六上教材目录

第一章   数的整除

第1节  整数和整除
1.1   整数和整除
1.2  因数和倍数
1.3  能被2、5 整除的数
第2节  分解素因数
1.4  素数、合数与分解质因数
1.5  公因数与最大公因数
1.6  公倍数与最小公倍数

本章小节
拓展   求三个整数的最小公倍数
阅读材料  素数表的制作
探究活动   利用素数表找因数

第二章   分数
第1节   分数的意义和性质
2.1  分数与除法
2.2 分数的基本性质
2.3分数的大小比较
第2节 分数的运算
2.4分数的加减法
2.5分数的乘法
2.6分数的除法
2.7分数与小数的互化
拓展  无限循环小数与分数的互化
2.8分数\小数的四则混合运算
2.9分数运算的应用
本章小结
探究活动(一)用计算器验证分数的有关运算律
探究活动(二)将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和.
阅读材料    中国古代的分数运算
阅读材料   中国古代的分数运算

第三章   比和比例

第1节 比和比例
3.1  比的意义
3.2  比的基本性质
3.3 比例
第2节 百分比
3.4百分比的意义
3.5百分比的应用
3.6等可能事件
本章小结
阅读材料 比出规律
探究活动 用百分比看水的世界

第四章  圆和扇形
第1节  圆的周长和弧长
4.1圆的周长
4.2弧长
第2节 圆和扇形的面积
4.3圆的面积
4.4扇形的面积


本章小结
探究活动  最少需要切几刀
阅读材料  圆周率的发展简史

[ 本帖最后由 junhuayang2005 于 2014-1-21 08:28 编辑 ].

六上的四章中重中之重是第一章。
第一章中重中之重是因数和倍数（最大公因数和最小公倍数）。
古代数学中的物不知其数与最小公倍数关系很大的。
分数部分的约分和通分与因数和倍数关系很大。
在拓展部分的根据素因数求因数也是非常的意思的内容。

[ 本帖最后由 junhuayang2005 于 2012-9-4 23:45 编辑 ].

六上第一章第一节
1、整数：正整数、零、负整数
整数：自然数、负整数
2、零既不是正整数，也不是负整数。
3、最小的自然数是0，没有最大的正整数。
4、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。
公式应该是：a/b=c，（a、b、c是整数，b不等于0）？？
5、整除的条件：1、除数、被除数都是整数；
                2、被除数除以除数，商是整
                   数而且余数为零。
6、第一章中学习的整数，在没有特别说明时，都是指正整数。


7、整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（也称为约数）
因数和倍数是相互依存的。
8、一个整数的因数中最大的因数是1，最大的因数是它本身。
9、一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身。

10、个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
个位上是1，3，5，7，9的整数都不能被2整除。
个位上是0或者5的整数都能被5整除。
11、能被2整除的整数叫偶数，不被能2整除的数叫奇数ji。
正整数按照能否被2整除可以分为两类：奇数和偶数（这里所说的是指正整数的，数范围从正整数扩大到整数范围时候，负整数也分为奇数和偶数。）
12、连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数。

我的疑问：0是偶数还是奇数呢？（带着这个问题继续看课本）我的理解是偶数。在教材全解上得到答案。
0是2的倍数，0也是偶然。2的倍数是无限的，因此没有最大的倍数。最小的奇数是1，没有最大的奇数。一个自然数不是奇数就是偶数。.

六上第一章第二节
1、一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫素数，也叫质数；如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫合数。
2、1既不是素数，也不是合数。这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。
3、判断方法：
一根据定义
二利用整除的特征
三利用素数表（100以内）
2，  3，  5， 7，11，13，17，19，23，
29，31，37，41，43，47，53，59，61，
67，71，73，79，83，89，97
4、树枝分解法
每个合数都可以分成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这合数的因数，叫做这个倒数的素因数。把一个倒数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
5、短除法：左侧写除数，下方写商的除法格式
步骤：1、先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。
      2、得出的商如果是合数，再按照1的方法继续，直到得出的商是素数为止。
      3、然后把各除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
6、也可以用口算来分解素因数。
7、可以用计算器分解素因数，称为机算。

8、几个数公有的因数，叫做几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的是大公因数。
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
9、求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数相乘，所得的积就是它们最大的公因数。
10、短除法求最大公约数
11、两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公约数。如果这两个数互数，那么它们的最大公因数就是1。

12、几个整数的公有的倍数叫做它们的数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
13、求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
14、用短除法求最小公倍数。
15、如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，好运么这个数就是它们的最小公倍数。如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。.

六上第一章小结/拓展/阅读材料

知识框架
                      奇数
                      偶数
                      素数
          一个整数    合数----分解素因数
                      能被2整除的数的特征
                      能被5整除的数的特征

数的整除   
                         整除
                         因数  
                         倍数
           整数间的关系  互素
                        公因数-最大公因数
                        公倍数-最小公倍数.

六上第二单元第一节
1、两个正整数p、q相除，可以用分数p/q表示，其中p为分子，q为分母。当q=1时，p/q=p。
2、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等。
3、最简分数：分子和分母互素的分数，叫做最简分数。
4、约分：把一个分数的分子与分母的公约数约去的过程，称为约分。
通过约分可以化简分数。
5、通分：将异分母的分母分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分。

公分母.

六上教材第二章第二节第一遍看书：分数的运算
1、相同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减；
2、异分母相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
3、真分数、假分数、带分数
4、带分数的加减运算
5、分数的乘法
6、倒数：到为倒数的两个数乘积为1。
除法运算法则
7、一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化为有限小数。
8、循环小数、循环节
9、无限循环小数化分数
10、分数、小数的四则混合运算

将一个分数拆分为几个不同的单位分数之和

[ 本帖最后由 junhuayang2005 于 2009-11-22 21:23 编辑 ].

质数与合数
     一、趣题引入
   
    甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积都是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的？（环数是不超过10的自然数）
60=2*2*3*5=2*5*6=3*4*5=2*3*10
和相同的情况下，三个数之间差最小，越接近的积最小，所以靶子上4环的那一枪是丙打的    二、知识点
   
   
    如果一个比1大的自然数只有两个约数：1和本身，那么这个自然数就叫质数。（质数也叫素数。）
   
   
    例如：43=1×43。43只有1和43两个约数，所以43是质数。100以内的质数极为常用，它们是：
   
   
    2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
   
   
    在自然数中，如果除了1和本身两个约数，还有其它的约数，这个自然数就叫做合数。
   
   
    例如：6的约数有1，2，3，6，那么6是合数。
   
   
    应特别注意：1既不是质数也不是合数，这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1。
   
   
    偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个。除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数。
   
   
    每个合数都可以写成几个质数相乘的形成，这几个质数就叫做这个合数的质因数，例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数。
   
   
    把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：60=2×2×3×5=2∧2*3*5　　，把60这个合数用2×2×3×5或者2∧2*3*5，就是把60分解质因数。
   
   
      
    三、例题分析
   
   
    例1：两个质数的积是46，求这两个质数的和。
   
   
    分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数
   
   
    只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决。
   
   
    解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一个质数为46÷2=23，所以2与23的和是25。
   
   
    例2：用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？
   
   
    分析：首先考虑个位是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以各位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数。
   
   
    解:如果组成的三位数的个位数字是2, 4, 5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数。
   
   
    [说明] 质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，因此最好记住100以内的所有质数。在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除，如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数。
   
   
  例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数，为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97÷11=8……9，97÷13=7……6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7去试除。  
   
    判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用20以内的八个质数去试除（2，3，5，7，11，13，17，19）；判断500以内的质数，只需要2到23的质数去试除（2，3，5，7，11，13，17，19，23），其余可用类似的方法推出，同学们可以思考一下1000以内的质数如何判断？   
    例3：将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。
   
