冯志刚

    (上海市上海中学   200231)

    摘要：谈三个方面的问题：(1) 上海中学数学班的办班情况  (2) 教学模式与一些教学理念  (3) 一些具体做法.

    本文结合上海中学高中数学班的情况对数学奥林匹克的教学理念和教学方法上的一些问题进行探讨,并结合笔者的教学实践和经验谈一些体会.

一．上海中学数学班情况简介

    上海中学高中数学班从1990年开办,至今已有13年的实践了.其生源是上海市初中数学竞赛、物理竞赛、化学竞赛及计算机竞赛中获得等第奖的同学.1990年至1992年该班是上海市业余数学学校和上海中学联办的,1993年获得IMO金牌的学生冯炯就是这个班毕业的学生.1992年9月起,转为由上海中学独自承办.我是1990年从华东师大毕业,分配到上海中学教数学班的数学课,开始接触数学奥林匹克.最初两年我可以说仍然在当学生,有机会认真听上海市业余数学学校的老师上的数学竞赛课,拥有向上海市最好的一批中教界的前辈学习和取经的机会,在数学奥林匹克教学方面走了一条捷径.1992年9月起,才开始独当一面.
    13年来,我校拥有了一只非常有实力的师资队伍,尽管他们不太有机会接触全国的一些教练员,但他们都已经成为上海市徐汇区乃至上海市的中学骨干教师.他们是况亦军、顾滨、柯新立、王永庆以及最近调入我校的周建新老师和我.这只队伍不仅要承担数学班的教学工作,还需为我校的私立初中―华育中学上初中数学竞赛课.
    1993年起上海中学开始每年有学生进入冬令营,最近4年每年都有学生进入集训队,在2000年,吴忠涛同学入选国家队,并为上海中学赢得了第一块学科竞赛的国际金牌.

二．教学模式与教学理念

1.数学班教学模式

    1996年起数学班采取分班教学,在上数学课时将数学班一分为二,其中数学班中最好的10余名学生抽出来,另外上课.我承担了高一到高三所有数学小班的数学课.
    首先,这样教学的必要性在于如下的观点：在数学学习上,每一个群体中都存在个体上的差异,特别是优秀学生,同为一等奖的学生之间水平和资质可能有天壤之别.应该说数学班(共40余人)的学生都是数学学习方面的优秀生,但真正能够走到底(哪怕是到冬令营级别)的人是非常少的.因此,对其中的优秀生应该区别对待,提出比其他学生更高的要求.当然,对优秀生采取小班教学也可以使更多的人脱离陪练的苦海.
    其次,采取分班教学必须有其可行性,每个学校的实际情况不同,不是每个学校都具备分班教学的条件.我想师资准备必须充分,尽管每个数学班的数学老师平均为1.3个(我上3个年级的数学小班),但是需要有一个敢于“牺牲”的老师,承担3个高中小班的课是非常辛苦的.另外,小班教学的老师应该与大班老师相互之间配合良好,成绩共享、责任同当.
    最后,在符合上述条件后,校领导必须有这个意识,对这样的教学模式给予肯定与支持,当然,还要平衡与其它学科之间的竞争和矛盾.

