解法十三：一元一次方程解法8

　　昨天下午，“我不知道”亲子数学社搞活动，大家在有限的时间里讨论了007跟11折腾半个暑假的这道变态应用题。
　　007猜想小四生讨论这题太难，原本计划从算术解法导入我们的讨论。谁知道，人家不屑，听懂题之后立即提出用方程解题。原来，人家学过简易方程了。
　　007：那么好吧，就讨论方程的解法。题目是要我们求出数学兴趣小组原来的总人数，要是我们知道其中的女生人数，或者知道其中的男生人数，这个问题就很容易解决了。问题是：我们都不知道，怎么办？
　　 “设x。”同学们异口同声。
　　007：设哪个未知数为ｘ呢？
　　“女生人数。”又是异口同声。
　　007：为什么？为什么一定要设女生人数为ｘ？难道不可以设男生人数为x吗？
　　J同学：不行，男生人数比女生人数多。
　　TT同学：老师说，不要设大的数，要设小的数。这样子方便列方程式。
　　007：这是一般情况，但并不表示别的假设就一定不行。
　　Alex：干脆两个都设，女生为ｘ，男生为y，建立一个方程组。
　　11也起哄：还可以直接设数学兴趣小组原来的总人数为z呢！
　　CC：TT是女生，你就设女生人数为x；J同学，你是男生，你可以设男生人数为y。
　　J同学：不行，我要设女生人数。
　　007：好吧，你们爱设什么就设什么，关键是要列出正确的方程，列得越多越好。

　　过了一会儿，TT和J同学各自列出了同样一个方程式（为了跟前面统一，这里将他们方程中的ｘ都改成了y）：（y－1）×6＝4y＋2
　　有趣的是，TT还提出了一个新的方程：

　　（y－1）×6＋y＝（4y＋2）＋y

　　她妈妈声明：其实这个方程跟前面那个方程是一回事，不过是等式两边各加了一个y而已。
　　007不明白：既然如此，TT你怎么会想到第二个方程呢？
　　TT解释说：我的第一个方程表示女生人数的等量关系，第二个方程表示总人数的等量关系。
　　007和儿子都眼睛一亮——天哪，这个题目中还有一种等量关系，我们居然没有注意到！.

　　解法十四：一元一次方程解法9

　　儿子很快就列出一个以男生人数x为前提假设、反映总人数等量关系的方程：

　　x＋（x÷6＋1）＝x＋（x－2）÷4

　　这个好理解。第一种情况的男生与女生之和（总数），等于第二种情况的男生与女生之和（总数）。光从方程的角度看，儿子以前列出过一个反映女生人数等量关系的方程式x÷6＋1＝x－2）÷4，现在不过是在等式两边各加了一个x而已，但新方程反映的是总人数的等量关系。.

　　解法十五：一元一次方程解法10

　　007也受到启发，找到另一个以女生人数y为前提假设、反映总人数等量关系的方程：

　　（6＋1）y－6＝（4＋1）y＋2

　　呵呵，我承认，这个方程很变态！我来解释一下吧：
　　根据题目第一组已知条件，我们可以换一种思路来分析——如果李老师不调出1名女生到英语兴趣小组，反而从英语兴趣小组调6名男生到数学兴趣小组，那么，数学兴趣小组中的男生人数就正好是女生人数的6倍。换句话说，调整过的数学兴趣小组总人数是女生人数的6＋1倍，即（6＋1）y。因此，数学兴趣小组原有人数是（6＋1）y－6。
　　同理，根据第二组已知条件，调出2名男生之后，数学兴趣小组的总人数是女生人数的4＋1倍，即（4＋1）y。再加上调出的那2名男生，就是数学兴趣小组原来的总人数。
　　两种情况下，数学兴趣小组原有人数是不变的，是一样的，所以（6＋1）y－6＝（4＋1）y＋2。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-24 10:21 编辑 ].

