经常,我们会欣赏到一个个优美的数学命题;其实,通向最终果实的道路往往是曲折而多坎坷的,在这些智慧结晶品的背后,都蕴藏着一段真实的故事;虽说有没那么完美,但相对说来却比最终的成品更为激动人心!
让我们就来看一看昨天那些新结论背后的故事。它其实正是我和几位好友互相切磋的结果。
这就是我和田君的MSN交流的全程记录,爱好者也许能借此一窥草创的艰辛,不过同样也能分享到其中的一分欣喜:
【07-06-21】
老封 说:
我编了个新题:
老封 说:
设两圆内切于P点
老封 说:
一直线顺次交两圆于A、B、C、D四点。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
然后呢?
老封 说:
求证:三角形PAB和PCD的外接圆半径乘积是定值。
老封 说:
能否推广?
老封 说:
我试了一下,不能推广到极限点。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
好象可以
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
用几何画板
老封 说:
你见过这种题型么?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
没有,有点调和点的味道
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
外切为何不可
老封 说:
外切的情况是类似的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
您要朝何方向推广?
老封 说:
任意两圆的情形
老封 说:
还发现一个有趣现象:
老封 说:
四个三角形PAB、PAC、PBD、PCD的外心共圆。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
您先发过来,我跑开几分钟
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
很漂亮
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
原来的题目意思就是PA、PD之积与PB、PC之积的比是常数吧
老封 说:
第二个结论的推广方向是什么?
老封 说:
有意思的是,所共圆还经过一个定点!
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
反过来任给A、B、C、D在一直线上,P的轨迹是?
老封 说:
满足什么性质的轨迹?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
就是保持乘积之比是常数,或四个外心共圆
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
这个题没意思,解析几何告诉我们,一定是四次曲线
老封 说:
那个定点有什么性质?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
乘积之比是常数,就与四外心共圆等价?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
乘积之比还有好几种,是不是都对应于不同的外心共圆?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
比如PAD的外心
老封 说:
我想要两个圆搭配
老封 说:
A、D集中的同一圆上是不允许的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我是把圆去除后问的
老封 说:
四个外心共圆可推广到极限点!
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
看来还有点复杂
老封 说:
但刚才检验过,乘积相等却不能推广到极限点
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
到底等价吗?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
还是添加条件?
老封 说:
我不明白你的意思
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
对对,我搞错了。我主要是问,如果有A、B、C、D,那么P有何限制,有没有比四外心共圆更简洁的判定
老封 说:
上述现象,表明这两个结论不等价
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
前面我乱说的,刚才有人跟我说其他事情,干扰了一下。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
P的轨迹也未必是四次曲线,因为我这里圆的大小在改变
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
如果是二次曲线就好了
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
求出来了,当A、B、C、D固定时,P在一圆上,看来这个圆很重要
老封 说:
你指的是共圆?
老封 说:
还是比值?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
也许是
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
不是比值
老封 说:
能把问题说得更具体点么?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
就是当A、B、C、D依次在一条直线上,求P轨迹,使PAD的外接圆和PBC的外接圆内切
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
PAD的外接圆大
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
太好了,对于每一组A、B、C、D,都有这样的一个圆存在
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
其实是一很平凡的结论,但是几何就是一堆平凡结论拼出不平凡
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
您看看这个圆与您的四外心所共之圆有何关系?
老封 说:
那是Apollinius圆
老封 说:
相切与角相等是明显等价的
老封 说:
与外心所共的圆好象没关系
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
不过四个点决定了这个圆的圆心和大小。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
应该有点关系吧。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
您说得也在理。我说的圆是固定的,外心圆则是变化的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
外心圆的圆心轨迹是?
老封 发送:
传输“1.GIF”完成。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
您到到什么结论吗?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
G 的轨迹是什么?
老封 说:
是不是这个意思?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
标错了,G应是O
老封 说:
看样子是高次的
老封 说:
不是二次的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
O的轨迹是?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
但这两个圆真地毫无关系吗?还有一开始的两个圆
老封 说:
你能否把问题整理一下,我已经不明白互相间的意思了
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我没多少想法,我只是觉得阿氏圆和外心圆以及A、B、C、D之间或多或少会有点关系
老封 说:
我最关心的还是一开始外接圆半径乘积是定值的推广
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
您的意思是:两个不处在特殊位置的圆,一条直线截出四个点,这些条件还是要的
老封 说:
这是原问题的出发点,如能打破这个限制当然更好
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
根轴与连心线的交点没用?