   
    分析：如果采用观察，计算调整的方法是比较麻烦的，要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据质因数的个数，进行适当的搭配，使能找出问题的答案。
   
   
    解：将八个数分析质因数：
   
   
    40=2∧3×5 44=2∧2×11
   
   
    45=3∧2×5 63=3∧2×7
   
   
    65=5×13 78=2×3×13
   
   
    99=3∧2×11 105=3×5×7
   
   
    这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13。因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105。
   
   
    例4：360有多少个约数？
   
   
    分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数显然比较麻烦。为此，先将360分解质因数：360=2∧3×3∧2×5，360的任意一个约数均由若干个2成3成5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：

   
    这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个约数。而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质因数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：
   
   
    一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。用数字式子表示为：
   
   
    如果A分解质因数为：
   
   
    A=××…×
   
   
    则A的全体约数的个数为：
   
   
    （r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）
   
   
    （学过乘法原理的同学，不妨从乘法原理的角度去理解此公式的由来。）
   
   
    例5：有30个约数的最小自然数是多少？
   
   
    分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30=30×1=2×15=3×10=5×6=2×3×5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为下列形式：
   
   
    A=a1×a22×a34
   
   
    其中a1，a2，a3为互不相同的质数。
   
   
    要使A最小，a1，a2，a3应尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样
   
   
    A=24×32×5==720
   
   
    解：因为30=30×1=15×2=10×3=6×5=5×3×2，而且题中要求有30个约数的最小的数，所以这个数是能表示为A=a1×a22×a34，其中a1，a2，a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×5=720。
   
   
    例6：引例。
   
   
    分析：三人三枪中靶环数之积均为60，即每人每枪中靶环数均为60的约数。将60分解质因数为60=2∧2×3×5，又因为每枪环数不超过10，所认将60写成三个不超过10的自然数的乘积有且只有以下四种情况：
   
   
    60=3×4×5 （1）
   
   
    60=2×6×5 （2）
   
   
    60=2×3×10 （3）
   
   
    60=1×6×10 （4）
   
   
    其中总环数分别为12，13，15，17，出现4环的情形（1）总环数最少，所以4环是丙打的。
   
   
    解：因为60=3×4×5=2×6×5=2×3×10=1×6×10，
   
   
    所以三个人各自打的环数有下面4种可能：
   
   
    （1）3，4，5 （2）2，6，5 （3）2，3，10 （4）1，6，10
   
   
    其中出现4环的情形（1）总环数最少，所以4环是丙打的。
   
   
    例7：九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2，3，5，7四个质数。请在200以内再找出五组这样的质数。
   
   
    分析：9个连续自然数中至多有5个奇数，在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又有能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数。当找到一组这样的两位以上质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数。按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得到结果。
   
   
    首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：
   
   
    11， 13， 15， 17， 19；
   
   
    41， 43， 45， 47， 49；
   
   
    71， 73， 75， 77， 79；
   
   
    101，103，105，107，109；
   
   
    131，133，135，137，139；
   
   
    161，163，165，167，169；
   
   
    191，193，195，197，199；
   
   
    根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件。
   
   
    解：200以内另外五组这样的质数为：
   
   
   
   
    例8：有一个2n+1位整数（n是整数，n≥1）
   
   
   
   
    解法1：我们观察这个数的数字特征，可以看出，它的各个数位数字和是3的倍数。
   
   
   
   
    由于n+1是整数，得3 | 3（n+1），所以3是原数的约数，显然3是1和原数以外的约数，
   
   
   
   
    从上面的解法中，可以看到“整除”知识在判断质数与合数时有很大用处，要想迅速找到一个整数的约数，就要对数的整除特征非常熟悉，这对提高筛选的速度大有好处。
   
   
    解法2：还可以把这个数分解一下，把这个数中间的“3”拆开。
   
   
   
   
    把这个数字拆开的主要目的是能提出公因数做因数分解。这种方法不但能说明一个数是合数，还提供了分解因数的一种方法。
   
   
    对于质数来讲，由于它至今没有统一的数学式子来表示，人们对它的了解仍是很不全面。已经知道：质数有无限多个（这在初中可以证明），并且一般来说，随着数值越大就越来越稀少。有人统计过五千以内的质数分布情况：
   
   
    1--1000中有168个质数，
   
   
    1001--2000中有135个质数，
   
   
    2001--3000中有127个质数，
   
   
    3001--4000中有120个质数，
   
   
    4001--5000中有119个质数。
   
   
   
   
    四、练习
   
   
   
    1、 由1,2,3,4,5,6,7,8,9。这九个数字组成的九位数是质数吗？
   
   
    2、 把下列八个数，分为两组，每组四个数，使两组数的积相等，问如何分？
   
   
    14，33，35，75，39，30，143，169
   
   
    3、 2340有多少个约数？
   
   
    4、 有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，把它求出来。
   
   
    5、 两个质数的和是33，求这两个质数的积。
   
   
    6、 求用1,2,4,5,8中的三个数字组成最大的三位质数。
   
   
    7、 有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄乘积等于43680，求这四个人的年龄？
   
   
    8、 求有18个约数的最小自然数？
   
   
    9、 三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数。
   
   
    10、 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。
   
   
   
   
    五、习题参考答案及思路分析
   
   
   
    1、 不是。因为它一定能被3整除。
   
   
    2、 第一组：35，30，39，143 第二组：14，75，33，169
   
   
    （答案不唯一）
   
   
    3、∵2340=22×32×5×13
   
   
    ∴它的约数个数为（2+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=36个
   
   
    4、设所求的质数为A，则A+10，A+14仍为质数。
   
   
    ∵10≡1（mod3），若A≡2（mod3），则3|A+10不可。又∵14≡2（mod3），若A≡1（mod3），则3|A+14也不可。∴只能A≡0（mod3）。能被3整除且为质数的数只有3符合。
   
   
    所以所求的数为3。
   
   
    5、因为这两个质数和是33，为奇数，所以这两个质数必定是一个为奇数，另一个为偶数。由于偶质数只有2，所以另一个奇质数为33-2=31。31×2=62。这两个质数的积为62。
   
   
    6、个位是2，4，8，5的三位数一定能被2或5整除，不是质数，所以个位只能是1。将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验：
   
   
    851=23×27，851不是质数。
   
   
    841=29×29，841不是质数。
   
   
    821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数。
   
   
    7、因为这四个人的年龄的乘积等于43680，所以这四个人的年龄是43680的约数。先将43680分解质因数：
   
   
    43680=25×3×5×7×13
   
   
    =13×（2×7）×（3×5）×24
   
   
    =13×14×15×16
   
   
    所以这四个人的年龄分别是13，14，15，16。
   
   
    8、因为18=18×1=9×2=6×3＝3×3×2，要使所求数最小，这个数为A=a12×a22×a3，其中a1，a2，a3为互不相同的质数，所以a1=2，a2=3，a3=5，A=22×32×5=180，即有18个约数的最小自然数为180。
   
   
    9、设这三个质数分别为a、b、c，则
   
   
    abc=11（a + b + c）
   
   
    所以a、b、c中必有一个是11，不妨设是c=11，则上式变为
   
   
    ab=a + b + 11
   
   
    变形，得ab-a-b=11
   
   
    a（b-1）-（b-1）=11+1
   
   
    （a-1）（b-1）=12=12×1=6×2=4×3
   
   
    当b-1=12，a-1=1时，b=13，a=2；
   
   
    当b-1=6，a-1=2时，b=7，a=3；
   
   
    当b-1=4，a-1=3时，b=5，a=4（舍）。
   
   
    所以这三个质数为2，11，13或3，7，11。
   
   
    10、因为这两个整数的乘积恰好是三个数字相同的三位数，这个三位数必有因数111，因为111=3×37，所以这两个整数中必有一个是37的倍数，由于这两个整数的和是两位数，所以这两个整数最大为两位数。因此37的倍数只能是37或74。而另一个则是3的倍数，经试验，只有（3，74），（18，37）两组符合。

[ 本帖最后由 junhuayang2005 于 2009-12-6 23:25 编辑 ].

