[数学] 关于乘法

全国的新教材都不再区分被乘数与乘数,但我们上海的改革者们创造性的保留了几个几、几的几倍，事实上还在纠缠被乘数与乘数。请看一个农村小学教师的理解（原载教育部基础教育教材发展中心）

关于新教材“乘法意义”的再思考

- 作者：冷满红  
　　上个世纪80年代中期展开了一轮关于“乘法意义”的讨论，当时的结论基本上是赞同不必区分被乘数和乘数。新一轮课程改革更加明确了这一思想，并将其写入了《义务教育数学课程标准》。然而在具体的课堂教学实践中，不少小学数学教师仍存在一些困惑。很多教师提出，由于“乘法意义”的改革使教学实践中产生了一些很难理解的问题。例如：既然不再区分被乘数与乘数，也就不再区分相同加数与相同加数的个数的位置，这样一来，“8×2”或“2×8”都可以用来表示“8个2”，那么整数乘法意义“求几个相同加数的和的简便运算”该怎么理解呢？再如：“3×2/3”根据一个数乘分数的意义应该表示3的2/3是多少，但是根据整数乘法意义的延伸，是否也可理解为3个2/3相加是多少呢？又如：路程=速度×时间，如果交换因数的位置来列式，列出来的算式又该如何理解呢？由此，一些教师提出了乘法意义“还是应遵循老教材中的说法为好”的意见。
纵观上述观点，部分教师认为“乘法意义应遵循老教材的说法”的一个重要原因是对一些算式无法做出“合理“的解释。例如：“8×2”到底表示“8个2相乘”还是表示“2个8相乘”；“3×2/3”是表示“3的2/3是多少”还是也可以表示“3个2/3是多少”；“同学们去植树，每人植2棵，某班50人，共植多少棵树？”如果列式为“50×2”该如何理解等等。笔者认为出现这样的困惑很大程度上与改革的进程和新课程理念的落实有一定关系。事实上，在90年代，就已确定不再强调被乘数与乘数的区分问题。但是直到如今，很多地区的数学教学仍将小数乘法的意义与分数乘法的意义作为一个学习的重点与难点来安排，仍在强调“3×2/3”与“2/3×3”两个算式的不同意义。由于不了解新教材的编写理念，市场上很多教辅资料仍有要求进行严格区分算式意义的习题。如：“填空3×2/3表示（ ）”。这样一来，就与新教材的乘法意义发生了一定程度的冲突，给仍在使用老教材的教师与学生的思维造成了一定程度的“混乱”。但是改革需要一段较长的时间，新课程理念的扎根需要一个过程。面对这样一个“转型”阶段，我们更应深入地把握教材，深入地领会新课程理念。
一、正确把握新课程关于“乘法意义”的 相关规定
　　1．结合情境理解乘法意义，是新课程提出的新理念。
　　在《数学课程标准》第13页明确表示：“结合具体情境，体会四则运算的意义。”由此可见，单独追问一个算式表示的意义已成为历史！“填空：3×2/3表示（ ）”之类的题目将随着教材的更新而退出舞台！（实际上，在一个具体的问题情境中，乘法算式所代表的意义一般可以认为是特定的，如“一根3米长的绳子，用去2/3，用去多少米？”不论你写成3×2/3还是写成2/3×3，都可以理解为“3米的2/3”。）另外，《数学课程标准》对学生“运算意义的理解和应用”的要求做了相应的调整，只要能“运用数与计算的知识描述并解决实际问题”（详见《数学课程标准》第71页）就已达到了学习的要求。
　　2．淡化乘法意义的教学，是教材改编中的指导思想之一。
根据新课标关于乘法意义的改动，新教材对相关内容做出了合理的调整，乘法意义的教学呈淡化趋势。以人民教育出版社编辑出版的《义务教育课程标准试验教科书》为例(后面的分析中涉及课本时，均以此书为参照)，在五年级上册“小数乘法”部分，已找不到关于“小数乘法意义”的专门介绍，并且在相应的教师用书中强调了意义教学的淡化与解决问题教学的重要性。（在教师用书中写道：“与原义务教材比，淡化了小数乘法意义的教学，把重点放在计算的算理和方法的总结上，引导学生利用因数的变化引起积的变化规律来解释小数乘法的算理，并由此总结小数乘法的一般方法。”）在六年级上册“分数乘法”部分，也找不到关于“分数乘法的意义”的专门介绍（没有像老教材那样将分数乘法的意义分为分数乘整数与一个数乘分数两部分进行学习）。
二、深入理解新课程关于乘法意义改动的 必要性
