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[数学] 初一中等生学数学:完全平方公式的探究式学习

初一中等生学数学:完全平方公式的探究式学习

小女读预初,写了一个帖子
http://ww123.net/thread-4801417-1-1.html

这学期小女读初一了,利用国庆假期抽空写了一个原创的帖子

小女学校最近开始学习平方和公式了,利用国庆假期,在家小女与家长在一起对平方和公式及其进行了探究。

一、平方和公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
   
理解1:从方程角度看上述平方和公式

家长提问1:上述平方和公式可以看成几元几次方程?
小女回答:两元两次方程

家长:你的回答不严谨,应该指出具体的哪两元。
小女回答:噢,以a,b为元的两元两次方程

家长:你的回答略为严谨了,但还没有概括上述方程或等式的特点。
小女回答:我觉得已经很完整了呀,还有什么遗漏?

家长:提示一下,上述方程或等式中含不含常数项,含不含一次项,每项是几次单项式?
小女回答:不含常数项,也不含一次项,每项是2次单项式,我知道了,应该回答上述方程是以a,b为元的两元两次齐次方程。

家长:进一步再观察以下,方程或等式还有什么特点?
小女回答:不知道

家长:提示一下,a,b互换一下,上述方程或等式有什么特点?
小女回答:a,b互换一下,上述方程或等式不变。

家长:a,b互换一下,上述方程不变,这种方程叫做对称式方程
家长:也就是说“提问1:上述平方和公式可以看成几元几次方程?”严谨的回答应该是
“以a,b为元的两元两次齐次对称式方程。”

家长提问2:上述平方和公式能否看成三元一次或三元二次方程?
小女回答:可以,把a+b看做一个整体,a^2+b^2看做一个整体,ab看做一个整体就可以做到。

家长:用换元法,就可以看得更清晰,进入初一需要逐渐转向代数思维推导演算,换元法是很常用的一种方法,可以简化复杂的代数表达式,使表达式更加清晰。令
x=a+b,y=a^2+b^2,z=ab
上述平方和公式能否看成三元二次方程,x,y,z三个量只要知道其中两个就可以求第三个量。


提问3:由平方和公式如何推导出平方差公式
小女回答:可以,把平方差公式-b看作+(-b)
(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2

家长:同理,上述平方差公式也能能看成三元一次或三元二次方程,令

x=a-b,y=a^2+b^2,z=ab
x,y,z三个量只要知道其中两个就可以求第三个量。事实上
a-b,a+b ,ab ,a^2+b^2
只要知道其中任两个,就可以求出其它量。

二、由平方和公式导出的公式

1、(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
2、(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
3、
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
a^2+b^2=(a-b)^2+2ab
a^2+b^2=[(a+b)^2+(a-b)^2]/2

4、ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2
ab=[a^2+b^2-(a-b)^2]/2
ab=[(a+b)^2-(a-b)^2]/4

5、 (a+b)^2=(a-b)^2+4ab
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

6、a^2+b^2>=2ab
(a+b)^2-4ab>=0
当a=b时取等号

三、例题讲解

1、  已知n满足(n-2010)^2+(2011-n)^2=5,求(2011-n)(n-2010)的值。
解:令a=n-2010,b=2011-n,则a+b=1,a^2+b^2=5
(2011-n)(n-2010)=ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2=(1-5)/2=-2

2、  已知(x-y)^2+4(x-1)(y-1)=0,则x+y=2

解:令a=x-1,b=y-1,则已知条件为(a-b)^2+4ab=(a+b)^2=0
则a+b=0即x+y=2

3、  已知x^2+x+1=0,求(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)的值。

解:已知x^2+x+1=0,则1+x^2=-x,x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0,即x^3=1
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=(1+x)(-x)(1+x)(-x)=x^2+2+x=1

4、已知a+1/a=2,求(1)a^4+1/a^4   (2)a^2011+1/a^2011

解:(1)已知a+1/a=2,两边平方得
            a^2+1/a^2=4-2=2
上式两边再平方得
a^4+1/a^4=4-2=2

(2)因为已知 a+1/a=2>0,  a+1/a=(1+a^2)/a  >0
所以a>0,令x^2=a,y^2=1/a,xy=1,
因为x^2+y^2>=2xy=2,当x=y取等号,所以a=1/a, 因为a>0,所以a=1.
故a^2011+1/a^2011=2

5、  已知a+1/a=3,求a^7+1/a^7

解:令x=a,y=1/a
则x+y=3,xy=1
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=9-2=7
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=27-9=18
x^4+y^4=(x+y)(x^3+y^3)-xy(x^2+y^2)=3*18-7=47
a^7+1/a^7=( x^3+y^3)( x^4+y^4)-(xy)^3(x+y)=18*47-3=843

五、练习

1、已知(x+y)^2=20,(x-y)^2=40,求(1)x^2+y^2的值 (2)xy的值

2、已知 (n-2012)^2+(2013-n)^2=5,求(n-2015)(2010-n)的值

3、已知 x^2+2x+y^2+6y+10=0,求x,y的值

4、已知ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1,且ac-b^2不等于0,则a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

5、已知a^2+a-1=0,求a^3+2a^2-2015的值

6、已知a=2000x+1997,b=2000x+1998,c=2000x+1999,求a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca的值

7、已知a^2+ab+b^2=1,求ab-a^2-b^2表达式的最大值和最小值

8、因式分解:(1+ab)^2+(a-b-2)(a-b+2ab)

[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-8 09:33 编辑 ].

