3楼greenjyz
(......)
发表于 2009-2-17 08:54
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向猫老师报告，这是俺抄来的：
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （1）
从（1）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （2）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （3）
又（2）式可知a^2=X*n*m^2 （4）
比较(4)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（3）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （5），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（4）式与（5）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （6）
根据（6）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n为不相同素数乘积知n=n'，
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'.
