下面是Euler线结论的提出背景：（录自“三个几何问题思考”第二部分）


五 圆 定 理

所谓“完全四边形”(complete quadrilateral)（在射影几何中亦称“四线形”），指平面上四条一般位置的直线，其中既没有两条平行，也没有三条共点。

完全四边形的每两边的交点，称为其顶点。完全四边形共有六个顶点，可以分成三组，每组称为对顶点，对顶点的联线称为对角线。完全四边形共有三条对角线，其中点共线，称为完全四边形的“Newton线”。

从完全四边形的四条边中每取出三条，构成三角形，称为其基本三角形。每个完全四边形共有四个基本三角形，它们之间关系密切，例如，四个基本三角形的外接圆必共点，所共点称为完全四边形的“Miquel点”； 四个基本三角形的垂心必共线，称为完全四边形的“垂心线”（ortholine），它一定和完全四边形的Newton线相垂直（Gauss-Bodenmiller定理）。

还可以进一步考虑完全五边形（即五线形）——平面上一般位置的五条直线。任意取出其中的四条，都可构成一个完全四边形。这样的完全四边形共有五个，其五条Newton线一定共点，所共的点实际上是同时和完全五边形的五条边相切的二次曲线的中心。

【注记】 有些文献将上述五条Newton线所共之点称为“吴点”，认为是由我国数学家吴文俊首先用机器证明的。但据平面几何高手——深圳市教委主任尚强先生告知，在苏联的一本平面几何习题集中（约50年代出版）早就将这个结论列为习题。另外，萧振纲先生告诉说，《近世几何学初编》（Casey著，李俨译）一书的习题中也有。

由于Newton线是和完全四边形的四条边同时相切的无数条二次曲线的中心轨迹——这正是Newton首先证明的，因此，可以相信Newton本人早已熟知这一结果。本文中，我们约定将此点称呼为完全五边形的“Newton点”。

大约在1838年，A . Miquel考察了完全五边形所含的五个完全四边形各自的Miquel点，他发现这五个点一定位于同一个圆上—— 这就是完全五边形的Miquel定理。 （称这五个Miquel点所共的圆为该完全五边形的“Miquel圆”。）

[ 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 17:05 编辑 ].

【注记】 严济慈《几何证题法》（第249页总习题第44题）、梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》（第480页习题第17题）以及[法]J•阿达玛《初等数学教程：几何（平面部分）》（第348题）都载有这个定理：“五直线交成五个完全四边形，它们的五个Miquel点共圆。”
《数学通报》1964年第11期陈圣德“关于五边形的密克圆”一文，对这个定理作了详细讨论。

接着考虑由6条直线组成的完全六边形，其所含的6个完全五边形各自的Miquel圆必定共点，称为该完全六边形的“Miquel点”；再考虑由7条直线组成的完全七边形，其所含的7个完全六边形各自的Miquel点必定共圆，称为该完全七边形的“Miquel圆”；……；这样可无限推广下去。首先证明这个奇妙定理的是英年早逝的英国数学家William Kingdom Clifford（1845.5.4—1879.3.3），他曾在非欧几何和非交换代数方面作出过杰出贡献，继Hamilton的四元数之后，引入了新的超复数——八元数（biquaternion），并推广为更一般的“Clifford代数”。

【注记】 南京师范大学单墫教授1997年从加拿大滑铁卢大学图书馆所藏的文献中复印了Clifford的这篇论文（ W. K. Clifford，Synthetic proof of Miquel’s theorem，The Oxford，Cambridge and Dublin Messenger of Mathematics， Vol v. pp.124-141.），回国后将复印件慨然相赠。

而国内，因不了解这题的背景，河南的郑格于先生也独立地给出过一种证明。

这方面登峰造极的工作要数我国数学家周毓麟院士，他于1954年发表了“连环定理”一文，对这类问题作了统一处理，得到了一条囊括全局的普遍定理（《数学通报》1954年第12期）。



*     *     *     *     *     *     *     *      *     *     *     *     *     *     *     *


2001年初，余应龙先生去新加坡开会，买回了一部原版书：David Wells所著的The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry（Penguin Books， 1991；后被译成《奇妙而有趣的几何》，由上海教育出版社出版），他于2001年2月8日将这本书借给了我。同书作者曾写过《数学与联想》一书，他的著作具有内容新奇、图文并茂的特点，我很喜欢其风格。借到这本书，我立刻被这本书的丰富内容所吸引。在书的第79页有这样一个定理：

五圆定理 作五个圆，其圆心都坐落在同一个定圆上，且相邻两圆的交点（其中的一个）也在该定圆上。那么，将这些圆的其余交点联结成直线，则恰好可构成一个顶点位于各圆上的五星形。.

