接下来几节要讨论循环节的长度。当然，这些内容在数学上已经有了明确的结论，但是本帖的主旨并非简单告诉读者们一些结论，而是希望通过对一些问题抽丝剥茧式的分析求解，展示一些数学思想和常用的方法。
因此，假如读者已经了解了一些循环节长度方面的结论，请暂时忘记它；如果读完本节之后，有一些更好的想法，也欢迎提出来大家一起讨论。
现在就从最简单的情形开始研究。假设有一个素数p，我们考虑它的倒数1/p，用长除法可以求得对应的小数形式。这个小数将具有什么样的形式呢？它是纯循环小数还是混循环小数？它的循环节长度取决于什么条件？
我们前面已经知道，如果p为2或者5，那么1/p可以写成有限小数（就是0.5和0.2）。如果p是其它素数呢？
写到这里读者可能要问，为什么要假定p是素数呢？按照我们之前的思路，我们希望先研究最简单的情形。根据素数的定义，一个素数不能再分解为两个其它非1的正整数的乘积，而合数则总是可以分解为一些素数的乘积。这意味着在考虑乘除法性质的时候，素数也许比较简单或者基本（当然不一定如此；如果碰到困难我们再另寻出路）。
所谓循环节，就是会重复出现的数字模式。读者可能有印象，在做长除法的时候，如果在某一阶段出现了前面已经出现过的余数，那么后面的余数和商也会跟着重复出现。最简单的例子是1/3，做长除法的时候，每次都是得到一个余数1，因此构成循环。读者不妨试着做一下看看。下面要把这个规律用数学语言写出来。
为了更直观地观察到其中的规律，我们可以把长除法改写成一系列的等式：
1 = p * 0 + r_0 (r_0 = 1)
10 * r_0 = p * q_1 + r_1
........
10 * r_n = p * q_{n+1} + r_{n+1}
........
这样，对应的小数就是0.{q_1}{q_2}...{q_n}...，而r_i就是第i次得到的余数。按照长除法，我们把它乘以10再继续试商。易见，0 < r_i < p，并且r_i与p互素。
如果长除法里面得到的余数发生重复，即是说，对于两个下标i和j（这里不妨假设i < j）如果r_i = r_j，后面的商和余数会怎么样呢？根据上面的展开式，我们就有：
10 * r_i = p * q_{i+1} + r_{i+1}
10 * r_j = p * q_{j+1} + r_{j+1}
在r_i = r_j的前提下，容易证明，q_{i+1} = q_{j+1}，以及r_{i+1} = r_{j+1}。（证明留给读者作为练习。
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这就是说，如果长除法中余数重复出现，那么所得小数也会出现循环。这是一个平凡的结果，接下来要解决一个问题，即在余数形成的序列中，r_0是不是第一个重复出现的，或者说，1/p是不是一个纯循环小数。（待续）
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本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-9-5 23:05 编辑 ].