2.数学小班教学的一些理念

(1) 教的角度：强调观点要高
科研总是一种灵感升华后的产物,竞赛问题的解决也是类似的,我把它形象的描述为：在一座大山上寻找一个宝藏.如果这个宝藏在山顶,那么沿任何方向,只要上到山顶即可.最难的情况是宝藏在山腰,并且在山脚下不知道方向,寻找这样的宝藏不大可能一蹴而就,因此采用从山下往上爬的方法解决这类问题就会有相当大的偶然性.
    教学上,我尽量提高学生的观点,以期让小班的学生能够站得高、看得远.希望他们能够一步上到山顶,看清山腰的宝藏处,然后在山脚下找到一条通往宝藏得上山之路.这要求向学生不断渗透高等数学的观点,灌输一些数学思想.后面我们将结合数学奥林匹克得内容讨论一些具体做法.
(2) 学的角度：强调独立思考、自觉学习
    教的目的是为了不教,数学奥林匹克教学的不是要给学生多少知识,而是以数学奥林匹克问题为载体,教给学生一些方法和思想.在参与该项活动的过程中,使学生具有良好的学习方法、学习习惯和意志品质显得尤为重要.我总是有意识地强调学生自学,提高他们上课的效率.
(3) 参与竞赛：强调首先是做人,其次才是做学问
每一位参与学科竞赛学习的学生都希望得奖,这是不容回避的.竞赛老师也希望自己的学生多得奖,以期功成名就.但是我们应该对学生灌输正确的胜负观,要求他们撇开胜负,只要刻苦认真的做了,无论得到的成绩大或小都是一种回报.努力了不一定能够成功,但是不努力是肯定不会成功的.努力过就不会后悔,应该相信只要将这种精神一直保持下去,就必定会获得成功.
    在小班中,我强调公平竞争、相互协作.作为一个集体,无论谁取得了成绩都是集体的荣耀,其他同学都应该衷心的表示祝贺,保持良好的心态,以他为榜样继续努力,要做一个既有进取心,而又大度的人.

三．教学上的一些具体处理

    我们通常将数学奥林匹克的内容分为四个大块：平面几何、代数、数论和组合,数学奥林匹克教学一般都有一些侧重,再强老师都必定有某个方面是弱项,当然我们又都期望培养的学生在每个方面都很强,这是一个矛盾.如何解决是一个难题.
    我想每个教师都会依据自身的特点来处理教学,我个人的做法是把某一块做的比较强,真正优秀的学生不是教出来的,他往往能够举一反三、融会贯通,从而使自己没有特别弱的项.
在教学中,我们选择从数论开始,高一一年的竞赛课教学都是围绕数论与组合展开,这样做是基于如下的一些思考.
(1) 数论是代数的基础,学起来容意上手,不需要太多的准备知识,教起来素材又比较丰富,各国竞赛中都有数论问题,在Inter网上随便就可以找到一些合适的素材.例如IMO的试题中就有许多数论问题,潘承彪教授的书《初等数论》第二版的附录4中列举了从第一届IMO到第43届IMO中出现的数论问题,共82题,它们都是教学中的好素材.
(2) 数论是一门充满挑战性的学科,要学好非常困难.每一个章节都可以宣讲一些朴实的数学思想,都可以提出许多问题,因此容易提起学生的兴趣,引导学生主动提问并解决问题.
例如：我们教了完系的一些概念和性质后,可以讨论
问题1  对模m的两个完系a1,a2,…,am和b1,b2,…,bm,是否总有a1+b1,…,am+bm都构成模m的完系？都不构成模m的完系？对a1b1,…,ambm思考同样的问题.
   结论：当m为偶数时,a1+b1,…,am+bm都不构成模m的完系(证明比较简单)；当m>2时,a1b1,…,ambm都不构成模m的完系(证明相当难).
问题2  设m,n为正整数,是否存在模m的完系a1,a2,…,am和模n的完系b1,b2,…,bn,使得{aibj}构成模mn的完系?
结论：当(m,n)＝1时,存在(举例并不困难)；当(m,n)>1时,不存在(证明相当难).
    这些问题在讨论和宣讲的时候都有许多可以评述的地方，可以拓展得非常开,经常这样讨论学生水平会大幅度提高.
又例如：在学习过Fermat小定理后,可以讨论如下问题
问题1: 注意到,由Fermat小定理,对任意奇质数n,均有n|(2n-2),问是否存在奇合数n,使得n|(2n-2),若存在,这样的n有多少个？
   结论：有无穷多个这样的奇合数n.
    问题2: 是否存在无穷多个正整数n,使得n|2n-1?
    结论：只有n=1成立.
    问题3 是否存在无穷多个正整数n,使得n|(2n+1)？
    是否存在无穷多个正整数n,使得n|(2n+2)？
    结论：两个问题都是存在无穷多个,都可以用递推方法处理,难度上差异很大.
(3) 数论的问题大都充满智巧,看到解答后,往往会有“这么容易,我怎么没想到”的感慨.我相信教数论可以使聪明的中学生越变越聪明,想想如果参加竞赛培训后,学生变笨了,这个责任谁担负得起？当然,解决一个数论问题又可以有不同得出发点,因此又会得到一些妙解.学生解决的问题越多就越有信心,方法与书本和老师不同就会有成就感。
例如：Dirichlet定理的结论中的一些特殊情形经常被用来作为竞赛题
    问题1  证明：数列{4n-1}中有无穷多个数为质数.
    问题2  证明：数列{4n+1}中有无穷多个数为质数.
    评述：两个问题都可以用反证法处理,若命题不成立,设只有有限个,它们是p1,p2,…,pn,问题1只需考虑x=4p1p2…pn-1中模4余3的质因子，就可得到矛盾.
    对问题2,考虑数x=(2p1p2…pn)2+1的质因子q,利用：若－1是模q的二次剩余,则qº1(mod 4),由此可以推出矛盾.
由于二次剩余在中学阶段一般不讲,问题2很少在数学竞赛书中出现.其实要证明数y2+1的奇质因子qº1(mod 4),可以有很多方式处理,例如利用指数的性质就可以证明：对任意正整数k,数 +1的质因子qº1（mod 2k）,因此,有下面的结论：设k为正整数,则数列{2kn+1}中有无穷多个质数.顺便提一句,今年全国高中数学联赛二试第2题本质上就是求3对模104的指数.
数论与组合、数论与多项式、数论与许多代数问题之间都有联系,在教数论时可以兼顾其它分支.例如
    问题1  已知正整数a,b满足(a,b)=1.证明:
             .
它可以利用首尾相加的方法予以证明,这个方法在数列求和中经常出现；还可以利用几何方法处理,转为求一个直角三角形中的整点个数,可以对比下述问题
    问题： 有多少对整数对(x,y)满足不等式组 ？
如果教师能对许多竞赛问题都比较熟悉,就能做出许多问题之间的链接.
问题2  设m为正整数,证明: =m,其中j(n)为Euler函数.
本质上可以考虑将按行求和改为按列求和,这与代数中的交换求和号是相同的.
    问题3  对任意整数n>1,定义 ,这里 是n的不同质因子.证明:对任意正整数N>1,均有:a2+a2a3+…+a2a3…aN<1.
此题第一步就要对每一项进行估计,要用到均值不等式,当然求和过程中也会涉及到交换求和号的思路.

