我来答一下吧：
1、反面入手，最后三个数和为159，且第三个数是前两数的平均数，说明最后一个数是53，并且前面两个数可以写为53－a，53+a（这是简化的关键，当然a要是个正整数，可能最后得到a是个小于零的数，那就设前面两个数写为53+a，53-a）！
然后呢，倒着写，53，53-a，53+a，53-3a，53+5a，53-11a，53+21a，53-43a，53+85a，共九个数。到此，需要保证是只是上面的九个数全是正整数就可以了，看53－43a，得到a只能为1，也就是说第一个数为138，下一个10，2008-138-10=1860

2、1+2+......+99=4950
第一次划完剩下33个数 6，15.。。。。。。。。。这是一个4950
第二次划完剩下11个数 45，126.。。。。。。。。这是一个4950
现在已经有3个4950了
第3次 先划9个数   结果是774，855，378，X，X   剩下的5个数和是4950
所以新出现的3个数和是4950-774-855
然后继续划774，855，378，得到的新数是774+855+378
现在还剩下3个数
那么最后一个数就是4950了
所以总和是3x4950+4950-774-855+774+855+378+4950=25128

3、学而思郑巍老师的详细解答（搜来的）：
解码题需要说明的几点：
1.        每组数据与这个密码都只有一个数位上的数字相同，也就是位置也要对，数字也要对
2.        当通过某一组数据确定了某一个数位上的数字，比如通过abcd1来确定个位是1，那么abcd1这个数据就没别的用了，直接去掉。 特别地，如果还有其他组数据的个位上也是这个数据，要同时去掉，比如同时有efgh1，也去掉。
3.        确定5位密码，要10组数，就如本题
确定4位密码，要8组数
确定3位密码，要6组数
确定2位密码，要4组数

不知道规律，从最简单的2位密码来找点规律，例如4组数：13，32，52，14，如果假设13中的3是最后密码的个位数，那么去掉13，还剩32，52，14，他们个位已经跟密码的个位不相同了，且还要有一个数位与密码是相同的，那只能同时在百位相同了。但是这三个数百位分别是3，5，1，根本不能同时满足——所以个位不是3，同理个位不是4，显然个位是2，题中正好重复了一次（如果2都不重复的话，要满足只有一个数位与密码同，那要逼的这4个数的百位都要相同！）去掉32，52，剩下13，14，恰好百位相同，所以密码为12（此时百位如果不同，无解）
再来3位密码找点规律，例如编6组数：156，178，324，425，863，903
如果假设密码个位数是6，那去掉156，剩178，324，425，863，903
进一步假设十位是8，那去掉178，剩下324，425，863，903
剩下这四个数按照前面的假设，十位和个位都是与密码相应位置不相同，那走投无路，只能百位相同了。可是百位分别3，4，8，9，根本不满足，假设不成立
同理，个位数可以排除8，4，5，只能为3
恰好3重复了两次，一次可以排除两个数，为后面保证百位相同创造了极大的方便。因为如果剩一个数，那最好，直接确定百位，如果剩两个数，那一定要两者百位数字相同，否则无解，如果剩三个数，那一定要同时保证三者百位数字相同，否则无解。所以规律来了——开始时同时去掉的越多越好，也就是如正堂老师回答的，统计各个数位上每个数字出现的次数谁出现的次数高，那个位置上就一定是谁——否则同时去掉的数据少了，后面要被逼得走投无路了。