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质数合数专题讲座


知识要点：

1.质数与合数

　　一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

　　一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

　　要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数

　　如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

　　把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。

　解答：

　　∵210=2×3×5×7

　　∴可知这三个数是5、6和7。

例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

　解答：

　　把40表示为两个质数的和，共有三种形式：　40=17+23=11＋29=3+37。

　　∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。

　　∴所求的最大值是391。

　　答：这两个质数的最大乘积是391。
和一定，两个数相差越小，积越大
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？

　解答：

　　123456789是合数。

　　因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
能被3整除的数的特征是各个和的数字和能被3整除。

例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
　解答：

　　如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。

　　如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。

　　综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

　解答：

　　∵5=5， 6=2×3，7=7，14＝2×7，15=3×5，

　　这些数中质因数2、3、5、7各有2个，所以如把14（2×7）放在第一组，那么7和6（2×3）只能放在第二组，继而15（3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。

　　这样14×15=210=5×6×7。

　　这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。

　解答：

　　先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560。40×40×40＝64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30～40之间。

　　42560=×5×7×19＝32×（5×7）×（19×2）＝32×35×38（合题意）

　　要求的三个自然数分别是32、35和38。

例7 有3个自然数a、b、c。已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10。求a×b×c是多少？

　解答：

　　∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。

　　（a×b）×（b×c）×（a×c）=（2×3）×（3×5）×（2×5）

　　∴××=××

　　∴＝

　　a×b×c=2×3×5＝30

例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数。求a的最小值与这个平方数。

　解答：

　　∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

　　∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

　　∵1080×a=×5×a，

　　又∵1080=×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

　　∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

　　∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

　　答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例9 问360共有多少个约数？

　解答：

　　360=××5。

　　为了求360有多少个约数，我们先来看×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、、，即得到××5（360）的所有约数。为了求×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、，即得到×5的所有约数。

　　记5的约数个数为，

　　×5的约数个数为，

　　360=××5的约数个数为.由上面的分析可知：

　　=4×，＝3×，

　　显然=2（5只有1和5两个约数）。

　　因此＝4×=4×3×=4×3×2=24。

　　所以360共有24个约数。

　　说明：=4×中的“4”即为“1、2、、”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝××5中质因数2的个数加1；＝3×中的“3”即为“1、3、”中数的个数，也就是××5中质因数3的个数加1；而=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即××5中质因数5的个数加1。

　　因此＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

　　对于任何一个合数，用类似于对××5=360的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

　　一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

习题：

1．在下面算式的方框内，各填入一个数字，使得□□□×□=1995成立。

　解答：

　根据题意，要使一个三位数与一个一位数的积等于1995，那么这两个数的积应与1995有相同的质因数。

　1995=3×5×7×19

　用1995的质因数3、5、7分别作为一位数，可以写出三个满足条件的算式。

　665×3,399×5,285×7。

2．自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。求a的最小值。

　解答：

　根据题意，a与2376的积是一个平方数，由于平方数的每个质因数都是偶数个，所以可先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对。

　2376=××11，质因数 2、3都有3个，质因数11有1个，要配对，至少还需2、3、11各1个。

　所以，a最小是2×3×11=66。

3．用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。

　解答：

　　根据题意可知，被除数1170与余数78之差1092应是除数与商之积，所以，可把1092分解质因数，再重新组合这些质因数，写成两数之积，其中大于78的两位数就是所求的。

　　1092=×3×7×13=84×13=91×12

　　所求两位数为84或91。

4．小虎用2.16元买了一种小画片，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还可以多买3张。问小虎买了多少张画片？

　解答：

　　根据题意，画片的单价与画片的张数之积应等于216（分），那么它们乘积的质因数应与216相同。可先把216分解质因数，写成两数相乘形式，再根据条件求解。

　　216=×=8×27=9×24

　　显然，216分可买27张8分1张的画片，可买9分1张的画片24张，8分比9分便宜1分，27张比24张多3张，恰好符合条件。所以，小虎买了24张画片。

5．求240的约数的个数。

　解答：

　　∵240＝××，

　　∴240的约数的个数是（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

　　∴240有20个约数。

6．有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。其中一个质因数是两位数，它的数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是多少？

　解答：

　　因为已知一个质因数的两位数，不妨设为ab，则a+b=11，所以ab只有可能等于29，47，83，又要求这个两位数尽可能大，故只能是83；又因为这个自然数尽可能小，它还有3个不同的质因数，故另外二个质因数可取2和3：设所求的自然数为N，N=。因为（r+1）（p+1）（q+1）=16，要使N最小，即只要指数r、p、q尽可能小，但不能小于1。故可得r=3，p=1，q=1，所以最小的N=×3×83=1992。

7．把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？

　解答：

　　首先假设可以分成五个质数之和（分成6个以上质数之和不可能）：33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数3，5，7，11，13的和是39超过33。所以分成五个是不可能的。

　　假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个是偶质数2，即其余三个的和是31，显然可以找出其余三个分别是：3，5，23 ；3，11，17； 7，11，13 ；5，7，19 三数乘积最大的是7×11×13＝1001 假设33可分成三个质数和，只可能是

　　3，13，17； 3，11，19； 3，7，23； 5，11，17。

　　乘积均小于2×7×11×13，33若分为两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62。故应将33写成四个质数：2，7，11，13的和。

8．分别很久的两位老朋友相遇了，其中一个说：他有三个孩子，他们年龄的积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在房子的窗户数；第二人说，他还不能确定这几个孩子的年龄，于是第一人又补充说他的第二、第三个孩子是双胞胎，第二人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄各是多少？

　解答：

　　先把36分解质因数，36=2×2×3×3，36按三个因数的所有可能的分解式为：

　　36=1×1×36=1×2×18=1×3×12=1×4×9=1×6×6=2×2×9=2×3×6=3×3×4

　　这8个式子各因数之和分别是38，21，16，14，13，13，11，10，其次房子的窗户数第二人是知道的，这意味着知道了年龄之和，但第二个人还不能确定孩子的年龄，可见至少有两组年龄和是一样的，它们是2，2，9和1，6，6，由此可知，年龄和和房子的窗户数都是13。在以上两组中，1，6，6可以排除，因为两个年龄小的孩子是双胞胎，剩下来的是2，2，9，所以三个孩子的年龄分别为2岁，2岁，9岁。

　　答：他们的年龄分别为9岁，2岁，2岁。

9．5112的约数有多少个。

　解答：

　　5112=2×2×2×3×3×71=××

　　（3+1）×（2+1）×（1+1）=24

10．在1～300之间，求出：约数个数正好是15个的自然数。

　解答：

　　首先看一下组成这数的质因子的情况是什么样子的。

　　15=1×15=3×5

　　根据约数的个数的公式，这个自然数中只含有两个不同的质因数，不妨设这两个质因数分别是A、B。

　　当15分解为1×15=（0+1）×（14+1），说明这个自然数可以写为×=，即是14个相同质数的乘积，考虑到自然数的范围在1～300之间，设B=2，但是=16384＞300，超出范围，因此这种情况是不可能的。

　　当15分解为3×5=（2+1）×（4+1）时，即自然数可记为×

    〈1〉当A=2,B=3时,×=324＞300 (超出)

    〈2〉当A=3,B=2时,×=144＜300 (满足条件)

    〈3〉当A=5,B=2时,×=400＞300 (超出)

