发新话题
打印【有0个人次参与评价】

[数学] 2009-2-9 初二

2009-2-9 初二

求证:方程x^3+11^3=y^3无正整数解。.

TOP

猫老师又出题啦!真高兴!
如方程有正整数解,则y>x;
原方程整理为(y-x)(y^2+xy+x^2)=11*11*11;
y-x=1, x^2+xy+y^2 = 11*11*11无正整数解;
或y-x=11,x^2+xy+y^2=11*11,也无正整数解。矛盾。证毕。.

TOP

嘿嘿。貌似还有两种情况,虽然显然无解,最好也说一下。.

TOP

回复 3#老猫 的帖子

猫老师火眼金睛啊。。。如果俺去参加考试,肯定是要扣分的。。。
接2楼:
或y-x =11*11,x^2+xy+y^2=11,也无解;
或y-x=11*11*11,x^2+xy+y^2=1,也无解。.

TOP

引用:
原帖由 老猫 于 2009-2-9 16:27 发表 \"\"
嘿嘿。貌似还有两种情况,虽然显然无解,最好也说一下。
把Y=X+1代入,经过整理  可得左边是3的倍数,右边1330不是,所以....
同理可证其他3种情况

[ 本帖最后由 active69 于 2009-2-9 18:20 编辑 ].

TOP

引用:
原帖由 greenjyz 于 2009-2-9 16:05 发表 \"\"
猫老师又出题啦!真高兴!
如方程有正整数解,则y>x;
原方程整理为(y-x)(y^2+xy+x^2)=11*11*11;
y-x=1, x^2+xy+y^2 = 11*11*11无正整数解;
或y-x=11,x^2+xy+y^2=11*11,也无正整数解。矛盾。证毕。
卖力格,元宵节不休息啊?.

TOP

回复 6#GerryBB 的帖子

么办法,要上班,哪能打发辰光呢?.

TOP

引用:
原帖由 greenjyz 于 2009-2-9 16:05 发表 \"\"
猫老师又出题啦!真高兴!
如方程有正整数解,则y>x;
原方程整理为(y-x)(y^2+xy+x^2)=11*11*11;
y-x=1, x^2+xy+y^2 = 11*11*11无正整数解;
或y-x=11,x^2+xy+y^2=11*11,也无正整数解。矛盾。证毕。
能详细一点吗?为什么理解不了?恳求再讲一下..

TOP

回复 8#大鹏妈 的帖子

您可参见5#active69的回复。

解释如下:
1、因为11是质数,在x、y均为正整数的假设下,只可能y - x =1,11,11*11或11*11*11(x^2+xy+y^2相应等于11*11*11、11*11、11或 1)。在4#的解答中,忽略了后两种可能性,给猫老师揪出来了;
令y=x+1、+11、+11*11或+11*11*11,分别代入x^2+xy+y^2相应的方程,直接用求根公式就可知无整数解(或参照5#的方法瞧瞧两边的数字),或偷懒一点用韦达定理之两根之积的公式也可知无整数解。.

TOP

回复 9#greenjyz 的帖子

明白了,谢谢!.

TOP

发新话题