　　解法十六：一元一次方程解法11

　　那么，假设总人数是z，能不能建立一个反映总人数等量关系的一元方程呢？
　　周日下午，亲子数社几乎所有的人都说不存在这种可能性。要是有的话，就是z＝z，等于没有列方程！
真是大家想象的那样么？007不信这个邪。晚上等孩子睡着了，007重捡这个折腾我们一个月的应用题。
　　哈哈，我找到了——

　　［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）＋2＝z

　　晕吧？老实说，我也有点头晕。不过，我这个方程的答案是对的，z＝22。想知道我列这个方程的依据和思路吗？
　　（z－1）表示调出一名女生后数学兴趣小组的人数；
　　（z－1）÷（6＋1）表示调出1名女生后数学兴趣小组剩下的女生人数；
　　（z－1）÷（6＋1）＋1当然就表示数学兴趣小组原有的女生人数；
　　［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）表示调出2名男生之后数学兴趣小组的人数；
　　［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）＋2当然是就数学兴趣小组原有的人数！

　　呵呵，007厉害吧！
　　且慢，别忙着佩服007！请看前面我们设总人数为z、利用女生人数等量关系建立的那个方程（z－1）÷(6＋1)＋1＝（z－2）÷(4＋1)，那个方程跟这个方程是不是很像呀？.

　　解法十七：一元一次方程解法12

　　前面还有一个方程：（z＋6）÷（6＋1）＝（z－2）÷（4＋1），这是一个反映女生人数等量关系的方程，稍加变化，就成这个样子

　　［（z＋6）÷（6＋1）］×（4＋1）＋2＝z

　　这就是一个反映总人数等量关系的一元方程，思路如上。
　　个人觉得，能够想出这样的方程的同学一定很变态！.

　　解法十八：一元一次方程解法13

　　根据第一组已知条件，少一个女生的话，男生就是剩下女生的6倍。这就意味着，多6个男生的话，男生也是原女生人数的6倍。前面的探讨经常利用这一点，化出了多个新方程。如果继续想下去的，说不定还有新的发现。
　　 例如，设男生人数为x，根据题意可以得出一个反映女生人数等量关系的新方程：

　　（x＋6）÷6＝（x－2）÷4.

好东西，顶起来！
在匆匆忙忙的题海中，往往忽视了最本质的东西。
其实，一道题，想透彻了，学会举一反三了，何愁打不开一片天？.

好厉害的007.真希望我家孩子也能遇到你这样的好老师。.

讲得非常好!.

好，等着下面继续.

看了很受益，都打印下来了回家继续和儿子一起学。.

请问亲子数学社在哪？.

引用:

原帖由 翰翰妈 于 2011-9-10 22:43 发表
请问亲子数学社在哪？

在这里，在网上，在旺网http://ww123.net/forumdisplay.ph ... eid=1112&extra=
在我家，在你家，在千家万户，凡是愿意和孩子一起探究数学，分享数学乐趣的人家，都有亲子数学社。.

父：今天我们讲一个分桃子的故事   
子：哦（一脸不屑，桃子谁不会分啊）   
父：有一天，妈妈给了Alex一个桃子，Alex说：“妈妈，我今天只吃半个桃子， 剩下半个我明天吃，好吗？”，于是，妈妈用刀切了半个桃子给Alex，Alex很开心地吃完了那半个桃子。   
子：还剩下半个，妈妈放在冰箱里边了   
父：是的。到了第二天，Alex放学回家了，妈妈从冰箱里边拿出了半个桃子给Alex。   
子：爸爸，我想你肯定不会说：“Alex把桃子都吃了吧？那样的话，就太没劲了”   
父：Alex对妈妈说：“妈妈，你把这半个桃子再分一半吧，我吃一半，剩下的放回冰箱”   
子：第三天呢？   
父：Alex只吃了一半剩下的桃子。你想想，这种吃法，Alex能吃几天才能把桃子吃完啊？   
子：（嘻嘻），那不是每天都可以吃桃子了吗？   
父：是啊，永远也吃不完   
子：爸爸，有个问题，剩下的桃子越来越少，用什么刀子切啊？   
父：这确实是个问题，也许到后来，桃子只剩下一DD，我们只能在脑子里边把它分成2半了。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
这是在很久以前，小学二三年级的时候，给 Alex 讲过的一个故事，那时 Alex 还没学过分数呢。

现在，楼主 hxy007 已经荣升初中了，应该学过分数了吧？那么，小五生在这里请教下，上面这个分桃子的过程，预初生可以用数学算式来表示吗？.

