小女读预初,写了一个帖子
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这学期小女读初一了,利用国庆假期抽空写了一个原创的帖子
小女学校最近开始学习平方和公式了,利用国庆假期,在家小女与家长在一起对平方和公式及其进行了探究。
一、平方和公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
理解1:从方程角度看上述平方和公式
家长提问1:上述平方和公式可以看成几元几次方程?
小女回答:两元两次方程
家长:你的回答不严谨,应该指出具体的哪两元。
小女回答:噢,以a,b为元的两元两次方程
家长:你的回答略为严谨了,但还没有概括上述方程或等式的特点。
小女回答:我觉得已经很完整了呀,还有什么遗漏?
家长:提示一下,上述方程或等式中含不含常数项,含不含一次项,每项是几次单项式?
小女回答:不含常数项,也不含一次项,每项是2次单项式,我知道了,应该回答上述方程是以a,b为元的两元两次齐次方程。
家长:进一步再观察以下,方程或等式还有什么特点?
小女回答:不知道
家长:提示一下,a,b互换一下,上述方程或等式有什么特点?
小女回答:a,b互换一下,上述方程或等式不变。
家长:a,b互换一下,上述方程不变,这种方程叫做对称式方程
家长:也就是说“提问1:上述平方和公式可以看成几元几次方程?”严谨的回答应该是
“以a,b为元的两元两次齐次对称式方程。”
家长提问2:上述平方和公式能否看成三元一次或三元二次方程?
小女回答:可以,把a+b看做一个整体,a^2+b^2看做一个整体,ab看做一个整体就可以做到。
家长:用换元法,就可以看得更清晰,进入初一需要逐渐转向代数思维推导演算,换元法是很常用的一种方法,可以简化复杂的代数表达式,使表达式更加清晰。令
x=a+b,y=a^2+b^2,z=ab
上述平方和公式能否看成三元二次方程,x,y,z三个量只要知道其中两个就可以求第三个量。
提问3:由平方和公式如何推导出平方差公式
小女回答:可以,把平方差公式-b看作+(-b)
(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2
家长:同理,上述平方差公式也能能看成三元一次或三元二次方程,令
x=a-b,y=a^2+b^2,z=ab
x,y,z三个量只要知道其中两个就可以求第三个量。事实上
a-b,a+b ,ab ,a^2+b^2
只要知道其中任两个,就可以求出其它量。
二、由平方和公式导出的公式
1、(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
2、(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
3、
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
a^2+b^2=(a-b)^2+2ab
a^2+b^2=[(a+b)^2+(a-b)^2]/2
4、ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2
ab=[a^2+b^2-(a-b)^2]/2
ab=[(a+b)^2-(a-b)^2]/4
5、 (a+b)^2=(a-b)^2+4ab
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab
6、a^2+b^2>=2ab
(a+b)^2-4ab>=0
当a=b时取等号
三、例题讲解
1、 已知n满足(n-2010)^2+(2011-n)^2=5,求(2011-n)(n-2010)的值。
解:令a=n-2010,b=2011-n,则a+b=1,a^2+b^2=5
(2011-n)(n-2010)=ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2=(1-5)/2=-2
2、 已知(x-y)^2+4(x-1)(y-1)=0,则x+y=2
解:令a=x-1,b=y-1,则已知条件为(a-b)^2+4ab=(a+b)^2=0
则a+b=0即x+y=2
3、 已知x^2+x+1=0,求(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)的值。
解:已知x^2+x+1=0,则1+x^2=-x,x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0,即x^3=1
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=(1+x)(-x)(1+x)(-x)=x^2+2+x=1
4、已知a+1/a=2,求(1)a^4+1/a^4 (2)a^2011+1/a^2011
解:(1)已知a+1/a=2,两边平方得
a^2+1/a^2=4-2=2
上式两边再平方得
a^4+1/a^4=4-2=2
(2)因为已知 a+1/a=2>0, a+1/a=(1+a^2)/a >0
所以a>0,令x^2=a,y^2=1/a,xy=1,
因为x^2+y^2>=2xy=2,当x=y取等号,所以a=1/a, 因为a>0,所以a=1.
故a^2011+1/a^2011=2
5、 已知a+1/a=3,求a^7+1/a^7
解:令x=a,y=1/a
则x+y=3,xy=1
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=9-2=7
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=27-9=18
x^4+y^4=(x+y)(x^3+y^3)-xy(x^2+y^2)=3*18-7=47
a^7+1/a^7=( x^3+y^3)( x^4+y^4)-(xy)^3(x+y)=18*47-3=843
五、练习
1、已知(x+y)^2=20,(x-y)^2=40,求(1)x^2+y^2的值 (2)xy的值
2、已知 (n-2012)^2+(2013-n)^2=5,求(n-2015)(2010-n)的值
3、已知 x^2+2x+y^2+6y+10=0,求x,y的值
4、已知ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1,且ac-b^2不等于0,则a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
5、已知a^2+a-1=0,求a^3+2a^2-2015的值
6、已知a=2000x+1997,b=2000x+1998,c=2000x+1999,求a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca的值
7、已知a^2+ab+b^2=1,求ab-a^2-b^2表达式的最大值和最小值
8、因式分解:(1+ab)^2+(a-b-2)(a-b+2ab)
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本帖最后由 lily503 于 2012-10-8 09:33 编辑 ].