可以从不同的角度来欣赏这条定理，我们把立足点放在图中的那个五星形上——它的图形和上面提到的Miquel定理非常相似，但也有区别，因为一般完全五边形的Miquel圆并不经过外心。经研究表明，这时不仅仅图中所示的五个基本三角形的外心在定圆上，事实上，其余五个基本三角形的外心也在同一个圆上，因此加上五个Miquel点，一共有15点共圆！这是Miquel定理的一种非常精致的特例！这个图形的出现为Miquel定理的研究注入了新的活力。

那么，究竟怎么样的完全五边形才满足“五圆定理”呢？由于原书相应的那节中并未引证参考文献，因此我们无从知道该定理的原始出处，只能独立地作一些探索。

2001年2月17日晚，我利用几何画板发现：如果先取定完全五边形中的四条直线，那么第五条直线只有唯一的位置满足“五圆定理”，于是我把探索的重点放在搞清楚这五条直线的内在关系。

第一个发现是：第五条直线必须平行于另四条直线的垂心线。换句话说，在“五圆定理”中，每条直线都必须平行于其余四条直线的垂心线。由此还得到其逆命题：

命题1   如果在一个完全五边形中，能够找到两条直线，分别平行于去掉每条直线所剩下的完全四边形的垂心线，那么，其余三条直线也具有同样的性质。
（注：我们目前只给出命题1解析的证明。）

仅仅知道第五条直线和垂心线平行是不够的，因为还不足以确定它的位置。于是，我就着意去寻找关于位置的线索，以便能够给出“五圆定理”的精确刻划。

随着探索的深入，接着又得到了第二个发现：在“五圆定理”中，每三条直线所围成三角形的垂心，和另外两条直线的交点所联成的线段（以下我们将它称呼为“好线段”，一共有10条）两两互相平分。换言之，在“五圆定理”中，完全五边形的10个顶点和10个基本三角形的垂心恰好构成两幅彼此中心对称的图案！由此还可提出其逆命题：

命题2   在一个完全五边形中，如果有3条“好线段”彼此互相平分，那么，所有的10条“好线段”一定都两两互相平分。
（注：命题2中的“3条”不能减少为“2条”；否则可以举出反例。）

命题2给出的线索十分重要，整个图形的对称中心非常值得关注——它正是刻划“五圆定理”的一把金钥匙！为了确定第五条直线的位置，我引入了完全四边形的“广义垂心”的概念。它依赖于下面的这条命题：

命题3   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。
将l 2，l 3，l 4所围成的三角形的垂心记为H1； l 1， l 3，l 4所围成的三角形的垂心记为H2； l 1， l 2，l 4所围成的三角形的垂心记为H3； l 1， l 2，l 3所围成的三角形的垂心记为H4。 以H i为中心，作出l i的1/2位似直线l i＇（i＝1，2，3，4）。则l1＇，l2＇，l3＇，l4＇共点，所共点H位于完全四边形的Newton线上。

[ 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 16:52 编辑 ].

称H点为完全四边形l1，l2，l3，l4的“广义垂心”。


证明   考虑△CBE和△CDF，记其垂心为H1，H2。过H1作AD的平行线，过H2作AB的平行线，两线交于P。易见C是△PH1H2的垂心。故而PC⊥H1H2。但H1H2是完全四边形的垂心线，故而CP平行于完全四边形的Newton线。.