受教了，小儿也是预初，成长进行时…….

对预初生来说，介太简单了，简单都都不用写下来、、、那么，我来记录吧。

起点：    1
第一次：1-1/2 = 1/2
第二次：1-1/2-1/4 = 1/4
第三次：1-1/2-1/4-1/8=1/8
第四次：、、、

子：咦，好像有规律的。哦
父：神马规律，我怎么没看见？
子：我猜第四次剩下 1/16。
父：1/8 桃切开，就是2个1/16，吃掉一个1/16，剩下的可不就是1/16吗？
子：我说的是算式。
父：哦，那我倒是要算一算。
1-1/2-1/4-1/8-1/16
=（16 - 8 - 4 - 2 - 1）/16
=1/16
哈哈，我又算对了。
子：这有什么稀奇，你只会通分，我给出个难一点的，你试试看呢？
1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64 - 1/128 - 1/256 - 1/512 - 1/1024 = ?
父：果然很变态哦。答案我能猜出来的。
子：我也知道的。
父：多少？
子：1/1024。我早跟你说了，有规律的。
父：其实，我知道。但是，要证明它，我只会通分的办法。
子：没必要证明了吧。
父：那不行，必须证明了。未经证实的猜想是毫无意义。

各位预初生，除了通分之外，还有什么简便的方法可以求出下式的结果呢？
1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - 1/32 - 1/64 - 1/128 - 1/256 - 1/512 - 1/1024.

继续跟着007，共同学习，共同进步。.

亲子数学进入了初中，跟小学还是有些差别的。毕竟孩子长大了，有些比爸妈都长得高了吧？总感觉，不太可能再像小学那样事无巨细地手把手地教，是不是应该尽量给孩子机会独立思考呢？

刚才在七宝二中的帖子说到，怎么做拓展题，顺便转载过来。

其实，这没有什么弄巧的招数，无非是多想多试。数学的本意就是让人思考的。今天想不出，明天想。明天想不出，后天想。每天思考的时间以不耽误基本的作业为限。

1、不要到网络上找解答。即使找到解答，看懂了，也不行。因为是拓展的内容，比较难。这是一个挑战，也是数学能力的养成。而且，对初中生来说，认知自己也是一个重要的内容。总之，要避免自己、家长和老师对数学能力做出错误的评价。

2、同学之间交流是可以的，但仅限于共同攻关。如果别的同学会做了，要给你讲一遍，请认真地回答：“对不起，我要自己想。”.

这几天碰到一道难题，Alex 总是半途而废，东试试西试试，无结果。等解出来（我引导了，干预了 ）才发现，其实并不如原来想象的难。但为什么平时就没有想到呢？从我观察的现象看：
1、主次不分，专注度不够。主课的学习始终是初中生最重要的事情。老师布置的题目没完成，那么，就要优先安排闲暇时间做这个事儿。而不是一有空就看课外书和玩手工。
2、专注的时间不够长，专注力不够。

柏拉图认为关于理性的知识唯有凭借反思、沉思才能真正融会贯通，达到举一反三。Alex 还是浮躁了些。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2012-9-8 08:36 发表
这几天碰到一道难题，Alex 总是半途而废，东试试西试试，无结果。等解出来（我引导了，干预了 ）才发现，其实并不如原来想象的难。但为什么平时就没有想到呢？从我观察的现象看：
1、主次不分，专注度不够。主课的 ...