　　由此可以得出，对于任何A＞3或B＞2的取法都不符合条件。

　　所以，在1～300之间，约数个数是15个的自然数只有144。

11．有一个自然数含有10个不同的约数，但质约数只有2和3。那么，这个自然数最大是几？

　解答:

　　设这个自然数表示为×(m,n是整数)

　　根据约数个数公式：

　　约数个数10=（m+1）×（n+1）=1×10=2×5

　　这样，m，n，的取值只有四种可能：

　　

　　即这个自然数有四种可能的形式：

　　×, ×,×,×

    其中前面两个不合条件应去掉。

　　比较×和×，显然最大的是×=162。

12．在乘积1000×999×998×…×3×2×1 中，末尾连续有多少个零？

　解答：

　　不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手。因为2×5＝10，所以末尾的零只能由乘积中的质因数2与5相乘得到。因此，只需计算一下，把乘积分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积的末尾就有多少个连续的零。

　　先计算乘积中的质因数5的个数。

　　在1，2，…，1000中有200个5的倍数，它们是：5，10，…，1000。在这200个数中，有40个能被25＝整除，它们是25，50，…，1000。在这40个数中，有8个能被125＝整除，它们是125，250，…，1000。在这8个数中，有1个能被625＝整除，它是625。所以，乘积中的质因数5的个数等于200＋40＋8＋1＝249。

　　而乘积中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数。所以，乘积1000×999×998×…×3×2×1中，末尾连续有249个零。

13．把一个两位数质数写在另一个两位数质数后边，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除。试求出所有这样的质数对。

　解答：

　　先利用已知条件，求出这两个质数之和。

　　设这两个两位数质数分别为x和y，则(100x＋y)÷是整数，由于
　　(100x＋y)÷＝(200x＋2y)÷(x＋y)＝[2(x＋y)+198x]÷(x＋y)＝2＋(198x)÷(x＋y)

　　所以198x能被x＋y整除。又因为x是质数，所以198能被x＋y整除，即x＋y是198的约数。因为x与y均为两位数质数，所以一定是两位奇数，从而x＋y一定是两位或三位偶数。列举出198的两位或三位偶数约数：

198，66，18。

　　因为198与18都不能写成两个两位数质数之和，所以不符合题目要求。而66＝13＋53＝19＋47＝23＋43＝29＋37，故符合题目要求的质数对为：

　　（13，53）、（19，47）、（23，43）、（29，37）。

14．在101与300之间，只有3个约数的自然数有几个？

　解答：

　　只有3个约数的自然数必是质数的平方，反之亦然。

　　在101至300之间的平方数：、、、、、、。

　　其中、、是质数的平方，它们分别只有3个约数。

　　所以，只有3个约数的自然数有3个，即121、169、289。

15．新河村农民用几只船分三次运送315袋化肥。已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋。问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋）

　解答：

　　因为每只船载的化肥袋数相等，且分三次把315袋化肥运完，所以每次运送105袋。又每次运送的总袋数105应为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数。所以只要把105分解质因数，就可以求出船数和每只船载的化肥袋数。

　　105＝3×5×7。

　　因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋，所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况：

　　（1）用3只船，每只船载35袋化肥。

　　（2）用5只船，每只船载21袋化肥。

　　（3）用7只船，每只船载15袋化肥。

　　（4）用15只船，每只船载7袋化肥。

　　（因为每只船至多载50袋，故每次不能用1只船载105袋。）

16．将下面八个数分成两组（每组四个数），应该怎么分才能保证两组四个数的乘积相等？

1.4，0.33，3.5，O.3，O.75，0.39，14.3，16.9。

　　解答：

　　此题如果采用试验法做，肯定可以找出答案，但比较费事。下面我们试看用倒着想的方法来考虑这题应如何解。

　　如果分法找到了，那么上面八个数中的某四个数的积与另外四个数的积一定相等。当这两个积是小数时，把它们同时都扩大相同的若干倍使它们变成整数，这个等式仍然成立。把等式两边的积分别分解质因数，那么两边的质因数肯定一样，而且相同质因数的个数两边也是相同的。

　　为此，先将上面的八个数同时都扩大100倍，得下面八个数：140，33，350，30，75，39，1430，1690。

　　把这八个数分别分解质因数：

　　140=×5×7 33=3×11

　　350=2××7 30=2×3×5

　　75＝3×39＝3×13

　　1430=2×5×11×13 1690=2×5×

　　这八个数分解质因数后一共有6个2，8个5，2个7，4个3，2个11，4个13。为保证两组四个数的积彼此相等，每一组里应该有3个2，4个5，1个7，2个3，1个11，2个13。根据这一要求适当搭配便可找到答案。

　　现在按照上面分析的思路，可安排第一组里有1690，33，350，30这四个数。

　　其余四个数算第二组，即1690×33×350×30=1430×39×140×75。

　　两边同时缩小相同的若干倍，于是得到下面的一种分法：

　　第一组里的四个数为：16.9，0.33，3.5，0.3；

　　第二组里的四个数为：14.3，0.39，1.4，0.75。

17．有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数。

　　解答：

　　相邻两个奇数相差为2，现在已知有五个连续的奇数，当我们假定中间那个奇数为x时，那么从小到大这五个连续的奇数分别为x-4，x-2，x，x+2，x+4。根据条件可得方程：（x—4）（x—2）x（x+2）（x+4）=135135。

　　方程虽然列出来了，但我们不会解这个高次方程，只好另寻它途。

　　把135135分解质因数：135135=×5×7×11×13，而11与13正好是两个相邻的奇数，从这一事实出发，只要把×5×7适当调配一下，便有×5×7=7×9×15，而7、9、11、13、15正好是相邻的五个奇数，这样就找到了答案。所以这五个连续的奇数为7、9、11、13、15。

18．求小于100的只有8个约数的一切自然数。

　解答：

　　一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。这里约数个数为8，而8=2×4=2×2×2=8×1。下面分别讨论。

　　当8=2×4=（1+1）×（3+1）时，说明所求的自然数分解质因数后，只有两个不同的质因数，它们的个数（指数）分别为1和3。下面求这两个不同的质因数各等于几时，对应的那个自然数不大于100。

　　如果这两个质因数中有一个为2，它的指数为1。

　　当另一个质因数为3时，这个自然数为：2×=54，54小于100，是满足要求的一个解。

　　当另一个质因数为5时，这个自然数为：2×=250，250大于100，不符合要求。

　　因为=125＞100，所以当1个质因数为2，它的指数为1，另一个质因数为大于5的任一质因数时，对应的自然数一定大于100，均不符合要求。

　　如果这两个质因数中有一个是3，它的指数为1。

　　当另一个质因数为2时，这个自然数为：×=24，24小于100，符合要求。

　　因为2×=250＞100，所以其他情况对应的自然数一定大于100，不符合要求。

　　如果这两个质因数中有一个是5，它的指数为1。

　　当另一个质因数为2时，这个自然数为：5×=40，40小于100，符合要求。

　　当另一个质因数为3时，这个自然数为：5×=135，135大于100，不符合要求。

　　如果这两个质因数中有一个是7，它的指数为1。此时另一个质因数只能是2，

　　这个自然数为：7×=56＜100，符合要求，而7×=189＞100，不符合要求。

　　如果这两个质因数中有一个是11，它的指数为1，那么另一个质因数只能是2，

　　这时这个自然数为：11×=88＜100，符合要求。而11×=297＞100，不符合要求。

　　如果这两个质因数中有一个是13，它的指数为1，那么另一个质因数不论是几，所求出的自然数都不符合要求。这是因为13×=104，104＞100，不符合要求。

　　当8=2×2×2=（1+1）×（1+1）×（1+1）时，此时所求的自然数分解质因数后，只有三个不同的质因数，它们的指数都是1。下面从小到大依次看看这三个不同的质因数分别为多少时，所求的自然数符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为2、3、5时，这个自然数为：2×3×5=30，30小于100，符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为2、3、7时，这个自然数为：2×3×7=42，42小于100，符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为2、3、11时，这个自然数为：2×3×11=66，66小于100，符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为2、3、13时，这个自然数为：2×3×13=78，78小于100，符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为2、3、17时，这个自然数为：2×3×17=102，102大于100，不符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为2、5、7时，这个自然数为：2×5×7=70，70小于100，符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为2、5、11时，这个自然数为：2×5×11=110，110大于100，不符合要求。