来看这道题，五位密码，10组数
万位——0到9每个只出现一次——其实这是应该高兴的，后面再讲
千位——4出现两次，9出现两次
百位——1出现三次，8出现两次
十位——7出现三次，3出现两次
个位——1，2，6分别出现两次
频率最高出现了三次，分别百位的1和十位的7
如果先用7尝试，也就是定下来十位是7，那么恭喜拉
去掉十位是7的数据，剩下的7个数是63136，29402，35862，79588，42936，50811，07145
关键的来了——要重新统计各个数位上每个数字出现的次数，这7个数中
万位——0到9每个只出现一次——没办法
千位——9出现了两次——高兴
百位——1出现了两次，8出现了两次——有干扰
十位——7，固定了嘛
个位——2出现了两次，6出现了两次——有干扰
唯一没干扰就是9，那么千位为9，同时去掉2组数据，剩下的5个数是63136，35862，42936，50811，07145。再重新统计一下
万位——0到9每个只出现一次
千位——9，固定了嘛
百位——1出现了两次，8出现了两次——有干扰
十位——7，固定了嘛
个位——6出现了两次——高兴
所以百位为6，又可以去掉2组数据，剩下的3个数是35862，50811，07145，再统计
万位——0到9每个只出现一次
千位——9
百位——8出现两次——高兴
十位——7
个位——6
所以百位为8，又去掉2组数据，只剩下07145，显然7145与密码相应位置都不同，那只能在万位上一致了，为0。所以最后答案09876

首先自己要搞清为什么要选出现次数多的百位上1也出现了三次，大家尝试从1来操作，后面就会发现被逼得走投无路了。最后来说一下为什么看到万位上没有重复数字了会高兴。还从3位密码来举例子。刚才3位密码的6组数据：156，178，324，425，863，903
恰好百位只有1重复了两次，对于十位的2和个位的3同理，所以直接可以判断密码123
这是理想的情况，不像5位密码10组数那样有干扰。我们来把其中的1个数据变一下，把178变成278试试。但是278与123没有相应数位上数字的对应（因为把唯一对应的1给改掉了）。于是要保证有一个对应，或者把7改成2，或者把8改成3
改7为2，则278——228，别忘了6组数里面还有324，425
这样十位上的2出现了三次(增加了一次)，同理改8为2，个位上的3就出现了三次
也就是说，百位上不重复是有代价的——代价是其他位置上重复的次数要多一次，多了一次也就更加突出，更加容易先找出来了，所以值得高兴。

4、网上太多了.

第4题一定有.

某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少？

　　分析：由个位起逐个递推：4*4=16，原十位为6；4*6+1=25，原百位为5；4*5+2=22，原千位为2；
4*2+2=10，原万位为0； 1*4=4，正好。所以，原数最小是102564。.

编号为1——6的钥匙放在编号为1——6的箱子里，但好方法必须是钥匙和箱子的编号不同，“现在先挖开了1.2.号的箱子，拿出了钥匙去开箱子上的锁。”说明编号1、2中至少有一把钥匙不是编号1、2的，这把要是必然是其它四个箱子的，本题是有条件的组合问题，对小学生来说最好画树形图解决。现在有事晚上继续。.

不会画图，也不会上传图片，您只能将就看了：
1）1、2号箱中有1把是1或2的(2×2=4种放置可能），然后那把钥匙有4种可能，剩下一路开到底，则4×4×3×2×1=96
2）1、2号箱中2把都不是1、2号钥匙（4×3=12种放置可能），为叙述方便，不妨设为是3、4号钥匙，则以下又分为两个分支：
a）3、4号箱中的钥匙恰是5、6号，则12×2×2=48
b）3、4号箱中有1把是5或6号，另1把是1、2、3、4之一，则12×2×4=96
所以合计96+48+96=240。 这样的题目考四年级学生有点过份。应该是高二程度较好的学生的要求了.

本题用概率解会简单一些.

引用:

原帖由 笨笨兔子 于 2009-10-22 11:42 发表
竞赛真题又来了，继续向大家请教：

老师在黑板上写了3个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上的3个数的和是159。如果开始时老师在黑板上写的3个数之和为2008，且都是整数，那么开始时老师在黑板上写的第一个数是什么？

可以设定三个数依次为a、b、c（且三者不同），则有a＋b＋c＝2008。
按规则7次后，三数分别为（11b＋21c）/43、（21b＋43c）/64、（43b＋85c）/128，则有（11b＋21c）/43＋（21b＋43c）/64＋（43b＋85c）/128＝159，简化得43（b＋2c）－c＝43×158－10。
综合上述两个条件，即可得到：a、b、c三数分别为1960、138、10。

[ 本帖最后由 pharm 于 2009-10-23 00:45 编辑 ].