　　中学数学很多地方不同于小学数学，对孩子的学习提出更高的要求，甚至是全新的要求。例如，中学的数学不但问题更复杂，解题过程也更复杂。要胜任中学数学的学习，就得有长时持续思考的习惯和能力。
　　聪明的小学生做数学题轻松得很，一看就懂，一做就成，久而久之就习惯了持续思维几分钟（顶多十分钟）的模式。如果遇到必须持续思考二三十分钟才能找到思路的难题（一旦中断又得从头再来），他们就难以胜任了。
　　小五生、预初得过这一关。
　　11还没有过好这一关。今天他跟我连续讨论几道难题。当我说我的思路时，往往我说到两三句话，他就打断我，接连质疑：为什么要这样？跟我要解决的问题有什么关系？……表面上看，他是没有耐心，急于看到解题的眉目；实际上，是因为他还没有习惯长时间的持续思考。他习惯的是，老爸说一句话，就让他找到了解题之道。中学数学里哪有这么便宜的事？.

周六我不在家，任儿子自己安排。等我周日醒来，发现 Alex 自己对某道难题的探究结果写了一份简短的报告，有模有样。

看来，初中生需要多一些的时间，去做一些他们想做的事情。家长们才会有惊喜。

仔细想了想，教育就是浪费时间，如时间都浪费不起了，还谈神马教育啊。果断停了时间段不匹配的新概念英语课程，要不在家自学英语，要不看场原版电影。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-9-10 12:44 编辑 ].

《雨林中的欧几里德》

　　一部故事化的数学简史，古根海姆奖得主，最受欢迎的科普读物，连续六十周荣登《纽约时报》科普畅销书榜。
　　充满洞见、极富启发、富于思辩且饱含幽默，这绝然是一部睿智的作品。——哈佛大学科学史教授，比特·加里森
　　《雨林中的欧几里德》巧妙而富于创见地揭示了数学的实质与数学精神。——日本广岛市市长，秋叶忠利
　　约瑟夫开创了一种极具吸引力的写作方式，他在每日的现实生活与奥妙的数学世界之间架起了一座奇妙的桥梁。——哈佛大学数学系主任，约瑟夫·哈里斯
　　扬弃了复杂的证明和枯燥的专业语言，取而代之的是有趣的故事和丰富的经验，其结果便是智慧、奇妙和令人振奋。——《书业评论》

　　公元前300年，欧几里德在十三卷羊皮纸上写下了《几何原本》，那时逻辑推理已经相当成熟，然而类似如下的论辩又使得常规的数理逻辑陷入了自相矛盾之中。让一个物体移动任意一段距离，它必须首先到达一半距离处，然后是剩余距离的一半处，如此连续地重复着，物体则永远不得不到达某个剩余距离的一半处，所以，它永远也不可能移动全部的距离……
　　怪异的无穷以及诸如此类的有关推理与逻辑的疑问，向数学提出了艰巨的挑战。乍眼看来这些疑问常常令人敬畏，然而在本书中，我们将透过数学证明和数理逻辑的表面形式，来洞见数学之本源——数学思想和逻辑思维的基本模式，并以此来对上述疑问作以解析。正如书中所言：数学好似一座繁茂的雨林，漫步其中我们所感受到的不仅是智慧的伟大，由深邃思想和严密论证而带来的数学之美以及涉步于数学旅程之中所伴随的愉悦更加令人流连。

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/24153752.html
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这本书所讲的故事正好符合了初中生的思想成长的需要。.

大概看了一下, 这真是一本好书!.

　　儿子是2011年秋天上初中的。那时，他是十足的菜鸟，007自然也就成了菜爸，跟着菜鸟一起学飞。为啥说儿子是菜鸟呢？从一件事上说起吧：预初生入学才不到三个月，儿子的同学就在做类似下面难题了，差距太大，不得不承认自己的孩子是菜鸟。

　　某商场在迎奥运商品展销期间，将一批商品降价出售。如果每件降价10%出售，可盈利215元；如果每件打八折出售，则亏损125元。问此类商品每件的购入价是多少？

　　当时，菜爸就迷上了这道题，觉得其中有许多东西可以讨论。但是，菜爸忍住没跟菜鸟讨论。我要等一等，等到菜鸟翅膀再硬一些，等到学完成一次方程组之后。直到过了四个多月，某个周末，菜爸得知菜鸟开始进入六下第二章“一次方程（组）和一次不等式（组）”的复习，感觉跟他讨论上面那道“打折促销题”的时机到了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-7 17:12 编辑 ].