以A为中心，作直线CP的1/2位似线，则所得到的位似直线就是完全四边形的Newton线（因为它过AC的中点，且垂直于垂心线）。因此AP的中点（即广义垂心）必在完全四边形的Newton线上。证毕。
（注：上述简单证明是田廷彦于2002年1月18日给出的。）

随着“广义垂心”的引入，“五圆定理”的刻划终于有了圆满的结果：只要将完全四边形的垂心线关于“广义垂心”作一次中心对称，就得到了“五圆定理”中所需要的第五条直线！这时，所得完全五边形所含的五个完全四边形的广义垂心合而为一。——它就是该完全五边形的“Newton点”。

对“广义垂心”还可以作如下理解：所谓完全四边形的“广义垂心”，从本质上说就是完全四边形的四条边，加上其垂心线（一共五条直线）所形成的完全五边形的“Newton点”。因此，“五圆定理”中的第五条直线也可以这样描述：先作与完全四边形的四条边以及垂心线都相切的二次曲线Ω，然后再作Ω的切线，使其与垂心线相平行。——它就是第五条直线！

另外，田廷彦给出了“五圆定理”图形中间的那个凸五边形所需满足的充要条件：

命题4   “五圆定理”等价于
CD / cos∠A•sin(∠C＋∠D)
＝DE / cos∠B•sin(∠D＋∠E)
＝ … ＝d，
其中d是“Miquel圆”的直径。.

* * * * * * * *

2001年下半年偶然中发现，将命题3中的“垂心”全改为“外心”，结论仍成立：

命题5   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。将l 2，l 3，l 4所围成的三角形的外心记为O1； l 1， l 3，l 4所围成的三角形的外心记为O 2； l 1， l 2，l 4所围成的三角形的外心记为O 3；l 1， l 2，l 3所围成的三角形的外心记为O 4。 以O i为中心，作出l i的1/2位似直线l i″（i＝1，2，3，4）。 则l1″，l2″，l3″，l4″共点，所共点O也位于完全四边形的Newton线上。

索性将O点也称为完全四边形l1，l2，l3，l4的“广义外心”。

【注记】命题5的证明起初甚为曲折：首先用到Steiner定理，说明以三个外心为顶点的三角形之垂心必落在相应的第四条直线上；然后，由于完全四边形的四个外心共圆（即所谓的“外心圆”，Miquel点也在该圆上），再利用“共圆四点，每三点所构成三角形的垂心──共四点，所形成图形与原来的四点是中心对称图形。”（这个结论曾作为竞赛题） 而这个对称中心正是命题5中所谓的“广义外心”，它也位于完全四边形的Newton线上。这样曲折的三部曲，合起来就可完成其证明。

后来（2002年5月23日），在给吴伟朝的一封信中，我给出命题5和下述推论1的简单证明。

将命题3和命题5相结合，可得如下两个结论：

推论1   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。将l 2，l 3，l 4所围成的三角形的重心记为G1； l 1， l 3，l 4所围成的三角形的重心记为G 2； l 1， l 2，l 4所围成的三角形的重心记为G3； l 1， l 2，l 3所围成的三角形的重心记为G4。 以Gi为中心，作出l i的1/2位似直线l i″′（i＝1，2，3，4）。则l1″′，l2″′，l3″′，l4″′共点，所共点G也位于完全四边形的Newton线上。

也可以将G点称为完全四边形l1，l2，l3，l4的“广义重心”。

不难注意到，推论1是这几条同类命题中最简单的一个，因为它是仿射性质。

推论2   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。则l1平行于l 2，l 3，l 4所围成的三角形的Euler线的充要条件是广义垂心和广义外心互相重合。

推论2表明，完全四边形的四条直线中，只要有一条平行于其余三条所围成的三角形的Euler线，那么，广义垂心、广义外心、广义重心三者全都重合。——事实上，整条Newton线上的点经演变后都重合为同一个点！

由推论2，即可得到如下漂亮的定理：

定理   已知完全四边形l1，l2，l3，l4。若l1平行于l 2，l 3，l 4所围成的三角形的Euler线，则每条l i都平行于另外三条直线所围成三角形的Euler线。

【注记】最先给出定理解析几何法证明的是南京师大单墫教授和扬州大学蒋声教授，纯几何证法是由延安中学钟建国给出的。后来，这一命题发表于《美国数学月刊》2001年第12期。


关于命题5和推论1的证明，见于我给吴伟朝的一封信：

“伟朝兄：
您好！自上封信发出后，晚上我仔细考虑了一下，结果便找出了命题5和推论1的简单证明。现连同命题3的证明介绍如下：

命题3的证明 （略）


为证命题5和推论1，先引入如下引理：

引理   点列A1，B1，C1与点列A2，B2，C2，满足A1 B1∶B1C1＝A2B2∶B2C2。过A1，B1，C1分别作三条平行线a1，b1，c1；过A2，B2，C2也分别作三条平行线a2，b2，c2，则对应平行线的交点共线。 .

