[试卷] 2011新知杯试卷

2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题
一、填空题（每题10分，共80分）
1.已知关于x的两个方程：x^2-x+3m=0……①，x^2+x+m=0……②，其中m≠0.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_________。
2.已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为______。
3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________.
4.将8个数，-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得
〖(a+b+c+d)〗^2+〖(e+f=g+h)〗^2的值最小，则这个最小值为________.
5.已知正方形ABCD边长为4，E、F分别在AB，BC上，AE=3，BF=2，AF，DE交于G，则四边形DGFC的面积为。
6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则AC边长为____________。
7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的4/5，则第二名选手得分是_______。
8.已知a，b，c，d都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则a+b+c+d的最小值为_________.

二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）
9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知∠DAC=60°，∠DAC的平分线与DC交于S，直线OS，AD相交于L,直线BL与AC交于M。求证：SM‖LC.

   

10.求所有正整数组a≥b≥c≥d≥e≥f，使得a！=b！+c！+d！+e！+f！。






11.①求证：存在整数x，y，满足x^2+4xy+y^2=2022
②是否存在整数x，y，满足x^2+4xy+y^2=2011？请证明你的结论。






12.整数n＞1，它的所有不同的素因子为P1，P2，……Pk，对于每个1≤i≤k，存在正整数
a_i，使得p_i^ai≤n≤p_i^(ai+1)。记P（n）=p1+p2+……+p_k^ak，例如P（100）=2^6+5^2=89.

①找出一个正整数n，使得P（n）＞n；
②证明：存在无穷多个正整数n，使得P（n）＞ 11/10n.