　　菜鸟读完题，脱口而出：要回答这类商品每件的购入价是多少，先得知道每件商品生产的成本是多少。
　　菜爸直冒冷汗：这里不需要知道商品生产的成本价，只要弄清楚每件商品的购入价就行了！
　　菜鸟不同意，反问：不知道成本价，怎么可能算出利润？
　　看着菜鸟纠结于“成本价”和“购入价”概念，菜爸才意识到菜鸟没有做生意的经验，不得不跟他谈起了生意经：店主通过买卖东西来赚钱。店主是怎么赚钱的呢？他花一定的价钱从生产厂家或批发商那里购入一批商品，再用更高的价钱出售商品，他从这个差价中赚钱。这个差价，这个利润，就是商品售价减去商品购入价的差。当然，这里指的是毛利润。因为，对于这个店主来说，他经销商品的成本不仅包括进货时花费的购入价，还包括店铺租金、水电费、雇工费、工商管理费还有各种税费。这道题讲的“盈利”指的是毛利润，不需要考虑进货之外的其它花费。所以，你硬要说这里有成本价的话，所谓的成本价就是购入价。
　　菜鸟总算明白过了来。菜爸继续解释：店主为了赚钱盈利，一定会给商品定一个高于购入价的售价。但是，有的时候为了加快资金的流动，或为了薄利多销赚更多的钱，店主会打折促销。这个打折促销，就是在原定售价的基础上降价销售。.

　　我们讨论的这道题，说的就是这种“打折促销”情况。
　　菜爸问儿子：你能用画图出这道题的意思来吗？
　　菜鸟读着题，陷入了沉思。菜爸见他无从下手，就在一张纸上画了一条长长的线段：假定这就是原定的售价，你能在这个线段上标出降价10%之后的价位在哪里吗？
　　菜鸟念念有词：降价10%，就是打九折，就是原价的90%。他把菜爸画的线段分成十份，很快就在线段上正确地标出了这个降价10%后的价位。接着，他又正确地标出了打八折（原价80%）的价位。
　　菜爸：好，请你再在这条线段上标出购入价的位置。
　　菜鸟又懵了。菜爸启发道：题目里交待“如果每件降价10%出售，可盈利215元”，那就表示用这个售价出售商品，店主还可以赚钱。对不对？
　　菜鸟：对的。
　　菜爸：既然如此，这个售价和购入价比，哪个更高？
　　菜鸟恍然大悟：售价更高，购入价小于原价的90%。还有，根据第二个已知条件，购入价大于原价的80%。
　　菜爸：很好！现在你可以在这条线段上标出购入价的大致位置来了吧？不一定要十分准确，表示出这个意思就可以了。
　　菜鸟理解了这种关系，很快就在原价80-90%的那个区间里标出了购入价的大致位置。菜爸建议他再把降价10%盈利数据和八折出售的亏损数据标出来。完成这道程序之后，这道“打折促销题”的题意就一目了然了！

.

　　根据上面的分析，尤其是从上图可以非常清楚地看出购入价跟售价的关系：购入价比八折售价多125元，比九折售价少215元！
　　所以，要算出购入价，关键在于弄清楚原定售价。怎么利用已知条件算出原定的售价呢？菜鸟又陷入了沉思……
　　最终还是上面那张示意图帮了忙。菜鸟发现，原价打九折（降价10%）跟原价打八折相差1折，相差215＋125＝340元。又因为原定售价一共有10折，所以，原定售价是340×10＝3400元。.