命题5的证明   考虑△CBE和△CDF，记其外心为O1，O2。
分别过B，E，O1作AD的平行线；分别过D，F，O2作AB的平行线，对应直线两两相交于P，Q，O。以下证明P，Q，O共线。

[ 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 17:05 编辑 ].

设O1O与AB交于S，O2O与AD交于T。
因△O1EB和△O2FD是彼此相似的等腰三角形， 只要能够保证∠EO1S＝∠FO2T，则就可保证比ES∶SB与FT∶TD相等。
但直线AB，O1E的夹角＝直线AD，O2F的夹角（它们都等于等腰三角形的底角），故直线AB，O2F的夹角＝直线AD，O1E的夹角。
而O1S∥AD，O2T∥AB，
故O1S，O1E的夹角＝直线O2T，O2F的夹角，
所以∠EO1S＝∠FO2T。
于是由引理即得P，Q，O共线。
最后以A为位似中心，作1/2位似，则P，Q，C三点的像是完全四边形三条对角线的中点，构成Newton线。O的像即广义外心，故亦在Newton线上。

推论1的证明   记G1，G2分别为△CBE和△CDF的重心，M1，M2是BC，CD的中点。过 B，E，G1，M1作AD的平行线；过D，F，G2，M2作AB的平行线，对应平行线交于P，Q，G，M。

[ 本帖最后由 老封 于 2008-2-15 17:05 编辑 ].

由引理，Q，G，M共线。
又由四边形CM1MM2位似于四边形CBPD，故C，M，P共线。
但由Newton线知，C，P，Q共线，由此G在直线CPQ上。
最后以A为位似中心，作1/2位似，则AG的中点必落在Newton线上。
由此推论1得证。 祝 好！ 2002年5月23日 ”.

《国际数学奥林匹克研究》是“奥博丛书”即将面世的一个新品种，出自今年国家队领队熊老师之手，是其又一部力作。全书不仅收录历届IMO全部赛题精解，还有其余有价值的资料。

书前原收有一些资料照，如陈省身先生望着中国国家队原副领队刘鸿坤签字的照片（身后那位是李成章）。 另一张却经审删去了,毕竟已是改朝换代，令人徒生人未去，茶已凉之慨……呵呵。.

珍贵的照片。收藏。.

要是叶老师也写一本书就好了，孩子特别喜欢叶老师的题。叶老师麻烦您在白忙中像单教授一样写一本几何普及的书吧，那些几何爱好者一定会万分喜欢的。.

写书可要靠累积。老封还是初级阶段。

只有不停努力，才会看到希望，呵呵.

中国的历史就是不断删改照片的历史。。。.

如果愿意的话，去查一下东北有个烈士纪念碑的故事。
当年看到有人评价的话：“历史就像一个婊子，只要有。。。就可以搞它。”.

叶老师经常在这里给孩子出一点题大家讨论吧，好多孩子都特别喜欢几何呢.

引用:

原帖由 刘正谊 于 2008-2-22 17:24 发表
叶老师经常在这里给孩子出一点题大家讨论吧，好多孩子都特别喜欢几何呢

呵呵，谢谢刘先生建议。我最近较少登录，迟复了。

不过，由于论坛对象大都是家长，孩子们年级又不一样，所以我倒建议对几何感兴趣的同学可到“东方论坛”（forum.cnool.net) 的数学板块中去发帖，那里高手如云；连著名奥数专家单教授也不时在那里出现呢。我看最近那个论坛上有位活跃分子名叫“Frankvista”，经常发一些几何的帖，达到较高的水准。一打听，才知道还是位延安中学初二的学生，真是后生可畏。

今天挂一道题，是从“东论”转来的，供大家试试吧：

“已知CF是锐角△ABC的高，BC > CA， O、H是外心和垂心，过F作FO的垂线与CA交于P。求证:∠FHP= ∠A。”.