四．结束语

    我开始教中学的时候,老教师就指点过我：教书要由浅入深,逐步递进,同时要善于提炼,总结规律.这是非常正确的,对中等程度的学生提高成绩非常有效.后来，在数学小班教学中,我多加了几个字：教书要由浅入深,逐步递进,同时要善于引导学生去提炼,去总结规律.不要轻易将规律性的东西交给学生,有时这样做会剥夺学生思考的机会.当然最初的时候多教一些,有利于打开学生的思路,到一定水平后,就要多创造一些机会让学生去提炼.
    一个优秀的学生在学问上,应该具有很强的“反叛”意识,对问题提出自己的意见和想法.我想一个好的教师是否也要有一些不同于前辈的、属于自己的想法呢？罗嗦了很多,不对和不足之处,敬请指正..

无语，
培养乒乓球国手，足球国脚或奥数国脑。

[ 本帖最后由 fand 于 2006-6-9 10:54 编辑 ].

很有启发，谢谢！.

很受启发。.

好选.

好贴，居然沉了三年那。

[ 本帖最后由 怜幽草 于 2012-8-1 08:34 编辑 ].

这么好的贴。居然沉了三年。谢谢男孩爸爸。

[ 本帖最后由 怜幽草 于 2012-8-1 08:24 编辑 ].

这才是好老师，比起那些让孩子死背公式的培训机构老师好多了！.

引用:

原帖由 无言2012 于 2012-8-1 09:04 发表
这才是好老师，比起那些让孩子死背公式的培训机构老师好多了！

哈哈哈哈，你太聪明啦.

引用:

原帖由 无言2012 于 2012-8-1 09:04 发表
这才是好老师，比起那些让孩子死背公式的培训机构老师好多了！

所以培训盈利机构很难造就天才。这不能怪培训机构，因为家长要看效益的短期眼光造成。.