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五、练习7的解答

7、已知a^2+ab+b^2=1,求ab-a^2-b^2表达式的最大值和最小值
解:令t=ab-a^2-b^2,与已知条件a^2+ab+b^2=1,得a^2+b^2=(1-t)/2,2ab=t+1
由 (a-b)^2>=0,即(1-t)/2-(t+1)>=0,t<=-1/3,所以ab-a^2-b^2表达式的最大值=-1/3
由 (a+b)^2>=0,即(1-t)/2+(t+1)>=0,t>=-3,所以ab-a^2-b^2表达式的最小值=-3.

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(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2统称为“完全平方公式”,“平方和公式”的说法是不规范的。.

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数学中的“平方差公式”特指(a+b)(a-b)=a^2-b^2。.

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一般不把(a+b)^2=a^2+2ab+b^2看作一个方程,而是一个恒等式。.

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“两元两次齐次方程”——规范的说法是“二元二次齐次方程”。.

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五、练习8的解答
8、因式分解(1+ab)^2+(a-b-2)(a-b+2ab)

解:令x=a-b-2,y=a-b+2ab,则x+y=2(ab+a-b-1),x-y=-2(1+ab)
4xy=(x+y)^2-(x-y)^2
xy=((x+y)/2)^2-((x-y)/2)^2=(ab+a-b-1)^2-(1+ab)^2
因式分解(1+ab)^2+(a-b-2)(a-b+2ab)=(ab+a-b-1)^2.

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已知x^2+x+1=0,求(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)的值。

严格地说,方程x^2+x+1=0在初中数学中是不应该出现的,因为其中的x是虚数。

如果允许虚数的存在,那么a^2+b^2>=2ab也未必恒成立。反例:a=0,b=i(i为虚数单位)。.

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递推公式一:

推论1:已知a+b和ab可以求出a^n+b^n
推论2:已知a+1/a 可以求出a^n+1/a^n
推论3:已知b/a+a/b,可以求出(b/a)^n+(a/b)^n
推论4:已知a^n+b^n和ab,可以求出a+b

[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-7 22:05 编辑 ].

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递推公式二:
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#10 楼,#11楼的递推公式称为
牛顿等幂和公式.

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乘法公式如何推导来的,明白了这个,可能会更容易理解。.

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乘法公式是因式(因数)特殊的乘法:
完全平方和公式是因式(因数)相同的乘法,如果用数来表示的话,就是乘方中的平方,用式表示的话,用的是乘法定律中的分配律进行推导的。
而乘法是加法的简便运算,运算定律是从运算顺序推导出来的。
学好乘法公式是让运算简便,它的逆向是因式分解。所以学习这部分的时候,要很明确的把两者之间的互逆关系展示给孩子。.

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公式4、ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2
ab=[a^2+b^2-(a-b)^2]/2
ab=[(a+b)^2-(a-b)^2]/4
公式4叫积化和差,所以是#8楼的因式分解用到的技巧。当然#8楼的因式分解也可以用其他方法解。只是略微繁琐。.

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后面要学的勾股定理的一种证明方法,赵爽弦图,从几何图形的角度来说明这些关系,也非常有趣。.

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从方程的理解,我给小女也灌输了“自由度”的概念

一个关于x,y的二元一次方程,
如果不给出方程,自由度=2,
如果只给出一个方程,x,y有无穷多个解,但这个给出方程就是一个限定条件,两个未知数只要给出期中任一个,就可以知道另一个的值,所以自由度=1,
如果给出二个方程,使得方程有唯一解,则自由度=0。
举例:一个班级40位同学的身高,分别为x1,x2,......x40,给出一个限定条件:40位同学的平均身高为1.55米。
x1+x2+......+x40=1.55,自由度=39.
我问了小女一个问题:
如果两个未知数x,y,给出的限定条件是只有一个二元二次方程时,会不会出现自由度为0的情况?
我给小女做了一个解答:如果两个未知数x,y,给出的限定条件是只有一个二元二次方程时,这个二元二次方程在坐标平面上一般表示曲线,x,y 有无穷多个解,但也可能这个二元二次方程在坐标平面上表示的是一个点。如果

这个二元二次方程在坐标平面上表示的是一个点,x,y,的解唯一。即出现自由度为0的情况。


解题需要知识铺垫,再来看
五、练习4、已知ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1,且ac-b^2不等于0,则a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

x,y两个未知数,但给出了三个限制条件,解题思路是由已知ax+by=1,bx+cy=1,解出x,y,然后将解代入cx+ay=1,化简后得证。


再来看五、练习3、已知 x^2+2x+y^2+6y+10=0,求x,y的值,
解题思路:一个二元二次方程有唯一解,说明这个二元二次方程表示一个点,即(x-a)^2+(y-b)^2=0的形式。用配方法去配成两个平方。.

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百度“自由度”
http://baike.baidu.com/view/327514.htm

自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数,如有3个变量x、y、z,但x+y+z=18,因此其自由度等于2。在统计学中,自由度指的是计算某一统计量时,取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量,k为被限制的条件数或变量个数,或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数.

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,好好学习一下!.

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[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:38 编辑 ].

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[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:37 编辑 ].

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[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-30 16:18 编辑 ].

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[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:37 编辑 ].

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[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:38 编辑 ].

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[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:36 编辑 ].

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2012全国初中数学竞赛(副题)第11题
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2012全国初中数学竞赛副题,见下图

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唉,太难了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-10-14 18:16 编辑 ].

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回复 31楼ccpaging 的帖子

同意,现在怎么初一就这么难了,象我这样已经遗忘了一大半公式的人还要重新拾起来辅导女儿,还不知道自己讲得女儿听不听得明白,真累人.

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[ 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:39 编辑 ].

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收藏下.

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