现公布这题的解答过程。证明时只需要用到两个知识：

一是“蝴蝶定理”，可采取梁绍鸿先生书中的形式：“四边形ABCD内接于⊙O，P是它的对角线交点。过P点作直线垂直于PO而交直线AB、CD于E、F。求证：PE＝PF。”（习题十第24题）.

二是所谓“鸭爪定理”：垂心关于一边的对称点落在外接圆上。


原题证法如下：

如图，联BD，设延长PF交BD于P′，延长AF交外接圆于D。

则由一，可知PF＝FP′；由二，可知HF＝FD。合起来，得△HPF≌△DP′F。于是∠FHP＝∠FDP′＝∠A。证毕.

精彩！.

大伙那边瞅瞅：

http://ww123.net/baby/thread-4496754-1-1.html.

一个固定形状的三角形在椭圆内转动，其内一位置固定的点随之留下运动轨迹：
（用gif-gif-gif软件截图）.

上周，在国家集训队首脑奔赴苏州前，举行了一次小规模的聚会。

到场的有：今年中国队的正副领队熊老师、冯老师，去年中国队的领队冷老师，美国国家队领队冯祖鸣，数论和组合高手周晓东，今年国家队培训承办方上海中学周建新老师。.

用正方形完全盖住边长分别为3CM，4CM，5CM的一个三角形，则这个正方形的最小边长是多少？

最好能有详细解答过程，先谢谢了！.

引用:

原帖由 男孩爸爸 于 2008-3-18 20:25 发表
用正方形完全盖住边长分别为3CM，4CM，5CM的一个三角形，则这个正方形的最小边长是多少？

最好能有详细解答过程，先谢谢了！

这就不劳叶老师大驾了，俺来解决。

1111.JPG (6.97 KB)

2008-3-18 21:07

由于角CEF＝90度，△AEF相似于△DCE。所以AE/3＝DC/4，CD＝4DE，剩下就是勾股定理了。

[ 本帖最后由 老猫 于 2008-3-18 21:09 编辑 ].

谢谢老猫大侠！儿子看了恍然大悟，呵呵。.

叶老师他们才是大侠，俺是小跟班。.

在叶中豪主编的奥博丛书中，徐士英老先生撰写的《组合数学》第54-58页，对这类问题作了全面解答。书中解答了：求覆盖任意三角形的最小正方形。.

看到伐，又一个大侠出手了。一下子解决了所有这类问题。
对了，有这本书的电子版嘛？这本书我没有找到。.

引用:

原帖由 老猫 于 2008-3-19 07:21 发表
看到伐，又一个大侠出手了。一下子解决了所有这类问题。
对了，有这本书的电子版嘛？这本书我没有找到。

叶老师、周老师、魏老师，三位老师的课，我儿子都有幸聆听过，拜谢！.

10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．.

引用:

原帖由 男孩爸爸 于 2008-3-19 18:15 发表
10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．

通过已知条件很容易知道每个同学至少属于三个不同的组，10个人两两配对共有45对，有已知条件每一对同学都至少属于一个组，而每组最多有5人，因此最多含有10对同学，这样就说明至少有5组。
接下来证明：5组是不可以的，证明过程像是绕口令，这里字母下标打字不方便，自己也可以思考一下。
最后用构造说明6组是可以的，这样n=6最小。构造如下图，10个同学分别对应1，2，。。。，10。

[ 本帖最后由 wood 于 2008-3-19 22:22 编辑 ].

引用:

原帖由 wood 于 2008-3-19 22:17 发表

通过已知条件很容易知道每个同学至少属于三个不同的组，10个人两两配对共有45对，有已知条件每一对同学都至少属于一个组，而每组最多有5人，因此最多含有10对同学，这样就说明至少有5组。
接下来证明：5组是不可以 ...