我们国家人口世界第一，但是我们国家真正能成“家”的世界级科学大碗有几个？匹配吗？我们的国家，教育局，老师们，家长们，整个社会要好好深思这个问题了，丢人啊。

[ 本帖最后由 怜幽草 于 2012-8-1 09:11 编辑 ].

能成“家”的世界级科学大碗是绝对胜出者，这里竞争的是相对胜出者，选拔机制也是有利于相对胜出者。绝对胜出者需要宽松的环境，忍耐等待，勤奋天份，源自内心真正的兴趣。两者的可以用征服与竞争来形容吧。.

勿好讲 (......) 发表于 2006-6-9 12:22  只看此人 短信 关注 忽略  备注
好选
引用 回复 举报/投诉 仲裁 TOP
6楼 0 0 怜幽草 (自学会让我们掌握读书的诀窍) 发表于 2012-8-1 08:22  只看此人 短信 关注 忽略  备注
好贴，居然沉了三年那。

[ 本帖最后由 怜幽草 于 2012-8-1 08:34 编辑 ]


怎么计算的？三年？六年？糊涂了。.

引用:

原帖由 andreworm 于 2012-8-1 17:56 发表
勿好讲 (......) 发表于 2006-6-9 12:22  只看此人 短信 关注 忽略  备注
好选
引用 回复 举报/投诉 仲裁 TOP
6楼 0 0 怜幽草 (自学会让我们掌握读书的诀窍) 发表于 2012-8-1 08:22  只看此人 短信 关注 忽略  备 ...

啊，太过份啦，居然左三年，右三年啊。你们太过份了啊。沉了两个三年啊.

引用:

原帖由 andreworm 于 2012-8-1 17:56 发表
勿好讲 (......) 发表于 2006-6-9 12:22  只看此人 短信 关注 忽略  备注
好选
引用 回复 举报/投诉 仲裁 TOP
6楼 0 0 怜幽草 (自学会让我们掌握读书的诀窍) 发表于 2012-8-1 08:22  只看此人 短信 关注 忽略  备 ...

我数学一塌糊涂啊.

冯志刚是一名新上海人。1990年，冯志刚以上海市高校优秀毕业生的身份获得了留沪工作的机会，任教于上海中学高中数学班。21年的教学生涯，冯志刚从一个青涩的教师成长为一位成熟的教练；从一个普通老师成长为一名校级领导；从一名民进会员成长为民进徐汇区委副主委。
　　学校——成长的摇篮
　　在冯志刚工作将满6年的时候，他向学校提出边教书边攻读纯数学方向的研究生时，得到的答复是“有想法，学校支持你去考”。研究生一毕业，学校就让冯志刚担任学科竞赛总指导，将数学班的教学规划、尖子学生的个性化培养工作都交给了冯志刚。当冯志刚提出由上海中学申办“2002年中国数学奥林匹克”时，学校动用全校的力量来筹办，并将整个活动交给他来设计、统筹，学校由此成为全国第一个承办该项赛事的中学。从2003年起，冯志刚已经4次出任国际数学奥林匹克中国队副领队，学校一直非常支持。2008年，学校开始启动“创新人才培育试验项目”时，让冯志刚参与从招生程序到课程设置全方位的核心过程设计，构建了学校科技班教学实践的试验模式。正是学校的器重与培养让冯志刚走到了今天，并教会了他在领导岗位上应注重的方式与艺术。
　　徐汇区——展翅的舞台
　　2000年，冯志刚辅导的学生获得了国际数学奥林匹克的金牌，这是上海中学、也是徐汇区第一次有学生获得学科类竞赛的国际金牌。其后，冯志刚又被授予徐汇区拔尖人才称号并被评为上海市特级教师。一次作为特级教师向全区校领导和部分骨干教师的汇报讲演，让冯志刚这个沉醉于数学问题、沉醉于尖子学生培养的青年教师开始将眼光投向徐汇区，开始体会到徐汇区是冯志刚展翅的一个舞台。去年，区教育局领导又邀请冯志刚主持一个名师工作室，冯志刚毫不迟疑地接受了这个任务，并希望能将这个工作室办成上海市乃至全国都知晓的工作室。
　　区民进——实现个人价值
　　与社会奉献的平台
　　1994年7月，冯志刚成为了一名民进会员。回想当初，冯志刚加入民进的理由简单而直白：著名数学家华罗庚、教育家赵宪初都是民进会员。加入民进后，从参加新会员学习班开始，冯志刚聆听民进的老前辈宣讲民进会史，了解徐汇民进的组织结构、如何建言献策等等，学习前辈们无私奉献的精神。之后，冯志刚逐步成长为支部委员、区委委员、区政协委员、市民进中青年联谊会成员，并在今年6月份的改选中被推选为民进区委副主委。
　　“立足本职、双岗建功”，与党在“思想上同心同德，目标上同心同向，行动上同心同行”，是每一个民进会员工作方向。做一个让人民满意的好教师是冯志刚一辈子的追求，现在做好民进赋予他的新职责成了冯志刚的另一个目标。今后的工作中，冯志刚将本着“宁静致远”的平和心态，努力学习进取，完成自己的理想。
　　叹曰：22年的勤劳耕耘，终于得到回报。在教师的平凡岗位上做出了不平凡的成绩，我们希望有这样的好老师！.

