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[生活] 老封:平面几何热线

回复 #50老姜 的帖子

感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。.

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引用:
原帖由 炫炫爸 于 2007-3-5 14:41 发表
感觉这题不包括A点和D点更有意思一些。
这个问题需要简单讨论一下,还是不难的。不含有A,D,折痕的取值范围就有可能是个开区间。.

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刚刚我又新编了个几何题!奉献给大家思考。不过还不算是我说的那个征解题,这还要过两天才公布。
题目如下:

如图:ABE和CDF是夹在两条平行线之间的两个等腰直角三角形,而且线段EF也平行于这两条线。
求证:BD±AC=MN(即平行线之间的距离)。

注:其中+、-号根据图形不同而选取。

(刚才字母有点错,现已纠正)

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-5 16:03 编辑 ].

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2007-3-5 16:01

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题目不难,但却很优雅,符合冯先生一贯的处世风格。.

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2007-3-5 16:45

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看懂了。

[ 本帖最后由 春笋逢春雨 于 2007-3-5 17:03 编辑 ].

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顶,不要让温度下降,要想大跃进那样火热。 .

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回复 #56炫炫爸 的帖子

是啊,而且要像大跃进那样——速度越快,功绩越大! .

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不好意思,新题还在改编中。不要期望过高,能够给大家带来快乐就好。
昨天与老姜在讨论这样一个题:

已知△ABC中,∠A=120,在AB、AC两边上分别取点E、F,满足BE=CF,设BF与CE相交于D点。再以BC为一边上下各作正三角形QBC、PBC。求证:AP∥QD。

虽是新鲜出炉的趣题,但恐怕用它作为征解题会太难一些。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-3-7 14:45 编辑 ].

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2007-3-7 14:42

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回复 #58老封 的帖子

昨晚在饭店里FB,冯先生坐在我的边上,眼睛定洋洋的,一直在考虑一道新出炉的平面几何问题,嘴里念念有词。

哎呀呀,冯先生对几何的痴迷,已到了废寝忘食的地步,赞一记!

补充一句:乘冯先生在几何王国里流连忘返、无法自拔之际,老姜张开血盆大口,风卷残云,把一个个菜盆吃成底朝天。.

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不是冯先生买单,你当然要多吃一些,要不冯先生打包走了,你回家怎么跟LP报账

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-3-7 16:57 编辑 ].

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奖,奖,奖,我也想要奖!.

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单墫教授的一个题:
(录自新著《我怎样解题》)
可参见:
www.jw-edu.cn/Shownews.asp?ArticleID=25082.

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2007-4-16 16:39

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回复 #2老封 的帖子

如图:

AB=CD=a,BC=DE=b,∠ABC=∠CDE=90°
显然⊿ACE为等腰直角三角形( 直角⊿ABC≌直角⊿CDE),即∠CAE=45°
∵⊿ABF∽⊿EDF  ∴DF/FB=DE/AB=b/a
∵DB=a-b         ∴FB=(a-b)a/(a+b)
∴FB/AB=(a-b)/(a+b)
即∠EAB=∠2 (∠1和∠2为原图所示)
∴∠1+∠2=∠BAC+∠EAB=∠CAE=45°
得证

[ 本帖最后由 秦博他爸秦革 于 2007-4-17 10:50 编辑 ].

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2007-4-17 10:42

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回复 #63秦博他爸秦革 的帖子

这和前面春笋逢春雨的解法基本一样,但图形更简洁了些

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-17 14:30 编辑 ].

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悬赏一道平面几何题

悬赏一道平面几何题(奖励最先给出有效证明者精美图书一套!)
“设D是△ABC内任一点,过动点P作AD、BD、CD的平行线,在△ABC相应两边所在直线之间截得三条线段,其长度分别记为x、y、z。求证:x/AD、y/BD、z/CD这三个比值中,一定有一个等于另外两个之和。”.

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2007-4-27 11:56

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老封,大家都忙小升初去了,那里打得火爆,看来你悬赏签名书会有效一些。.

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证明来也

下午监考,晚上阅卷,一个字:累。

看到冯先生有书奖励,思考半小时,终有良策,还是一个字:爽。.

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2007-4-28 00:04

图一.GIF

图二.GIF (10.15 KB)

2007-4-28 00:04

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2007-4-28 00:04

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补充一句:如果DE//AC,x2/y2=1,结论是显然的(图四)。如果E与A重合,那就更显然了,这些话俺就不罗嗦了。.