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老封近日将推出一个“奇妙而有趣的几何”免费培训班，旨在引领孩子领悟几何世界的奥秘所在，从中体会学习的乐趣，并学会使用几何画板。对象为本市四、五年级及预初学生。

另外，界时还将请出著名奥数专家余应龙先生光临指导！.

太好啦，啥时候呀？赶快呀！.

太好了! 我先报个名,什么时候呀?
免费太不好意思了,要不我孝敬您一听龙井茶?

还请到了余应龙,余老师呀? 记得读中学的时候在青年宫数学协会听过他的课呢

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2008-3-20 13:22 编辑 ].

报名！！.

报名!.

太好了，啥辰光啊？我先占个位！.

报名

[ 本帖最后由 阿黄 于 2008-3-20 14:16 编辑 ].

俺们也报名。谢谢！.

免费讲座内容安排：

一、几何世界引人入胜种种

二、探讨天赋的培养及“一家式”教育新模式

三、几何画板的安装及使用

几何画板使用要点
1．下载、安装与启动

2．几何画板的特点
动态、高效、精确

3．几何画板工具箱
选择工具
画点工具
画圆工具
画线工具
文本工具
记录工具

4．几何画板菜单功能
文件菜单——新建文件、打开文件、保存、另存为、关闭、文档选项、页面设置、打印预览、打印、退出
编辑菜单——撤消、重复、剪切、复制、粘贴、清除、操作类按钮、选择各种对象、拆分与合并、参数设置
显示菜单——线型、颜色、字型、隐藏、显示、显示标签、追踪、清除踪迹、动画、文本工具栏、运动控制台
作图菜单——对象上取点、中点、交点、直线、平行线、垂线、角平分线、以圆心和圆上一点画圆、以圆心和半径画圆、圆上的弧、过三点的弧、多边形内部、轨迹
变换菜单——标记中心、标记轴、标记角、标记比、标记向量、标记距离、平移、旋转、缩放、反射
度量菜单——长度、距离、周长、圆周长、角度、面积、弧度、弧长、半径、比、计算、坐标、斜率、方程
图表菜单——建立坐标系、隐藏坐标系、绘制点、制表格、添加和删除表格数据、绘制函数图像
窗口菜单
帮助菜单

5．自定义工具
Tool Folder

6．常用快捷键
Ctrl + N —— 打开一块新画板
Ctrl + O —— 打开已经存在的文件
Ctrl + S —— 存盘
Ctrl + Tab —— 切换文件
Ctrl + W —— 关闭当前窗口
Alt  + Q —— 退出几何画板
Ctrl + Z —— 撤消一步
Ctrl + Alt + Z —— 撤消所有操作
Ctrl + R —— 重复一步
Ctrl + Alt + R —— 重复所有操作
Ctrl + X —— 把选择的对象剪切到剪贴板上
Ctrl + C —— 把选择的对象复制到剪贴板上
Ctrl + A —— 选择所有对象
Ctrl + H —— 隐藏所选择的对象
Ctrl + T —— 追踪对象
Ctrl + B —— 清除对象踪迹
Ctrl + I —— 作出交点
Ctrl + M —— 作中点
Ctrl + L —— 作线段
Ctrl + P —— 填充多边形内部
Ctrl + G —— 画函数图像
Ctrl + Shift + P —— 建立参数
Ctrl + Shift + F —— 标记中心
Alt  + = —— 打开计算器
Alt + ＞ —— 增大文本字号
Alt + ＜ —— 减小文本字号
Alt + ] —— 加快动画速度
Alt + [ —— 减慢动画速度

7．使用gif.gif.gif软件使图画动起来！

[ 本帖最后由 老封 于 2008-3-20 15:01 编辑 ].

我们也报名.

报名！
另外，请问几何画板软件哪里可以下载？先让孩子熟悉一下。.

引用:

原帖由 ITmeansit 于 2008-3-20 15:49 发表
报名！
另外，请问几何画板软件哪里可以下载？先让孩子熟悉一下。

网上吧。用搜索引擎搜索一下，几何画板4.0以上版都差不多的。.

报名!.

太好了，刚报了封老师的几何启蒙班，因为孩子是五年级，有点担心跟不上，现在好了，可以近距离与老师沟通了。立刻报名。.

报名免费讲座，请问具体时间？.

也想参加，报名！.