上海中学高中数学班创办自1990年，招生对象为全市的理科方面有特长的初中学生，重点是数学方面有强潜能的学生.历年来数学班的毕业生大都考入国内和世界各名牌大学，许多同学还选择继续读数学，数学班学生在各级数学竞赛中累计已有300多人次获得市级以上一等奖，40多人获得参加全国数学冬令营的资格.在00、04年和08年吴忠涛、林运成和牟晓生同学还分别获得了当年的国际数学奥林匹克的金牌.学生的成绩源于个人的努力和学校的培养，而成功的培养源于正确的教育理念，恰当的教育模式、方法，以及持之以恒的教学实践.本文将从我校18年的实践出发，对数学强潜能学生培养问题作一些思考和讨论. 1.数学强潜能学生的甄别与选拔1.1数学强潜能学生在数学方面的表现表现出很强的记忆力:有一次我提出一个问题，一个学生很快给出了解答，原因是在1年多以前他听我讲过一个类似的间题，当时未做出，弄懂后仔细思考过，该生甚至能指出是在哪个教室内讲的.这样的例子还能举出很多个，一些学生的强记能力也非常强，有些学生经过两个月的强化培训后，就顺利通过了TOEFL考试.表现出很强的计算能力，对代数式变形的把握能力，数...... (本文共计2页).

这样的老师令人神往。.

好文章！有没有全文啊？.

尝试过，下载不成。.

只有在上中才能聆听他的教诲.

冯老师也在上海市业余数学学校执教.

可惜！.

上海中学网站对于本校的数学实验班的介绍

数学实验班 2011
　　上海中学数学班自1990年在上海市率先创设，如今作为科技实验班的对照实验班进行探索。数学班注重学生的学科潜能开发，尤其是数学方面的潜能开发，学生已经在国际数学奥林匹克竞赛上获得骄人成绩。
　　学校自1990年始，每年从上千名对数学感兴趣、有较强学习能力的上海市参加数学竞赛的学生中选拔40多名组成数学班，创设专门的课程进行培育。从1998年开始，每年又从数学班挑选10余名数学领悟能力强的学生组成数学小班，进行小班化教育，并对其中涌现的3-4名具有数学强潜能、高天份学生进行个别化教育。20年来，我校数学班共培育了数学方面有潜能的学生900余名，他们中数学学习能力极强、有天赋的学生有120多名，特别有天份的学生近30名。
　　通过这些年的实践与探索，我们认为对于有可能成为未来数学英才的学生怎么进行早期识别，这是一个十分困难、复杂的问题。通过这些年对数学高天份学生的教育以及对他们发展的追踪调研，发现有三个方面的维度值得在早期识别中加以关注：对数学的领悟力与深刻性，对数学的痴迷度与专注度，数学思维的缜密性与跳跃性。对数学英才的早期识别是为了更好地培育他们，开展有针对性的教育，促进他们的数学方面潜质得到更大限度地开发。在20余年的数学班教育实践与对高天份学生的培育中，我们发现以下三种策略的综合、适当运用对数学英才的早期培育可以取得良好的效果：采用“1+n”的导师带教方式；促进数学学习能力相仿的学生团队开展学习风暴式的合作交流；注重学生数学发展的可持续性。
　　我校的数学尖子培养经验在国际数学教育委员会（International Commission on Mathematical Instruction）执委会（Executive Committee）于2011年2月21日至24日在北京师范大学召开的会议上交流后，引起了广泛关注。上海中学唐盛昌校长的报告：《英才教育的早期识别与培育初探——基于案例的研究》引起了国外专家极大的兴趣，他用一口流利的英语与他们进行了深入的交流。