　　菜鸟一旦弄清楚原定售价，很快就用两种方法计算出了购入价：

　　（1）3400×90%－215＝2845（元）
　　（2）3400×80%＋125＝2845（元）

　　菜鸟一挥而就，写下答案，深深地叹了一口气。.

　　且慢！已知条件里既没有3400，也没有90%，怎么可以这么列算式？！
　　菜鸟说：90%是1－10%得来的。
　　菜爸：3400又是从哪里来的呢？
　　菜鸟：340乘以10。
　　菜爸：也可以说，3400是从340÷10%来的。问题是，这个340是从哪里来的？这个10%又是从哪里冒出来的？
　　菜鸟：这个10%是用（1－10%）—80%得来的。340是215与125相加的和。
　　菜爸：相加的说法虽然没有错，但更严谨的算式应该用减法。
　　菜鸟不明白，菜爸解释说：你学过正负数，应该知道盈利215元，可记为+215；亏损125元，记为－125。两者的差距应该用减法去计算，215－(－125)。
　　菜鸟：实际就是215＋125，一回事！
　　菜爸：结果一样，但意义不一样。前面的百分比用减法，它们差价也要用减法，这样才严谨。好了，利用已知条件建立的算式是什么样子呢？
　　菜鸟耐着性子写出了一个极其变态的算式：

　　｛［215－（－125）］÷［（1－10%）—80%］｝×（1－10%）－215＝2845（元）.

　　第二个算式也可以还原为：

　　｛［215－（－125）］÷［（1－10%）—80%］｝×80%＋125＝2845（元）

　　菜爸和菜鸟经过一番探索，自然地得到了上述两种算术解法。可是，菜鸟说，要是让他一个人想，是很难想出这么变态的算式来的。是的，看着这样的算式，真是令人望而生畏呀！要是哪个奥数变态狂用这种题目烤小五生，那可真要让人抓狂了。.

　　还有其它算术解法。例如，我们不妨把每一折都看成是由一个215和一个125构成——



　　购入价其实就是9个125和8个215构成，如此一来——

　　125×9＋215×8＝2845（元）

　　呵呵，巧妙是巧妙，强求小朋友想到这样的算式，那就太缺德，太恶心了！.

　　　既然一格（1折）是215＋125元，购入价值就是8格加125元——

　　（215＋125）×8＋125＝2845（元）.

　　换一种说法，购入价就是9格减215元——

　　（215＋125）×9－215＝2845（元）.

　　我们不是曾经算出过原定售价是多少么？不妨说，购入价就是原定售价减去一折，再减去盈利额——

　　3400—340－215＝2845（元）.

　　或者说，购入价就是原定售价减去两折再加上亏损额——

　　3400—340×２＋125＝2845（元）

　　打住，打住！菜鸟看得都快要吐了。这种算术解法无论多巧妙，预初生已经不屑一顾了。因为他们学到了更加简练且更具保障的解决办法——代数的方法！.

　　当菜爸滔滔不绝地讲述各种各样奇奇怪怪的算术解法时，菜鸟按捺不住了。他认为，许爸出的这道“降价促销题”可以用二元一次方程组来解决。他很快就给出了解决方案：
　　设每件商品的购入价为x元，原定售价为y元，根据题意得方程组：

　　x＋215＝(1-10%)y 　　①
　　x—125＝80%y　　　　　②

　　菜爸说：别急，我们先不讨论二元方程的解法。假定你还没有学二元一次方程，你能用一元一次方程解决这个问题么？比如，只设每件商品的购入价为x元，根据题目的意思怎么建立方程呢？
　　菜鸟好像又不知道从哪里入手了。他偷偷到躲进自己的房间，过了一会儿拿出了一个方程：（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%
　　对的呀！可是，这个方程是什么意思呢？
　　菜鸟说：不知道是什么意思。
　　菜爸奇怪了：你不知道什么意思，怎么可能正确地列出这个方程呢。
　　他承认，他是根据上面的二元方程推导出来的：

　　由①得：y＝（x＋215）÷(1-10%)
　　由②得：y＝（x—125）÷80%
　　所以，（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%

　　看来，学过二元一次方程的同学，再要回到一元一次方程，有点困难了。.