　　1．新教材“乘法意义”更接近乘法的本质，更为科学。
　　整数乘法的意义是“求几个相同加数的和的简便运算”。这一本质在过去和今天的教材中都是一样的。只是在形式上，新教材允许把“2+2+2+2+2+2+2+2”改写成“2×8”，也可以改写成“8×2”。反过来，也就是说“2×8”可以表示“8个2相加的和”，也可以表示“2个8相加的和”。这可以说是“乘法意义”的一次突破，使我们对“乘法意义”的认识更接近其本质。因为“2×8”可以表示两种意义，以前只有一种意义完全是人为规定的。
　　实质上，“乘法意义”具有阶段性与统一性。“乘法意义”在不同阶段有不同的含义，并且可以用“向下兼容”来形容。首先，“几个”是“几倍”的特例。在整数乘法中，两者是等价的，这种思想可以让学生更容易认识“几倍”；当得不到整数倍时，就出现了小数倍，这时的“几个”是“几倍”的一种特例，乘法意义也就开始了扩展。其次，“一个数的几分之几”也是“一个数的几倍”的特例。当不到1倍时，我们就习惯于说“几分之几”，而不说“几倍”。再次，在学习了百分数后，“几倍”和“几分之几”都可以用百分数来表示。这样，乘法意义不同表述之间的统一性又一次得到了体现。由此可见，“乘法意义”具有阶段性，同时又有统一性。过去，我们的思想一直停留在一种不统一的状态，或人为分裂的状态。
　　2．新教材“乘法意义”为学生学习更多的“有价值的数学”提供了支持。
第一，它减轻了学生的操练性负担。如让学生算“5个3是多少”，过去，教师在审题阶段就要反复强调3是相同加数，5是相同加数的个数。在列式时还要强调谁做被乘数，谁做乘数。即使这样，还是避免不了学生列出过去被认为是错误的“5×3”这样的算式。而新教材的改动，使教师从这样的枯燥反复的教学中解放出来。学生也不必再为“谁在前，谁在后”而抓耳挠腮，从而有更多的时间与精力投入到探究性的能发展思维的数学知识的学习当中去，“学有价值的数学”的新课程理念也在这里得到了落实。
　　第二，它方便了学生对一些数学规律的探索。例如人教版试验教科书四年级下册（第33～34页）的乘法交换率部分的编写：首先教材创设了一个“学生植树的情境”，在情境中提供了一些线索“一共有25个小组，每组4人负责挖坑、种树”，然后在例1中提出了“负责挖坑、种树的一共有多少人”的问题。（在对应的教师用书中写道“学生一般都能说出4×25和25×4两个算式。接着提问：这两个算式得数是否相等？都表示什么？两个算式之间可以用什么符号连接？然后让学生再举出几个这样的例子，再提问：看看从中能发现什么？你能用自己的话说出你发现的规律吗？”）由于乘法意义的变革，学生“习以为常”地写出的“4×25”与“25×4”这两道算式，为学习乘法交换率的引入创造了有利条件（在以前，这样的情境引入基本上是不可能的）。同时，在学习此知识前的“习以为常”的列式，又为乘法交换率的学习提供了良好的经验支持！
　　第三，它拓展了学生的思维空间。如在三年级上学期，刚学多位数乘一位数时，学生利用加法思考乘法算式的结果时，就多了一种思路可以选择。譬如，学习“2×10”的计算，按以前的要求，可以通过想“10个2相加是多少”来求得答案，而现在由于乘法意义的改动也可以通过思考“2个10相加是多少”来求得计算的结果。可以肯定的是，相比而言，探索“2×10”的计算结果，思考“2个10相加是多少”比思考“10个2相加是多少”更加方便。而且，学生在思考“3×200”甚至更大的多位数乘一位数时，这种以前不敢使用的思考方法更有优势！
　　又如让学生计算“72×8+2×72”，这种题型在过去是一个教学难点。因为理解它必须用到“交换律”和“分配律”，要不就会“拐不过弯来”。今天的学生却可以十分自然地选择适当的意义而想到：8个72加上2个72不就是10个72啦！而这种如此简单的想法在过去会被认为是不合逻辑或不严密的。因此，新教材“乘法意义”解放了学生的思想，开拓了学生的思维空间，为创新思维提供了更好的平台。
　　总而言之，新教材“乘法意义”的改动是符合新课程理念，符合学生进一步学习需要的正确之举。对于处于教学一线的教师，应整体把握改革进程，深入钻研新教材，持续学习新理念，这样才能在教学中避免盲从，减少困惑。.