索老姜的这个图形，没想到有了意外的发现：
图中始终成立一个有趣的关系——“BK平方+CL平方=EI平方+FJ平方”。
最先做出者，再奖励图书一本！.

不需要梯形的条件，只要四个正方形有这样的关系，其中M是AB的中点，另外相应的四个顶点共线，就一定成立平方和关系！
这是一个漂亮的结论。老封继续设奖悬赏！.

http://ww123.net/baby/thread-4419985-2-1.html.

这个问题还没最后解决，大家继续努力。.

刚刚已经想清楚了，老猫的证明完全有效，只是他写的过程有些笔误
利用我的补充说明，确实可认定这题已解决了！
不过，一个问题的解决并不意味一件事的结束，而是一个良好的开端。
有关这题，还有不少未搞清楚的事情，期待大家进一步讨论。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-1 15:59 编辑 ].

老封，我们要想报名考试，儿子今年小升初，看帖子要3月30日前，有补救吗？急！.

引用:

原帖由 豆豆爸 于 2007-5-4 12:41 发表
老封，我们要想报名考试，儿子今年小升初，看帖子要3月30日前，有补救吗？急！

问62667011或13162625725.

谢谢拉.

设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个正方形共有三组顶点各四点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系：.

现在的问题是，不知正方形是否还能推广为其它的图形？.

对于矩形的结论是：
设P、Q是线段AB上的任意两点，图中四个形状相似的矩形共有三组顶点共线，那么六条线段a，b，c，d，e，f的长度成立如下关系.

嘿嘿，其实，上一次我就找到了一个更强的结论：a^2+b^2=e^2+AP^2，……，

只是因为原题中出现的是正方形，且有一个中点，我的真实的意图被掩盖了。：）.

老姜果然身手不凡。他在矩形中早就找到了更直截了当的关系，祝贺！
不过能找到同样直截了当的证明么？我想好的结论，相应地会有好的证法。.

不过老姜，你别高兴得太早。用你的结论只是一下子能推出矩形较弱的那个结论。
对于前面正方形的那个结论，反而还不能直接推出吧？
也就是说，前一个正方形的结论，要比后一个矩形的结论更强！

然而我已找到了正方形之所以会出现更强结论的内在缘由。这里的原因似乎很是深奥，最终，发现居然是如下这个深刻的命题的起作用：

“设P是等腰Rt△ABC所在平面上一点（注：要求不在其外接圆上）。作出⊙PAB、⊙PBC、⊙PCA关于相应边的轴对称圆，可以保证这三个对称圆一定有一个公共交点━━记其为Q点；而且，一定成立如下的定量关系：（PA^2－PB^2）/ PC^2＝（QB^2－QA^2）/ QC^2。”

而正是由于这个命题只对等腰直角三角形起作用，其推广形式目前还没找到，所以结论的较强形式也只能到正方形而止步。期待着哪位高手给出推广！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-7 10:00 编辑 ].

引用:

原帖由 老封 于 2007-5-7 09:25 发表
老姜果然身手不凡。他在矩形中早就找到了更直截了当的关系，祝贺！
不过能找到同样直截了当的证明么？我想好的结论，相应地会有好的证法。

原来矩形内一点到四个顶点的距离平方和的关系，不过是这个问题的特殊情况。

是不是可以从特殊再回到一般呢？.

引用:

原帖由 老猫 于 2007-5-7 11:34 发表
是不是可以从特殊再回到一般呢？

这也正是我正在伤脑筋的.

预期中的推广也找到了：

设P是四边形所在平面上的任意动点，则

PA^2×S△BCD－PB^2×S△ACD＋PC^2×S△ABD－PD^2×S△ABC

一定是不依赖于P点位置的定值！

（它显然包罗了矩形的特例。）.

还有更有意思的呢：

设四边形A′B′C′D′与四边形ABCD顺相似，则当A′B′C′D′在平面上任意平移时，

AA′^2×S△BCD－BB′^2×S△ACD＋CC′^2×S△ABD－DD′^2×S△ABC

一定是不依赖于A′B′C′D′具体位置的定值！

（只是当A′B′C′D′旋转或放缩时的不变关系暂时还没找到 ）

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-7 12:55 编辑 ].

当ABCD是矩形时，上述定值就变为0。这时旋转和放缩都起不了作用了！.

设A1B1C1D1和A2B2C2D2是任意两个四边形，P是B1B2联线上的动点。四边形A1′P C1′D1′和四边形A1B1C1D1顺相似；四边形A2′P C2′D2′也和四边形A2B2C2D2顺相似。而且其中三组顶点保持共线。则当P点运动时，下面两个表达式都是定值：

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-7 14:07 编辑 ].