附：上海中学2001年来数学高天份学生发展的基本情况介绍

毕业年份        学生姓名     性别     高中阶段主要经历    就读大学与现在的去向

2001   吴忠涛   男   三次进入国家集训队，2000IMO金牌   MIT本科、Priceton博士；现在 CalTech做博士后，低纬拓扑

赵曼其   男    三次进入CMO(全国冬令营)   清华大学本科；现在美国读博士，偏向数学、物理

袁  健   男   两次进入CMO   Yale 本科，获数学和计算机双硕士学位；2005进Google，偏向数学、计算机

2002   王一鸣   男   两次进入CMO,一次进集训队   清华大学本科，现在美国读博士，偏向数学、物理

2003   袁  放   男   一次进入CMO   北京大学数学学院本科；现在美国读博士，纯数学

2004   
林运成   男   两次进入CMO,一次集训队，2004IMO金牌   北京大学数学学院本科，一年后转入MIT；2008年起，在Stanford读博士，代数几何

张凌人   男   两次进入CMO,一次集训队   Duke 本科；2008年-2010年在高盛集团工作，现在Stanford读博士，统计方向

陆  鑫   男   一次进集训队   北京大学数学学院本科；2008年起，在MIT读博士，运筹方向

陆  珞   女   女子奥赛满分，两次进集训队   北京大学数学学院本科；2008年起在Stanford 读博士，统计方向

2005  
陈昕韫   女   女子奥赛满分，两次进集训队   北京大学数学学院本科；2009年起，在Columbia University读博士，统计方向

2006
马宁宁   女   一次进入CMO   北京大学数学学院本科；2010年起在Brown University 读博士，纯数学
  
冯鑫锃   男   全国高中数学联赛一等奖，北京市高校优秀毕业生   北京大学数学学院本科；2010年起，在美国读博士，纯数学

2007
唐云清   女   女子奥赛满分，一次进入集训队   北京大学数学学院在读；预测：纯数学

应鲍龙   男   两次进入CMO,一次进集训队，2006年RMO(俄罗斯竞赛)银牌   北京大学数学学院在读；预测：数学应用

2008
罗  马   男   全国高中联赛一等奖   北京大学信息学院，一年后转入数学学院；预测：纯数学

2009
牟晓生   男   两次进入国家集训队，2008IMO满分，金牌；2009 Putnam 大学生数学竞赛获特等奖(全美前5名)   Yale 本科

高蕴之   女   女子奥赛第2名，两次CMO，一次集训队   MIT本科

曹钦祥   男   一次数学集训队，一次信息奥赛集训队   北京大学哲学系

2010
郑  凡   男   一次数学集训队，2009IMO金牌，一次物理集训队   北京大学数学学院

唐志皓   男   一次数学集训队，2009年RMM(罗马尼亚大师杯数学竞赛)金牌，第一名   北京大学数学学院

阮  丰   男   一次CMO，2009年RMM(罗马尼亚大师杯数学竞赛)银牌   北京大学数学学院

李  泱   男   一次CMO   清华大学本科

2011   
聂子佩   男   一次数学集训队，2010年RMM(罗马尼亚大师杯数学竞赛) 满分 金牌，2010IMO满分 金牌   上海中学在读

2012
佘毅阳   男   进入2011CMO   上海中学在读

周天佑   男   进入2011CMO   上海中学在读

张逸昊   男   两次全国高中联赛一等奖，2010年RMM(罗马尼亚大师杯数学竞赛)银牌   上海中学在读

[ 本帖最后由 ououmama 于 2012-8-3 12:11 编辑 ].