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2007-4-28 06:40

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老封向老姜奖励科普名家谈祥柏先生所译的《稳操胜券》(上、下)一套!.

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鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法:
http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html
他也获得了老封的赠品:
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册!
上面两位可到指定地点领取奖品:http://www.jw-edu.cn/.

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引用:
原帖由 老封 于 2007-4-29 10:33 发表
鉴于市北初级中学邓博文同学给出了新的证法:
http://ww123.net/baby/thread-4419802-8-1.html
他也获得了老封的赠品:
“通俗数学名著译丛”中的《奇妙而有趣的几何》一册!
上面两位可到指定地点领取奖品 ...
邓的书我带给他,可以吗?5月5日我会遇到他的,我先把我的那本给他(我好像有两本哦,一本你以前给你,还有一本数学学校发的),然后5月11日你给我。请指示。.

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引用:
原帖由 老姜 于 2007-4-29 13:19 发表

邓的书我带给他,可以吗?5月5日我会遇到他的,我先把我的那本给他(我好像有两本哦,一本你以前给你,还有一本数学学校发的),然后5月11日你给我。请指示。
那最好不过。其实我身边已经没有这本书了,上次的已全被抢购一空。.

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请教老姜一个问题

老姜上次在另一帖子(http://ww123.net/baby/thread-4419808-1-1.html)中提到:
“下图中,求证:EI=FJ。”
我也对同一图形作了探索,没想到获得了一个意外的结论:
同一图中还成立“BK平方+CL平方=2×EI平方!”
不知道其难度如何?你有兴趣想一想吗
看来老封又要继续设奖了:).

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2007-4-29 16:14

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更一般的关系也找到了!

.

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2007-4-29 16:44

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有奖品,赶紧来。

说穿了,并不难。

首先要想清楚里面的两个正方形是怎么作出来的,很多解题者应该卡在这里,连图也画不出。
其实只要以M点为旋转中心,将底边BC旋转90度。交FG分别于L、P两点。这两点一定是里面两个正方形的上面的两个顶点。(假如这步都没有理解,那么赶紧向封老师学习几何作图。我水平不够,解释不清楚。)
一不小心B、C两点就转到了B‘和C’。于是有BJ=B‘L,CN=C'P。由于旋转所得,FQB’R和GTC‘S都是正方形。剩下就是计算了。
FL^2+PG^2=FQ^2+QL^2+GS^2+PS^2=B'L^2+QL^2+C'S^2+PS^2=B'L^2+2B'L*QL+QL^2+C'S^2-2C'S*PS+PS^2=(B'L+QL)^2+(C'S-SP)^2=B'L^2+C'P^2=BJ^2+CP^2
得证。

奖品到手咯。.

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2007-4-29 17:18

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引用:
原帖由 老封 于 2007-4-29 16:44 发表
哇哇哇。梯形的刚解决,又来新的了。继续。.

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不高兴重新画图了,借用原来的那张图。
前面的全部照旧,唯一的问题是由于不是梯形,所以画出来的两个不是正方形了。
容易证明△FQB’全等于△C‘SG。剩下的就是一样的计算了吧。.

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严重同意:
发现一个问题远远比解决一个问题来的重要。

这种简单的题目,姜老师就让让我们小字辈的出出风头嘛。
等到出来一些需要本事才能解决的题目,自然就是你们出风头了。.

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LS太谦虚了,84姜老头高姿态,24姜老头手脚慢,郁闷啊,书没了。

忽报老猫已伏虎,泪飞顿作倾盆雨。  

给一个更强的结论:2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。.

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2007-4-30 07:00

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引用:
原帖由 老姜 于 2007-4-30 07:00 发表

给一个更强的结论:2(a^2-d^2)=2(b^2-c^2)=e^-f^2。
个人认为这个结论写成:(a^2+b^2)-(c^2+d^2)=e^-f^2是不是更好看。.

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晚上不能上网,痛苦。
上午登录一看,惊喜!老猫真是高手啊,抽刀断水功夫非凡。老姜的新结论也让人欣喜。说明这个图形奥妙非凡,还有待发掘。
老猫指出了一条正确的思路:把一侧的图形旋转过去!只有这样,才能建立图形的内在联系。
不过说实话,老猫的证法我还没有完全消化,有些细节还未想通:在一般情形中,为什么旋转后,线段C′E和D′F必相等?——这是保证全等的基础。.