老封 说:
我的思路已经彻底乱了
老封 说:
发现一个新现象:两圆的极限点为P,直线顺次交四点于ABCD,则PAB与PCD的外接圆半径积,恰好等于PAC与PBD的外接圆半径积!
老封 说:
这与你说的比值是否有联系?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我觉得有点意思。不过与我的比值可能没关系吧。
老封 说:
这些结论能否整理出一条线索?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我得来您这里看看您的演示,比较好
老封 说:
我的立足点是定圆,你和魏磊的立足点是共线四点,观察角度有点不同
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
蛮好
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
其实还是得来看您的演示,效果好
老封 说:
你装一下几何画板就好了
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我要装的
老封 说:
重大突破!
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
老封 说:
任意两圆,P是任意点
老封 说:
则外接圆半径乘积总是相等的!!!
老封 说:
好象太夸张了吧
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
奇怪
老封 说:
但已经验证了
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
还需要圆吗?
老封 说:
你想想吧
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
不错
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我记下
老封 说:
这本质究竟是什么?
老封 说:
肯定不需要圆了吧
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我还是不完全清楚您的结果
老封 说:
可能是平凡的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
如果是PAB、PCD外接圆半径之积等于PAC、PBD外接圆半径之积,那就是正弦定理加乘法交换律。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
这大概是陈题
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
至于角APB与角CPD相等,能否推出四外心共圆,是不是新的发现,难度大不大?
老封 说:
我不知道
老封 说:
结论肯定正确的,刚才那幅图就是验证这个的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
一道好的竞赛题
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
相信不会太难
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
难的是发现
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
已经解决,一句话
老封 说:
怎么一句话解决?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
连几条线,分别与PA、PB、PC、PD垂直,立即得到一些角相等
老封 说:
你的意思是:四外心共圆和两角相等的充要关系?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
确实是充要的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我在想圆心有什么性质
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
这可能难一点
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
尽管其轨迹是高次曲线
老封 说:
还有,四点不共线情况呢?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
对,不共线不影响,只要有角相等
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
强的
老封 说:
那就和等角共轭是等价的?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
四点不需要附加条件?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
不需要
老封 说:
我以前只知道等角共轭和四个垂足共圆是等价的,现在难道又多了一个充要条件?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
什么垂足?
老封 说:
太漂亮了!
老封 说:
我在几何画板中已经验证
老封 说:
P在四边形ABCD四边上的垂足共圆,与PAB、PBC、PCD、PDA的外心共圆互相充要!
老封 说:
直接证难不难?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
这么说,与等角共轭三个条件等价?
老封 说:
是的
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
不会难做的
老封 说:
你试试
老封 说:
绕过角
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
对的,我已经想明白了。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
P在外是角相等,在内就变成互补了
老封 说:
可以做竞赛题么?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
不能
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
简单了一些
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
除非是一个复杂结论要用到的中间步骤
老封 说:
放在完全四边形的背景中,应该是更多外心共圆吧?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我一下子没图,倒不好说
老封 说:
因为垂足总有四个
老封 说:
对节却有六对,十二个!
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
那也不一定在一个圆上
老封 说:
是的,是三个圆,好象形成共轴圆系!
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
那真是很好的
老封 说:
太妙了!而且P点就是极限点之一
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
算是今天一大发现?
老封 说:
另一个极限点好象就是密克点!
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
太棒了
老封 说:
下一步打算调查根轴,看看它是否经过定点?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
美丽的东西上帝也无法隐蔽掉
老封 说:
我有办法在几何画板中画出连续变化,不过需要一点时间
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
老封 说:
已经精确验证了!
老封 说:
刚才两个结论完全正确
老封 说:
但根轴并不经过定点
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
真地很好,您能否画个图,再加上说明文字呢?
老封 说:
这个图难度太大了,只有我还能看得清
老封 说:
旁人肯定看不清楚了
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
还有件事,冯志刚建议我们这套书叫“数学竞赛研究系列丛书”,他表示要花力气好好写,您的书一定也很精彩,他说可能出英文版。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
如果出版社认为值得的话
老封 发送:
传输“2.GIF”完成。
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
不说还真看不明白
老封 说:
P是具有等角共轭的点,红圆是垂足圆
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
M是密克点,三个绿圆是外心所共之圆
老封 说:
还有一条是根轴
老封 说:
曲线是P的轨迹
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
老封 说:
轨迹经过六个顶点和密克点。轨迹上的另一点就是P的等角共轭点
老封 说:
你看还有什么思路可以发掘?
tianty——一生负气成今日,四海无人对夕阳 说:
我马上要去一个人家里,晚上再论吧.