　　当三个不同的质因数分别为3、5、7时，这个自然数为：3×5×7=105，105大于100，不符合要求。

　　其余情况下所求自然数均大于100，不符合要求。

　　当8=8×1=（7+1）×（0+1）时，这说明所求的自然数分解质因数后，

　　只有一个质因数，它的指数为7。而=128，128大于100，不符合要求。

　　所以其余情况下所求的自然数也一定都大于100，不符合要求。

　　所有小于100只有八个约数的自然数共有十个，分别为：24，30，40，42，54，56，66，70，78，88。

[ 本帖最后由 junhuayang2005 于 2009-12-6 21:19 编辑 ].

六年级的题目可以拿过来，大家一起解答.

古代数学中有这样一道题目：今有物不知其数量，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物有几何，你知道吗？.

23,被5除余三的数末位为3或8，若末位为8，则被7除余2的只有58，不符合33数之余二，所以末位为3，则被7整除的末位为1，3x7=21,.

答案不是唯一的，你说的是最小的，题目中并没有说最小的。
我在学校班级主页上也看到了五年级题目中有类似题目，我也做出了最小的，但是我在想用什么方法是最好的呢。
那个题目如下：8、一个自然数被3除余1，被5除余2，被7除余3，这个自然数最小是（  52 ）。
（）/7=（）…3，并且满足不能是3，5的倍数，所以除数为7的时候，被除数为52时，满足了最小的条件。.

三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二

（）/7=（）．．．２
被除数=7*（）+2
当（）是3的时候，最小的能满足条件的自然数是23。.

判断题：如果8A=9B,那么B:A=8:9

答案是对的，但是我觉得应该还有A,B不等于0的条件，还是我想错了？.

解答题：
园林绿化队要栽一批树苗，第一天栽了总数的1/8，第二天栽了136颗，这时剩下的与已栽的棵树比是3：5，这批树苗一共有多少颗？

算式列对了，可是没时间计算了，不过我今天看她算，对有分数的方程式计算还是有问题的，老师也狠的，算式对了，结果一分也没给。.

解答题：
修一条路，如果每天修120米，8天可以修完，如果每天修150米，几天可以修完？（用比例方法解）
女儿列的算式：8/120=X/150,结果X=10,错了，她说一拿到卷子就知道错哪了，但是这题目我拿到我也就这么做了，呵呵。.

解答题：
园林绿化队要栽一批树苗，第一天栽了总数的1/8，第二天栽了136颗，这时剩下的与已栽的棵树比是3：5，这批树苗一共有多少颗？

设这批树苗一共有X棵
则
X/（1/8X+136）=8/5
5X=8*（1/8X+136）
5X=X+8*136
则4X=8*136
所以X=272
所以这批根苗共有272棵.

解答题：
修一条路，如果每天修120米，8天可以修完，如果每天修150米，几天可以修完？（用比例方法解）

用比例方法的话，应该是：设每天修150米，用X天修完。
120/150=X/8


工程总量=工作效率*时间
120*8=150*X
所以X=120*8/150
所以X=32/5=6又五分之二天.

引用:

原帖由 junhuayang2005 于 2009-11-20 22:59 发表
解答题：
修一条路，如果每天修120米，8天可以修完，如果每天修150米，几天可以修完？（用比例方法解）

用比例方法的话，应该是：设每天修150米，用X天修完。
120/150=X/8


工程总量=工作效率*时间
120*8= ...

这题为啥不是列120/150=8/X?虽然知道不对，可习惯上就要这么列了。.

问题的关键在于没有掌握已知的量之间和未知的量之间的关系（四年级优等生数学上应该是有类似的题目，只是不用方程来解的）

120米/天，8天，那么一共是多少米呢？答案是120*8=960米
那么150米/天，需要多少天呢？需要960/150=
得出的数就是所需要的天数。
120*8=150*X
根据比例的性质，可以得到
120/150=8/X.

对啊，用方程很容易算，可是直接列比例就容易列成错的那个。我觉得我自己现在6年级水平都没有了，5555.我还理工科的呢，

[ 本帖最后由 怡儿妈妈 于 2009-11-20 23:31 编辑 ].

答案应该是不对的。你想的是对的。
关于这点可以参看六上P82页上面两段。.

小丽说，如果ad=bc，就可以写成a/b=c/d，你说对吗？（10分）

不对，a，b，c，d都不等于0的情况下。

我觉得这道题目最主要的还是考比例的概念和表示。
a：b=c：d，可以表示为a/b=c/d，在a/b=c/d的等式两边同时乘以bd，可以得到ad=bc；反过来，在ad=bc的等式两边同时除以bd，就可以得到a/b=c/d，其中a，b，c，d都不为零。.

比例的基本性质。P82页.

如果做选择题目，给了四个答案，没有考虑0的情况，我个人认为，也是可以这样出题目的。如果是判断题目，大概需要全面一些。我在书上也没有看到注明默认这种状态下，字母不是零，我继续找寻正解中。.

引用:

原帖由 怡儿妈妈 于 2009-11-20 22:29 发表
判断题：如果8A=9B,那么B:A=8:9

答案是对的，但是我觉得应该还有A,B不等于0的条件，还是我想错了？

挺巧的，今天刚好碰到一位初三数学老师，这道题目专门请教了他。他的说法是预初仍旧是小学阶段，小学阶段的特点是形象思维多一些，逻辑性的推理还不是太完备。如果做为判断题，应该是有些问题的，一般碰到这些问题的话，目前阶段先是带过的。做为选择题目的话，其实一般假设式子是成立的，8A=9B，如果A、B中有一个是0，那么0=0，本身式子是没有意义的。.

呵呵，你真好，我就不纠结这题目了，题目本身不严谨。.

女儿今年预初，数学也很差，自己主观上很想考好，但每次考出来的成绩都差强人意。我给她分析的问题就是：1、审题不清；2、概念模糊，似懂非懂；3、计算能力有待提高。
现在老师的要求就是多做题，可能是想从做题来理解概念吧，我们家长也只能尽力配合，到处找题。请问LZ是不是有类似的题库或者提供相关的信息？
目前我把所有练习卷、考试卷上的错题打印下来，让她反复做，也不知此举是否有效？抓狂啊。。。。。。。。

[ 本帖最后由 laoganma1606 于 2009-11-23 12:22 编辑 ].

一、2、概念模糊，似懂非懂；
然后导致
1、审题不清；


二、3、计算能力有待提高。
这则是由于前面的基础问题，对于基本的知识不能融会贯通。


基于以上两点并不是题目做多做少的问题，而是做什么题目的问题，所以我的想法是：
1、找本讲解教材的辅导资料，比如新教材全解，把基本概念以及拓展的知识了解一下；
2、配合做一本金试卷冲刺100分或者上海教育出版社出的配套紧的练习题；
3、最好能看一下优等生数学，不仅要看六年级的，还要看从小学三年级开始的，这样的话，会很有启发的。
4、教材----教辅----教材---教辅----教材，起点是教材，终点也是教材，以教材为大纲。做错题是不错的方法，但是有点要注意，就是做了再做，如果没有理解，那也是没有用的。（我女儿每次考试后的订正，下次以及以后再考，仍旧是会错的，我想了想，觉得是老师重新讲过，然后她只是按照老师讲的记忆下来而已，过段时间就忘记了。）

这些方面没有问题了，我会再介绍一些的。.

