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已知X^2-y^2+x+□能因式分解, □为单项式，求□
家长与小女对这题的讨论交流记录:数学思维如何有序有条理且完备逻辑推理

小女：知道有多个解，但认为题目只要填出一个解就可以。有些题目有无穷多个解，如果全写出来，怎么写的下。^_^

家长：如果有些题目有无穷多个解，一般会注明只要写出一个解就可以。如果题目没有注明，你应该把做出来的解都写上去。

小女：解都写上去，老师批阅就是一个叉，又得订正了。写一个解还是多个解还是听老师讲解吧。

家长：我关心的是对这道解答的思维过程。

小女：解答的思维过程是：先观察题目已知条件有哪些特点，结论有什么特点，再根据这些特点解题。已知X^2-y^2+x+□能因式分解, □为单项式，求□。题目已知条件的特点有（1）有四个单项式 ，□为单项式（2）有X^2-y^2且能分解成（x-y）（x+y），（3）【x^2+x+□】-【y^2】可凑成平方差，然后再分解。（3）x^2+x能分解成x(1+x),从这些特点出发就可以做出本题答案。

家长：观察题目已知条件有哪些特点或已知条件中隐含条件，是解题的一种很好常规方法。但小女知做出了其中五个解，遗漏了一个。这说明思维中还是有缺陷的地方。数学思维讲究的是前后逻辑要有序有条理且完备。例如一个集合S是全集，划分成A，B，C互不相交三个子集合，则A+B+C=S，数学思维的完备性为S，假定数学思维是分类A，B，C讨论，则要求A，B，C互不相交，且A+B+C=S，例如整数=S，A=正整数，B=负整数，C=0，A+B+C=S，如果把C=0遗漏了，思维就不完整。

家长：所以这题的我的解题思路是这样的：
解法思路一：□为单项式，X^2-y^2+x+□为一个含x,y的多项式，设所求的单项式□=f(x,y)
则分类讨论：（1）当□=f(x,y)为不含x,y的单项式时（即□=f(x,y)为常数项时），给出□=f(x,y)的解;（2）当□=f(x,y)为含x的单项式时，给出□=f(x,y)的解;（3）当□=f(x,y)为含y的单项式时，给出□=f(x,y)的解;（4）当□=f(x,y)为同时含x,y的单项式时，给出□=f(x,y)的解。这是一个有序有条理且完备逻辑推理，不会遗漏答案。因为这四步互不相交，四步合起来完整

解法思路二：□为单项式，X^2-y^2+x+□，（1）三项X^2，-y^2，x中任取一项与□结合，使得X^2-y^2+x+□能因式分解，（2）三项X^2，-y^2，x中任取二项与□结合，使得X^2-y^2+x+□能因式分解，（3）三项X^2，-y^2，x中取三项与□结合，使得X^2-y^2+x+□能因式分解。这也是一个有序有条理且完备逻辑推理，不会遗漏答案。因为这三步互不相交，三步合起来就完整

[ 本帖最后由 lily503 于 2012-11-3 09:58 编辑 ].

请问，像类似于这类题目，如何让孩子一看就能知道怎么做？

该移项的移项，该添项的添项，该变项的变项....

这位MM，家有小儿也是初一的。你的题目看老师出在哪里的，如果是填空题，任填一个答案就可以啦。如果是最后的一道讨论题目，可以按你的多解。题目中会要求2或3个答案以上。MM的水平估计很高，问题不要想那么复杂，毕竟是初一的数学，呵呵。你看呢？
填空题，认为考点就写出 y/-y 2个解即可，考的就是平方差公式。多项组合排列太复杂了，我认为不是这道题目的考点。

[ 本帖最后由 dudu19991113 于 2012-11-7 17:11 编辑 ].