引用:

原帖由 笨笨兔子 于 2009-10-22 11:42 发表
某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，问原数最小是多少？

设原数为a4（上面加横线），其中，a为多位数。
则有a +10^n＝（10a＋4）×4，其中，n为自然数。
简化得a＝10^n－（10^n－16）/39
根据10^n－16的个位数为4、且必须是39的倍数，则10^n－16为84、984、9984、99984、9…984之类的数值，从而可以通过枚举法确定，10^n－16＝9984为符合要求的最小数，此时n＝4，a＝10256。所以原数最小为102564。

[ 本帖最后由 pharm 于 2009-10-23 00:45 编辑 ].

这种问题有个公式：有n个箱子，先挖开了m个箱子，那么这个“好”方法共有m*(n-1)!种。
此题：n=6，m=2，“好”方法=2*5!=240.

这个问题可以更简单、1+2+......+99=4950
第一次划完剩下33个数 6，15.。。。。。。。。。 4950
第二次划完剩下11个数 45，126，207。。。。。。。。
划3个数45，126，207  变成9个数  288，。。。。。。，45+126+207=378  这9个数之和是4950
9个数变成3个数 4950
3个数变成1个数 4950
5x4950+45+126+207=24750+378=25128.

这个公式是我临时想到的，一开始m=1,2很快就得到结果，所以我猜想这个命题对于一般的m成立，最后用数学归纳法想到这个命题的证明。这个问题的一般性应该是大学组合数学中讨论的问题，我想奥数书上应该没有一般性问题的解答与讨论。.

12种动物的智商为12个连续自然数，其中9种动物各有1只，另3种动物分别为2只，3只，4只。这18只动物的智商和为216，其中最高智商最大值是多少？

设智商最低的动物智商为x，则12种动物各一只的话，其智商和为(2x+11)*12/2=12x+66，假设智商最低的动物有4只，其次为3只，再2只，那么智商和就是12x+66+3*x+2(x+1)+(x+2)<=216，求出最大的整数x=8，x+11=19.

你怎么成为教奥数的老师了？
我那儿子看你们的解题思路,也想学一下,可惜很多题目没有了,可惜楼主没有了?你有么发一份给我好吗?我们有空时也学习学习,谢谢你了.

我不是奥数老师，只是跟着孩子一起学而已。题目我也没有。.

建议楼主不要把原来的题目删了，而是后面增加新题目。就像Jim1999说的，我本来也是想让孩子周末有空的时候看看的，却找不到题目。.

今天才上来， 可以很多题目都没了，LZ能否分享一下，让我们也学习学习，谢谢！.

2，
1
3-1
3
3+1
9-3-1
9-3
9-3+1
9-1
9
9+1
9+3-1
9+3
9+3+1.

3，
（2），（4，30），（6，28），（8，26），（10，24），（12，22），（14，20），（16，18）
8+1=9个.

1，

25+38+43=106
106与18除以该数的余数相等，它们的差是这个数的倍数。
106-18=88=8*11
三个余数和为18，该数至少是6。
该数是8或11。.

“2”就是单独的一组啊，有没有32都一样。.

1，3可以数出1、2、3、4，这个很容易。然后是9本身和9分别加上和减去1、2、3、4。.

no, no, no,您误解了。
这是个抽屉原理的基本类型，要根据题目构造出最合理抽屉，和“过半”无关。 .

找些书或者google一下，这么讲太累了。 .

对的，俺疏忽了。余数不能大于除数，所以8不可以。.