　　我来带个头吧——
　　假设每件商品的购入价为x元，那么，根据第一组已知条件可知，原定售价为（x＋215）÷(1-10%)。
　　又根据第二组已知条件，利用售价的等量关系，可得方程：

　　［（x＋215）÷(1-10%)］×80%＝x—125　　　　①

　　下面菜爸要变魔术了——①可变为：
　　（x＋215）×80%＝（x—125）×(1-10%)　　　　　　②

　　②有两种变化，先说第一种——
　　[(1-10%) －80%]x＝215×80%＋125×(1-10%)
　　x＝[215×80%＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]　　③
　　
　　接下来的魔术又有两种变化，③可变为——
　　x＝[215×80%—215×(1-10%)＋215×(1-10%)＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]
　　x＝｛（215＋125）×(1-10%)－215×［(1-10%)－80%]｝÷[(1-10%) －80%]
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×(1-10%)－215     ④
　　呵呵，④咋这么熟悉呀？这不就是解法01中的那个算式么？

　　③也可以变为——
　　x＝[215×80%＋125×80%－125×80%＋125×(1-10%)]÷[(1-10%) －80%]
　　x＝｛（215＋125）×80%＋［(1-10%)－×80%］×125｝÷[(1-10%) －80%]
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×80%＋125       ⑤
　　你懂的——这已经变成了解法02中的那个算式。

　　回头再说②的另一种变化——
　　（x＋215）×80＝（x—125）×90
　　（x＋215）×8＝（x—125）×9
　　8x＋215×8＝9x—125×9
　　x＝125×9＋215×8             ⑥
　　哎呀，这不就是解法03中的算式么？

　　如此看来，算术解法中那些令人生畏的雷人算式并不神秘。.

　　思路跟前一种差不多。
　　假设每件商品的购入价为x元，那么，根据第二组已知条件可知，原定售价为（x－125）÷80%)。
　　又根据第一组已知条件，利用售价的等量关系，可得方程：

　　［（x－125）÷80%)］×(1-10%)＝x＋215.

　　建立方程，关键在于利用某个因素的等量关系建立方程。前面两种解法，利用的是某一售价的等量关系建立方程，也可以利用两种售价之比的等量关系建立方程：

  （x＋215） :（x－125）＝（1－10%）: 80%.

　　或者直接利用原定售价的等量关系建立方程：

　　（x＋215）÷(1-10%)＝（x—125）÷80%

　　这不就是菜鸟一开始说的那个方程么？
　　原来它表示：“利用第一组已知条件求得的原定售价”＝“利用第二组已知条件求得的原定售价”。

　　解法12、13、14的原始方程，各自都可以像解法11那样，演化成下列形式：
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×(1-10%)－215
　　x＝（215＋125）÷[(1-10%) －80%]×80%＋125
　　x＝125×9＋215×8.

　　另外一种思路——我们也可以利用一元方程先求出原定售价，再求出购入价值。
　　假设原定售价为y元，根据第一组已知条件，可知购入价为（1—10%）y—215
　　根据第二组已知条件，利用售价的等量关系可得方程

　　［（1—10%）y—215］－125＝80% y

　　所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］　　
　　哎呀，这不是我们在考虑算术解法时求原定售价的算式么！
　　把y代入（1—10%）y—215，得购入价
　
　　｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×（1—10%）—215

　　不用去算，这不就是解法01中那个算式么！.

　　跟解法15的思想一样。假设原定售价为y元，根据第二组已知条件，可知购入价为80%y＋125；根据第一组已知条件，利用售价的等量关系可得方程

　　（80%y＋125）＋215＝（1—10%）y

　　所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
　　
　　把y代入80%y＋125，得购入价
　
　　｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×80%＋125

　　这不就是解法02中那个算式么！.

