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[数学] 2008-10-22 初二

2008-10-22 初二

在正方形的每个顶点上各记上1个互不相同的正整数,在它的每条棱上记上它两端上的两个正整数的最大公约数。那么,是否有可能使顶点上的各数的和等于棱上的各数的和?证明你的结论。.

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不行吧?
令顶点各数为a, b, c, d,棱上各数p, q, s, t,[a,b]=p,依次类推,则有a=Ap, b=Bq, c=Cs, d=Dt。
反证法:若相等,则Ap+Bq+Cs+Dt = p+q+s+t,可知必有A=B=C=D=1。
因a, b, c, d互不相同,则a=p, b>p, b=q, c>q,...,最后得t>a。矛盾。.

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