去这里看看吧，http://bbs.eduu.com/thread-247253-1-1.html。
只是孩子们好像没有太多的时间可以去完成这些额外的作业。老师布置的作业已经很多了，应付作业是首要任务，哪有时间好好去想为什么错呢。.

哪有时间好好去想为什么错呢。

这就是问题所在，如果不思考，做再多的题目，效果也未必好的。所以自己通过努力做出来，理解性的基础上。才能融会贯通，以不变应万变。.

谢谢老师！以后有问题多向您请教！.

呵呵，我不是老师，失望了吧？三人行，必有我师，大家互相学习吧。


关于时间问题，我观察下来，如果没有那么多课外培训，大概就有时间了。反正我女儿的时间（小学三年级）似乎挺多的，所以她能够看她喜欢的书，除了作业外。现在我希望每天她能愿意看十五分钟数学或者科学方面的书就行了。.

剩下的与已栽的棵树比是3：5,所以已栽的棵树占这批数的 5/(3+5).列式计算: 136/ (5/8-1/8)=136/ (1/2)=272棵.
比和比例的应用题用这种方法简单..

不明白，六年级是初中？.

在上海六年级叫预备班，是和初中在一起的，在上海所说的小升初是指五年级毕业的时候。.

引用:

原帖由 junhuayang2005 于 2009-11-13 13:23 发表
古代数学中有这样一道题目：今有物不知其数量，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物有几何，你知道吗？

明朝大数学家程大位：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
中国剩余定律或孙子定律

解决此类问题的金钥匙
三人同行七十稀，把除以3所得的余数用70乘。
五树梅花廿一枝，把除以5所得的余数用21乘
七子团圆正半月，把除以7所得的余数用15乘
除百零五便得知，把上述三个积加起来，减去105的倍数，所得的差即为所求。
列式为：2*70+5*21+7*15=233，233-105*2=23.

继续：
为什么70，21，15，105有如此神奇作用？70，21，15，105从何而来？
先分析一下70，21，15，105的性质，70除以3余1，被5，7整除，所以70a除以3余a，也被5、7整除；21除以5余1，被3、7整除，所以21b除以5余b，也被3、7整除；15除以7余1，被3、5整除，所以15除以7余1，也被3、5整除.而105是3,5,7的最小公倍数.
总的说来:70a+21b+15c是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数,这个数大了,还要减去它们的公倍数.

第二种解法:
题目:今有物不知其数量，五五数之余二，七七数之余二，九九数之余四,问物有几何，你知道吗？
先找除以9余4的数:4,13,22,31,40,49,58,67,...
其中除以7余2的数有:58
但58除以5不余2,用58加7和9的最小公倍数63,直到加成除以5余2为止:58,121,184,247,....
其中247即为所求.

在中国剩余定理这类问题中,我们实际运用的是余数加法定理和减法定理:如果一个数A除以除数后余数为a,一个数B除以相同的除数后余数为b,那么A+B除以相同的余数后余数为a+b,A-B除以相同的余数为a-b..

最小的奇数是1？那-3呢？.

本章讨论的是自然数范围内，也就是说零和正整数范围内，本章范围内所说的整数是指正整数。
这在书上第一章开始的下面所注明的。六上教材这会儿不在手边，所以不能明确指出是在那页上。.

非常感谢高人指点。现在是恶性循环：每天学校的作业＋订正＋双休补课，基本没有空闲时间让孩子坐定下来认真思考，更不要说运动放松了。其实我们家长也不断在反思：如何提高效率，进入良性循环？希望能与您不断交流。再次感谢！.

继续关注中。。.

希望大家能够多提题目和问题，一起尝试从多角度去分析、解决问题。.

请教数学题(质数与合数)
P>3为质数,求证(P^2-1)能被24整除..

解：P可以表示为
P=2K+1，这儿K为整数，且K大于等于2
所以P的平方-1=（2K+1）的平方-1=4K（K+1）
当K为偶数的时候，K+1为奇数；当K为奇数时，K+1为偶数。.