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2007-4-30 10:23

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昨晚我还考虑了一种推广:
当M不是中点,而是AB联线上的任意一点,结论也有效,只不过前面需要加权的系数。
具体说来,就是:两者平方差之比,与P点分线段AB的比的平方相等!
(这一情形还没给予证明呢。有待大家努力!)

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:52 编辑 ].

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2007-4-30 10:33

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但是我试过另外两种推广思路,却失败了:
推广至正三角形不行;推广至普通的直角三角形也不行;只有等腰直角三角形才行。
说明其中肯定还有奥秘没被完全搞清楚。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:48 编辑 ].

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2007-4-30 10:37

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2007-4-30 10:48

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向老猫致意

为了奖励老猫昨晚出色的工作,现向你赠送最新出炉的新书——单教授刚修订出版的《解题研究》一册!
凡是对这题讨论有贡献者,还可继续获取老封提供的新奖励:)

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 10:50 编辑 ].

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老姜的结论好像也不容易推广至加权的情形,我正在伤脑筋呢。
谁有锦囊妙计没有?.

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2007-4-30 12:26

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我又发现了证明细节的一些新的线索:
图中EC′=FD′=AB/根号2,
两条垂线EP、FQ的长度分别为x+y、x-y,其中x、y是图中所构造的水平和垂直距离(以CD方向为准)。
也就是说,老猫所构造的这对全等的直角三角形的三边长度,仅跟线段AB的长度和方向有关!
这些细节也许对证明有至关的作用,供大家参考。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-4-30 13:40 编辑 ].

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2007-4-30 13:14

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引用:
原帖由 老封 于 2007-4-30 10:23 发表
为什么旋转后,线段C′E和D′F必相等?——这是保证全等的基础。
忽然发现此处的证明证不出来了,是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明?.

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引用:
原帖由 老猫 于 2007-4-30 17:04 发表


忽然发现此处的证明证不出来了,是不是当时没有仔细推敲这个地方的证明?
证明的确是有点过不去,我晚上也会再想想。.

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老猫:昨晚想过了,你的证法好像是有问题。线段EC′和线段FD′的相等不成问题,我已给出了证明,而且还证明了这对全等的直角三角形:Rt△PEC′和Rt△QFD′的两条直角边确实分别为x+y和x-y。
但接下去的论证却走不下去,不能得到平方和成立的有效结论,只能得到如下的关系:.

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2007-5-1 13:27

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2007-5-1 13:28

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已彻底弄明白了!
老猫的证明是有效的。
而且用老猫所添的辅助线,还可以对梯形的情形得到额外的结论:
“BK+CL=AD。”
而这也并非是平凡的。.

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2007-5-1 15:44

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推广终于找到了!

设P、Q是线段AB上的任意两点,图中四个正方形共有三组顶点各四点共线,那么六条线段a,b,c,d,e,f的长度成立如下关系:.

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2007-5-7 00:31

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2007-5-7 00:31

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现在的问题是,不知正方形是否还能推广为其它的图形?.

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又推广到了矩形!

(不过结论不如正方形强,只能写出一个等式。)
设P、Q是线段AB上的任意两点,图中四个形状相似的矩形共有三组顶点共线,那么六条线段a,b,c,d,e,f的长度成立如下关系:.

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2007-5-7 01:56

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2007-5-7 01:56

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设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似四边形,则一定成立如下关系:.

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2007-5-7 15:03

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2007-5-7 15:03

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刚才犯了点错误,请见

http://ww123.net/baby/thread-4419808-2-1.html

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-7 16:22 编辑 ].

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终于克服了错误,找到了预期中的好结果!

设ABCD和A′B′C′D′是平面上任意两个顺相似的圆内接四边形,则一定成立如下关系:.

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2007-5-9 09:01

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2007-5-9 09:01

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如果去掉圆内接的条件,结论就比较繁,这里就不写出来了.
如果两个四边形不相似,那我想什么关系也都没有了.谁能找出来,我服了他!.

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:).

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另外的证明.GIF (13.79 KB)

2007-5-9 13:03

另外的证明.GIF

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