引用:
原帖由 greenjyz 于 2009-8-18 16:03 发表
令a=3x, b=4-2y, 原式为sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1);
因为对称性,也因为前两式均为单调递增函数,可知a=b=1.5时,原式取最小值5。
顺着你这个思路继续证明,可证明的出。
为完成这个证明,先证明同底,登高的三角形中,等腰三角形的边长最小。(证明方法略) (1)
原式=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1) (2)
>=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (4-(a+b)-1)
=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3-(a+b)) (3)
这里先假设a>=0,b>=0, 4-(a+b)>=1即a+b<=3 ,可证明 sqrt( (a+b-4)^2-1)>= (4-(a+b)-1)
(a,b取其它符号时都可证明出结果比a,b同为正数时大)
接下来做个平面几何图,
做个三角形ABC,底边BC=3,高AD=2,BD=a,DC=b,则第一个根号就是(1)中AB的长度,第二个根号就是(1)中AC的长度,
前面(1)中说了同底等高的三角形中,等腰三角形的边长最小,也即a=1.5,b=1.5
接下来做个平面几何图,
做个三角形ABC,底边BC=3,高AD=2,BD=a,DC=b,则(2)中第一个根号就是AB的长度,(2)中第二个根号就是AC的长度,
前面(1)中说了同底等高的三角形中,等腰三角形的边长最小,也即a=1.5,b=1.5时,AB+AC最小,此时(2)中第3个根号为0
当a,b不等,a+b=3,三角形不等腰时,(2)中得到的值都比等腰时大
现在做个高为2的三角形A'BC,DC上取一点C',可以证明的出A'B+AC'+C'C >= A'B+A'C >= AB+AC (4)
(4)的左边和(3)一样的,3-(a+b)就是C'C
从(3)继续证明下去
原式 >= sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3-(a+b))
>= sqrt(1.5^2+4) + sqrt(1.5^2+4) + (3-3)
=5
最后还原x,y得,x=0.5,y=1.25时最小,最小值为5
其它情况,比如a>0,b>0, a+b-4>1时,结果必定比 a>0,b>0, 4-(a+b)>1要大
而a,b异号和a<0,b<0时,从上面过程也能看出结果必定比a,b同号时大
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本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-20 11:22 编辑 ].