特级教师潘小明《质数与合数》教学实录2008-05-14 16:11师：(电脑出示三个同样的小正方形)每个正方形的边长为1，用这样的三个正方形拼成一个长方形，你能拼出几个不同的长方形?
     学生独立思考——
    生1：我能拼出两个长方形。
      师：说说是怎样的两个长方形。
    生1：是横着的一个，还有竖着的一个。
    师：横着的这个长方形的长是几?宽是几?
      生1：长是3、宽是1。
    师：还有一个呢?
    生1：还有一个长方形的长也是3、宽也是1。
    学生中发出“啊”的声音，以表示不同意这种说法。有些学生帮助纠正说“长是1、宽是3”。
      师：这无关紧要，反正长方形相邻的两条边，一条叫长，另一条就叫宽。
    师：同学们，这两个长方形实质上是怎样的?
      生：实质上是同样的长方形，只是放的位置不同。一个是横着放，另一个是竖着放。
      师：是呀，我觉得还可以斜着放。其实，我们只能拼出一个长方形，它的长是3、宽是1。（电脑演示：将三个同样的正方形拼成一个长方形，接着出示了四个同样的小正方形。）
    师：这样的四个小正方形能拼出几个不同的长方形?
    学生各自独立思考、想像后举手回答。
    生1：一个。
    师：也只能拼出一个？请说出该长方形的长和宽。
      生1：长方形的宽是1、长是4。
      生2：我认为还有一个，它的四边都是2。(话音刚落，学生中议论开了——)
    生3：他说的是正方形，我认为是对的。因为正方形是特殊的长方形。
    师：正方形也属于长方形，是一种特殊的长方形，所以，用4个同样的小正方形可以拼出几个不同的长方形?(结合学生回答，电脑演示出拼成的两个长方形。)
    师：同学们再想一下，如果有12个小正方形，你能拼出几个不同的长方形?
      【学生独立思考着，过了一会儿，有学生在纸上画了起来，渐渐地，越来越多的学生也拿出笔在纸上画了起来，这是我未曾想到的。但为了尊重学生自己的思维方式，我给出一定的时间让他们画。但是，我又不能让学生将大量的时间花在画出所有不同的长方形上面。因为引导学生进行空间想像及利用长方形面积计算方法进行数学地思考，促进思维的深入发展，这才是更加重要的。于是，我就进行教学调控。】
      师：我看到许多同学不用画就已经知道了。
     【我说这话的目的既起“暗示”作用——暗示学生不需将各个不同的长方形一一画出，也有办法知道“能拼出几个不同的长方形”；又起导向作用，让学生思考其他的方法或策略。我这话还真见效，一些学生立即停笔思考，很快有许多学生积极地举着手。】
      生1：能拼出三个不同的长方形。
      师：是怎样的三个呢?
    生1：长是12、宽是1的，还有长是6、宽是2的和长是4，宽是3的三个不同的长方形。
      师：你们能想像出拼成的这些长方形吗?
    生2：第一种是把这12个正方形摆成了1排；第二种是每排6个，摆2排；第三种是每排4个，摆3排。
    师：同学们，如果给出的正方形的个数越多，那拼出的不同的长方形的个数——，你觉得会怎么样?
    学生几乎是异口同声地说：会越多——
      师：(装作没听清楚)给出的正方形的个数越多，拼出的长方形的个数，你们是说——(同学们清楚又响亮地回答“越多”。)
      【此时，教师一声不吭，保持着沉默。课堂一下子沉静了下来。此时无声胜有声。同学们认真地思考着……又过了一会，学生间开始有点“骚动”，渐渐地，一些学生高举着手——】
    生1：不一定的。
    师：(故意重复)他说不一定，对吗?
    其他一些学生更加坚定而响亮地回答“对!”。
      师：说话得要有根据呀!
    学生的情绪更加激动——
    生：刚才四个正方形能排出两个，如果用5个正方形只能排出1个。如果用潘老师的说法，5个正方形排出的不同的长方形应该不止两个，所以，这话是错的。
      师：同学们听明白吗，他说得好不好?(学生回答“好!”)
      师：我觉得他说得还不太好，他说“潘老师说的”，我什么时候说过“小正方形个数越多，拼出的长方形的个数也越多”这话，这可是你们说的呀。不过，你们觉得刚才这位同学举的例子好不好?
    生：好!
    师：一个例子就把你们刚才的结论给否定了。多有说服力的反例!
    师：同学们，用小正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。你觉得当小正方形的个数是什么数的时候，只能拼一种?
    学生思考着，之后，相互之间展开了热烈的讨论。
    生1：我觉得当小正方形的个数是奇数——(还没待该生说完，有些学生便忍不住地打断他的发言。)
    师：慢!尊重人家，让人家把话说完。
    生1：是奇数的时候。
    师：我们首先要学会尊重别人，倾听别人的发言，然后对他人的言作出自己的思考，有不同意见的再与他人进行讨论。
      生2：我有反对意见。我想问××，9是什么数?用9个小正方形能排出几个长方形?
      生1：9是奇数，用9个小正形能排出两个长方形。我知道了，当个数是奇数时，也不一定只能摆出一个长方形。
      师：那该是什么数的时候呢?
     生3：如果小正方形的个数在除法里只能被1整除的话，这些小正方形只能拼出一个长方形。例如是一个小正方形。
      师：用一个小正方形怎么去拼呢?
    生4：那零呢?零是可以被任何数整除的。
      师：他说的是那个数能被1整除。
     生4：但是，零可以被任何数整除呀，也能被1整除的。
    师：噢——，我明白了。你的意思是零也能被1整除，那么零个正方形你怎么拼呢?
      生5：我想问前一位同学，你能找出只能被1整除的数吗?
    生3：43。
    生5：43还能被43整除。
    师：是呀，43能被1整除，还能被43本身整除。
    生5：我认为，这个数只能被1和它自己本身整除。
      师：我们一起来举些例子，检验她这话说得对不对?
      学生举例：3、13、7、5、11……
    生：还有1。
    师：只有1个正方形就不用拼了。
    同学们同意地点着头。
    师：我们发现表示正方形个数的数只能被1和它本身整除的时候，只能拼成一个长方形。什么情况下拼得的长方形不止一种?
    学生举例：4、6、8、9、10、12、14、15……
       师：说得完吗?
    生：说不完。
    师：那么，应该怎样回答这个问题呢?(一些学生发出无奈的叹气声：啊——)这些数有什么共同的特征?
    生1：这些数中，第二个、第三个每次都比前一个数增加2，然后第四个增加1，后面又每次增加2……(话没说完，一些学生“呀——”地表示不同意。)
    生2：我觉得这些数都能被两个以上的数整除。
    师：这些数都能被两个以上的数整除，你能结合例子说具体点吗?
    生2：4能被1、4整除，还能被2整除；6能被1、6整除，还能被2、3整除；8能被1、8整除，还能被2、4整除；9能被1、9整除，还能被3整除。
      师：这些数有着共同的特点，那就是它们除了能被1和它本身整除外，还能——
      生：还能被别的数整除。
      师：同学们，像上面这些数(指前面板书的3、13、7、5、11等数)，在数学上我们把它们叫做质数，下面的这些数(4、6、8、9、10、12、14、15等数)我们把它们叫做合数。什么样的数叫质数，什么样的数叫合数?
    学生独立思考后，在小组内进行交流，然后再全班交流。
    生1：质数就是只能被1和它本身整除，合数是能被两个以上的数整除。
    生2：我们小组在讨论了质数与合数后，还讨论了一个零。零到底是质数还是合数?我们认为是合数。
    师：(笑着)这个零的问题，我们待会儿再说，好吗?
    师：现在看来，大多数同学的意见是这样的，质数只能被1和它本身整除，而合数除了能被1和它本身整除外，还能被别的数整除。一个数能被1整除，说明1是它的——约数，能被它本身整除，说明它本身也是它的约数。
    结合学生回答，教师板书：（略）
    接着，让学生判断哪些数是质数，哪些数是合数
    生1：17是质数。
    师：为什么?
    生1：因为它只能被1和它本身整除。
    师：嗯——，能不能运用概念进行回答?
    生1：因为17的约数只有1和它本身，没有别的约数，所以，17是质数。
    师：对!运用概念去判断。
    生2：我觉得21是合数，因为它的约数有1和它本身，还有3和7。
      师：对!它的约数除了1和它本身外，还有别的约数3和7。
      生3：29是质数。
    生4：我觉得48是合数，因为它的约数除了1和它本身外，还有别的约数，譬如说24、2都是它的约数，所以它是合数。
      有一些学生认为她的回答“不完整”。
      师：有人说她的回答不完整，那谁能回答得完整?
    生5：我认为，48的约数除了1和它本身外，还有2和24、12和4。
    师：看来你的回答也“不完整”。
    这时，其他学生补充说，还有3和16、4和12、6和8。
      生6：我有一个问题，刚才××说的是“例如”，他并没有说全部的约数。
      师：那你说，要不要说出全部的约数?
    生6：不用的!只要说出一至两个就够了。
      师：一至两个，到底是说出两个还是说出一个就够了?(许多学生齐声回答“一个”)
    师：××同学，你同意吗?
     生5：同意。
    师：其实，刚才那位同学已经回答得非常好了，而这位同学的解释也很有道理。你要说48是合数的话，它的约数除了1和48外，还有——，这“还有”我只要举几个?
    生：一个。
      师：对!管它还有几个，我只要举出一个，就足以说明它是一个合数。(教师在刚才板书的质数、合数的定义中的“没有”与“还有”下面打上着重号。)
    接着继续进行判断。当电脑慢慢地显示出217813时，一些学生发出“噢——”的惊奇声，稍顿，电脑又显示出该数的最后一个数字“5”，此时，寂静的教室又热闹了起来，一些学生积极地举手争取发言——
    生1： 是个质数。(话刚出口，其他学生异口同声地“啊——”)
    师：你能说说理由吗?
    生1：它的约数除了1和它本身外，没有别的约数。
    师：如果真的没有别的约数，那么这个数就是质数。不过——，这个数到底还有没有别的约数?你再思考一，好吗?    生2：根据我们上学期学的能被5整除的数的特征，我们知道个位上是0或5的数能被5整除，所以，这个数有别的约数5，它是合数。
    师：你们觉得他回答得怎么样?
    生：好!
    师：你们说的“好——”很不具体，能不能说出到底好在哪里?
    生3：我觉得他好在能运用上学期学的知识和现在学的概念来分辨一个数是质数还是合数。
    师：你们觉得他回答得好不好?(学生响亮地回答“好!”)
    师：他好在哪里?(同学们及听课的老师会意地笑了起来。)是呀——他能自觉运用我们已经学过的能被 2、5、3整除的数的特征等知识来回答今天的问题，这就好!
    接着，电脑屏幕上又渐渐地显示出“10000032”，同学们激动地说是“合数”。
    师：这么大的数，同学们都能迅速作出正确的判断，小的数更不在话下，对吗?
    成功的喜悦洋溢在同学们的脸上，大家非常自信地回答“对”!这时，教师随手板书“1”，许多学生都笑了起来。
      师：请同学们人人发表自己的意见。你认为1是质数就打手势“1”，认为1不是质数就用手势“2”表示。
      大家作出了思考，随着教师的一声口令，同学们都打出了手势。结果，班上只有5个学生认为1不是质数，其余学生都认为1是质数。
      师：同学们，你能说出选择的理由吗?
    大家非常有自信地回答“能!”
    生1：1能被1整除，1还能被它本身整除，没有别的约数，所以1是质数。
    生2：他说1只能被1整除，那么，我想问“1除以43”呢?
    教师提醒，１能被４３整除吗？该生马上发现了自己的错误。课后教师了解到，生２认为“１除了整除它本身，还能整除任何一个自然数”，但举例时却说成“１除以４３”。同学们也马上发现了问题，提醒道“是整除”。
    生3：那我想问你——
    师：你想问潘老师?
    生3：是的。
      师：好呀，问潘老师，当然可以。请问吧!
    生3：它的规定上面没有说要整除。
      许多学生在提醒该生是“约数”。
    师：噢，你说什么是“约数”?
      生3：在整除的情况下，除数是被除数的约数。
      师：对呀，那你说规定上还要写明是“整除”吗?(该生也点着头，满意地坐下。)
    生4：我继续有反对意见!那零呢?
     该生话刚说出口，其他的同学一起向他指出“零不可以作除数”。
      师：零能被1整除，零能被100整除——
      生5：(教师的话还没有说完)零还能被它本身整除。
    一石激起千层浪。
    生6：1除以零呢?我认为零是不能作为除数的，因为零乘以任何数不会等于1的。零作除数是没有意义的。
      师：同学们的讨论是很不错的。对于“1”是不是质数，大家都在从概念出发进行判断。有的同学认为1是质数，也有的认为1不是质数，在认为1不是质数的人中间，还有一个人，他是谁啊?
      教师举着手在问大家，同学们却转头相互看着，终于有学生说着“是老师”。
    师：我告诉你们，这1确实不是质数!
    同学们怀疑地发出“啊”的声音，有的学生补充着“也不是合数”。
    师：(肯定地)对!1也不是合数。
    生7：我想问你，1是什么数?(有些学生回答说1是自然数)
    师：(承接着)1是自然数呗。可是，1好像是符合质数的条件的，为什么说1不是质数呢?
      【学生中既然对此存有疑问，有必要讨论一下，不宜教师“一锤定音”。】
      生8：因为1和它本身是一个数。
    师：是呀，1是1的约数，它本身也是1的约数。同学们，问题到底在哪里?
    一些学生窃窃议论着，可能是概念有问题。
    生：可能是编书的老师编错了。