　　假设原定售价为y元，根据第一组已知条件，可知购入价为（1—10%）y—215；根据第二组已知条件，可知购入价为80%y＋125；利用购入价的等量关系可得方程

　　（1—10%）y—215＝80%y＋125

　　所以，y＝（215＋125）÷［（1—10%）－80%］
　　
　　把y代入（1—10%）y—215，得购入价｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×（1—10%）—215，这正是解法01中的算式。
　　或者把y代入80%y＋125，得购入价｛（215＋125）÷［（1—10%）－80%］｝×80%＋125，这正是解法02中那个算式。.

　　设原定售价为y，打九折的售价为（1—10%）y，打八折售价为80%y
　　两者的差价为（1—10%）y－80%y
　　两者的差价也可以直接地表示为215—（－125）
　　利用差价的等量关系可得方程：

　　（1—10%）y－80%y＝215—（－125）.

　　代数的解法，难的不是解方程，而是建立方程。
　　建立方程的关键，不是设定未知数，而是寻求和利用题意中的某种等量关系。
　　这道“降价促销题”中，可以用来建立方程的等量关系至少包括：
　　第一，打折后售价有两种表达方式，一是“原定售价×（1－折扣）”，二是“购入价值＋盈亏”。利用两者的等量关系可以建立方程；
　　第二，无论是打九折，还是打八折，都是针对原定售价来打折的，因此，原定售价就有两种计算方法，一是 “九折售价÷90%”，二是“八折售价÷80%”。可以利用这两者的等量关系建立方程；
　　第三，无论是打九折出售，还是打八折出售，原来的购入价都是一样的。因此，购入价有两种计算方法，一是 “九折售价－盈利”，二是“八折售价＋亏损”。利用这两者的等量关系也可以建立方程。

　　如果我们平时做习题常有时间和机会这么从容地去回味，去分析，去总结，我们就可以闻一知十，举一反三，就可以一题多得，就不必做太多的题，就不必陷入题海，被题海淹死，或者被题海弄得脑子僵化，越学越笨，越练越呆。.

　　我们在利用各种等量关系建立一元一次方程时发现，那些神奇的、令人生畏的、变态的算术解法原来可以从这些可爱的、简朴的、高明的一元一次方程中演化出来！
　　当年，我们念小学时，有人用“牛顿难题”（“牛吃草”）、“丢番图寿命难题”、“相遇难题”或“追击难题”、“鸡兔同笼难题”……为难我们。其实，没有什么了不起。到了我们学过代数方程之后，它们只不过是一碟碟小菜！早知如此，当年我们就应该淡定一些——做得出，不必得意；做不出，也不必着急！也许，还会有人用以后我们才学的知识为难我们。果真是这样的话，我们不妨淡定一些——没有过不了的坎。有些难事，你现在勉强去做，浪费时间和生命，还备受折磨和打击；不如耐心地待，到我们心智成熟一些，再去钻研，那时你会发现它一点也不难。
　　遵循成长的规律，不急于往前赶，不揠苗助长，不偷跑抢跑，这对孩子是一种爱护。放慢一点脚步，耐心一点等一等孩子，陪着孩子慢慢长大，是一种智慧，是一种美德。.

　　还没完！菜鸟前面提到过二元一次方程组——

　　设每件商品的购入价为x元，原定售价为y元，根据题意得方程组：



　　当时，菜爸并没有急于跟菜鸟讨论这个方程组的解法。现在，我们已经完成一元方程解法的探讨，是回头讨论这个方程组的解法的时候了！.

　　由①得： y＝（x＋215）÷(1-10%)       ③
　　把③代入②得：［（x＋215）÷(1-10%)］×80%＝x—125
　　这不就是解法11中的那个一元方程么？.

　　由②得：y＝（x—125）÷80%         ④
　　把④代入①得：［（x—125）÷80%］×（1-10%）y＝x＋215
　　这正是解法12中的那个一元方程！.

　　①:②得：（1－10%）: 80%＝（x＋215） :（x－125）
　　呵呵，这是解法13里那个奇怪的一元方程耶！.