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[求助] 请教奥数题

请教奥数题

求整数部分:
分子是2,分母是1/20+1/21+……+1/39。

请教大师:答案是2?还是3?.

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回复 1#wikky 的帖子

我考虑的一个证明。

1  画图,画出1/x,在x属于【20,39】的曲线形状,应该是递减并微微凹陷的。
所谓微微凹陷,就是说连接(20,1/20)和(39,1/39)两点的直线在曲线的上方。
这个性质决定了在这段曲线上任意一点做切线,该切线均在曲线的下方。

2 判断答案是2,还是3的问题,等价于判断分母的和与2/3之间的大小比较。(分母的和小于1,大于1/2,均容易证明)

3 注意到2/3/20=1/30。所以只要证明分母和的平均数小于1/30,则分母和小于2/3。反之则大于。

4 在(1,1/29.5)点做曲线的切线交x=1/20,x=1/39于两点,该切线应位于曲线下方。

5显然在该切线上与切点两侧平均取点统计所有y的值,则y的平均数=1/29.5。而在同样的横坐标处取曲线上的点则除了1/29.5以外y均大于切线上的的点(实际上按分母的构成取点的话,1/29.5都取不到)。所以分母和的平均数大于1/29.5即大于1/30,分母大于40/59大于2/3。答案应为2.

上述证明是不严格的,但是可以被中学生接受的。有兴趣可以籍此学一些微积分和级数的知识。

另外,如果我们用开头提到的连接(20,1/20)和(39,1/39)两点的直线,来代替切线和曲线比较,则可以获得原题分母和的值的另一个比1更好的上限的估计,即分母小于59/78。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-4-2 08:18 编辑 ].

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回复 1#wikky 的帖子

令该数=N,如果有个数t,分子与N相同,分母都是1/20,共计20个,则t=2,t小于N;如果有个数s分母都是1/30,则s=3。以下证明N小于s。由于分子相同,所以分母小的数大。
依次可证明1/20+1/39大于1/30×2,1/21+1/38大于1/30×2,……1/29+1/30大于1/30×2,
所以整数部分为2.

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回复 2#jyuntoku 的帖子

非常感动!半夜辅导,一早指导!
下载了,慢慢学习消化。.

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回复 3#smartwxc 的帖子

懂了,感谢大师!.

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回复 2#jyuntoku 的帖子

“微微凹陷”,妙啊!.

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