      师：有可能是“编书的”编错了，编书的老师今天也在。(大家哈哈大笑了起来)
     师：那怎样说，才能说明1不是质数呢?
    生9：当1和它本身是相同的时候，这个数就不是质数。
    师：也就是说1只有1个约数，它不是质数。那么，质数的约数应该是几个呢?
    生10：是“两个约数”。
    结合学生的回答，教师在前面板书的“一个数除了1和它本身”后插入“两个约数”。
      【这样的定义虽然与课本上的叙述不尽相同，但确实表明学生已经理解质数的概念了。】
    师：现在运用这个概念，同学们你们能判断吗?
    学生回答“1不是质数也不是合数”。
      生：零是什么数?
      师：零肯定不是质数。这零的问题，我们以后再好好地研究，好吗?
      【对于学生提出“零是什么数”的问题，我首先想到的是要保护学生敢于质疑的积极性，同时又考虑到“数的整除”是在非零自然数范围内学习的，为此，与学生商量着“以后再好好研究”。】
     电脑出示：73。学生在思考着它是不是质数。
      师：要想马上知道73是什么数还真不容易。如果有质数表可查就方便了。(同学们都说“是呀”。)
      师：这表从哪来?
    一个学生举起一张课前印发的纸，高兴地说质数表在这儿。
    师：这上面是1到100这１００个数。（一些学生大声地说“９９个数”）它不是质数表。
     师：对!因为1既不是质数，也不是合数，所以我把它丢了。你们怎样找出100以内的质数，制成质数表?[见附表(略)]
    【对于制作100以内的质数表，我认为用什么样的方法去制表，要比单纯地找出这些质数更为重要，因为它能够让学生在制表的过程中，学习数学的思想方法。所以，在上课之前，我将原来印有的“把质数留下，其他的数划去”的要求删除。这样，同学们就不是机械地按教师的指令操作，而是从自己的实际出发自由地展开思维。】
     师：刚才，我们的有些同学接受任务后，马上就去找。要是我，我可不急于去找，而是想想用什么方法去找。说说你们是怎样找的。
     生1：我是按照质数的概念一个一个地进行判断，是质数的用一种符号表示，是合数的用另一种符号表示。
      生2：我是将质数用符号表示出来，剩下的数划去。
    师：(若有所思地)把质数留下，其他的数去掉，这——，古代数学家就是用这种筛选的方法制作质数表的。我们都来“筛”吧！
       接着，学生各自用筛选的方法在制作质数表。在学生进行了一段时间的实践后，由学生进行介绍。结果，大多数的学生是用逐个数判断的办法筛选出质数的。
    师：怎样筛选得更快?
     生1：我先把偶数都划掉。
      话没说完，许多只手举得高高，一些学生急不可待地说着“不对!2不能划去”。
      师：同学们，你们应该让人把话说完，再发表你的意见，对吗?
    生1：我刚才说错了。应该把2留下，因为2是质数，把2以外的其他偶数都划去；接着把3留下，其他的3的倍数都划去；把5留下，其他的5的倍数都划去；把7留下，其他的7的倍数都划去……
     此时，同学们一起回答着“把11留下，其他的11的倍数都划去……”
      师：表中11的倍数是哪些呢?你能说出几个吗?
    同学们在列举着，从中发现22、33、44、55、66、77、88、99等在前面都已经划去了。
    师：再看看，表中还有要划去的数吗?
    学生自己发现了规律，高兴地说“不用再划下去了”。
      生4：我有更快的方法，第一列留2，其他都划去；第二列留3，其他都划去；第三列都划去；第五列都划去；再接下去，只要在第四列和第六列中去找质数。（这时下课的铃声响了。）
    生5：我发现，除了2和3两个质数外，其他的质数都在第四或第六列中。
    师：第五列的数有什么特点?
     生6：它们都能被6整除，是6的倍数。
    生7：我知道2、3以外的质数比6的倍数少1或比6的倍数大1。
    生8：我发现1到20的数中有8个质数，可80到100的数中只有3个质数，以后的质数会不会越来越少?质数的个数是不是有限的?
      师：同学们善于观察、肯于动脑、敢于提问，太好了。关于质数与合数的学问多着呢!你们听说过数学皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想吗?若感兴趣，就上网去吧。
     同学们的好奇心油然而生，尽管下课的铃声已响过，可大家仍沉浸在数学的梦幻之中…….

分析：因为24=2^3*3，而2^3（2*2*2）和3是互质的，所以只需要证明2^3（2*2*2）和3能整除(P^2-1)即可。
因为P＞3，又是质数，所以P是奇数，并且又不能被2或者3整除，可以把整数分成6K，6K+1，6K+2，6K+3，6K+4，6K+5，这六类，由于6K、6K+2，6K+4是2的倍数，6K+3是3的倍数，所以P只能具有6K+1或6K+5的形式。方便起见，也常把6K+5写成6K-1（它们除以6余数均为5）
P^2-1=（6K±1）^2-1=36K^2±12K=12K（3K±1）
由于K（3K±1）为一奇一偶，所以2│K（3K±1），于是便有24│(P^2-1).

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