小序
有关奥数的讨论，已经告一段落了。在该帖的最后，我提供了一些“好数学”和“不好的数学”的讨论；后面推荐了几本书。帖子的链接在这里：
http://ww123.net/baby/thread-4542628-1-1.html

本帖主要是写一些好玩的数学小品，适合从小学高年级到高中的学生，以及有兴趣的数学爱好者们阅读。题目起名休闲，就是说不希望大家带着思想负担来读——这里的东西大概不会对你的数学成绩有立竿见影的影响，或者帮助你在奥数比赛中取得好成绩。最好是闲时来看看，玩味玩味就好。如果读者朋友们能够从中获取一丝乐趣，或者发出“真有意思”的感叹，那作者就很满足了。

同时，既然名为休闲，更新将是不定期的。兴之所至的时候我会考虑一下，然后有空再贴上来。

后面有网友提议我出一些题目。题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴！

目录
2#: 有限小数和无限循环小数
39＃： 化循环小数为分数
80＃： 一个论文题目
85＃： 一些符号约定
86＃： 多普勒效应
93＃： 循环节长度之谜
97＃： 循环节长度之谜（续）
100＃： 循环节长度之谜（三）
101＃： 循环节长度之谜（四）
104＃： 循环节长度之谜（五）
106＃： 费马小定理
108＃： 同余
109＃： 无限困惑

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-12-29 20:04 编辑 ].

我们知道实数分为有理数和无理数。无理数是无限不循环小数，有理数或者是有限小数，或者是无限循环小数。这里就来讨论有理数的小数形式。

我们自然要问，什么样的有理数可以写成有限小数，什么样的有理数只能写成循环小数。假设我们手头有一个有限小数1.234567，如果我们抹去小数点，就变成整数1234567。抹去小数点这个操作，用数学的语言来说，就是乘以10的某次幂（整数幂，下同）。也就是说，一个有限小数，可以通过乘以10的某次幂而变成整数。

反过来，如果一个小数可以通过乘以10的某次幂变成整数，那么它一定是一个有限小数。这些从有限小数的定义很容易看出来。进一步，任何无限循环小数因为有无限的小数位，所以不能通过上面的方法得到其对应的整数。

现在来考虑有理数的分数形式。假设现在有一个有理数p/q，其中p和q互素。根据上面的讨论，如果p/q对应的小数是有限小数，那么必然存在10的某次幂可以被q所整除。这意味着q不包含2和5之外的素数因子。（网页上不好写指数和下标，真痛苦）

现在可以得出这样的法则：一个有理数，写成其既约分数形式p/q，如果q只包含2和5这两个素数因子，p/q就可以写成有限小数。反之，只能写成无限循环小数。

读者自然要问，为何有限小数对应的既约分数的分母只能包含2和5呢？答案在于我们使用的进位制，10。因为10的素数因子只有2和5。这点可以从前面抹去小数点的地方看出来。

进一步，如果我们考虑其它的进位制，那么一种进位制里的有限小数是不是就有可能会变成另外一种进位制里的无限小数了呢？答案是肯定的。这完全取决于所考虑的有理数在特定的进位制中，其既约分数的分母是否只包含在进位制数中出现的素数因子。

举个例子，十进制的1/3在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。

本节说明，有限小数和无限循环小数是相对的。下一节讨论循环小数的循环节。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:54 编辑 ].

因为：1/9=0.1的循环
           8/9=0.8的循环
所以：0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环

因为：1/9+8/9=0.1的循环+0.8的循环=0.9的循环
           1/9+8/9=1
所以：0.9的循环=1？

可是我怎么也想不通0.9的循环怎么会是1呢？

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 12:09 编辑 ].

o.9的循环是无限循环小数，0.9的循环只是无限逼近1，但不是1。只是无限逼近。
如果按楼上的说法。0.9的循环=1，那是近似值取位的问题。.

从道理上讲是如您所说0.9无限循环严格意义上讲不等于1，但是从推论上说好像就是0.9的循环=1，不是近似问题，见3#推论。

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 15:23 编辑 ].

3楼的推理是正确的。但是由于其无限的小数形式，使得理解起来有一定的困难。有两种方法可以绕过这些困难。这两种方法的基本思路都是化无限为有限。

第一种方法就是用前面讲的，变换进位制，化无限小数为有限小数。1/9写成十进制的小数是0.11……，写成九进制的小数是0.1；依此类推，可得下表：

十进制分数   十进制小数    九进制小数
1/9          0.111……     0.1
2/9          0.222……     0.2
3/9          0.333……     0.3
4/9          0.444……     0.4
5/9          0.555……     0.5
6/9          0.666……     0.6
7/9          0.777……     0.7
8/9          0.888……     0.8
9/9          0.999……     1

注意最后一列，九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。

第二种方法留到下一节再一起讲。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 17:03 编辑 ].

大师，按照你这么说，3楼的推论是错误的，1/9，1/3等根本就不能用十进制来表示，是吗？.

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 17:16 发表
大师，按照你这么说，3楼的推论是错误的，1/9，1/3等根本就不能用十进制来表示，是吗？

惭愧，大师不敢当。我的网名比较拗口，叫火车就可以了。

1/9，1/3都可以用十进制表示啊，可以表示为分数或者循环小数。只是不能在十进制中用有限小数表示罢了。3楼的推理没有大的问题，只是加法的处理有一点技术上的困难——无限小数怎么相加呢？如果还要处理进位就更难办了。不过中小学没有必要搞这么严密，有时候依赖直觉和观察，也就糊弄过去了。一定要严格的话，化成分数进行处理就行了。.

现在想明白了，1/3不等于0.3的循环，所以就得不到后面的荒谬的结论了（1也不等于0.9的循环）.

唉，这个是我女儿四年级留给我的问题，9楼的回答是她刚得出的结论。小孩子的问题还是要给她弄明白的。.

这这这……
1/3的确等于0.3的循环，
1也的确等于0.9的循环。

不知道我哪里没有解释清楚，以致你得出9楼的结论。.

火车，不知您为何将数学以“好数学”“不好数学”区分？
也许我的提问会有问题，我对数学不精通，但是对您的这个主题的讨论很感兴趣，特别是在这个板块里能够看到别具一格的探究性的话题。谢谢！.

哦，原来是小孩子写的。

2楼的内容可能小学生看起来比较吃力，需要大人从旁协助。.

引用:

原帖由 香甜蛋糕 于 2008-8-30 18:08 发表
火车，不知您为何将数学以“好数学”“不好数学”区分？
也许我的提问会有问题，我对数学不精通，但是对您的这个主题的讨论很感兴趣，特别是在这个板块里能够看到别具一格的探究性的话题。谢谢！

这个概念最早是已故数学大师陈省身提出来的。他在不同的场合反复提到过这个区分。例如（http://ww123.net/baby/viewthread ... p;page=4#pid3288518）：

梁东元：那么，什么才算是好的数学呢？难道还有坏的数学？

陈省身：好的数学就是有开创性的，有发展前途的。好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，解方程就是好的数学。搞数学都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同，等等。这一类的数学是不断发展的，有永恒价值，所以是好的。而不好的数学就是那些仅限于把他人的工作推演一番的研究。还有一些数学虽然也蛮有意思，但也仅仅是一种游戏罢了。

梁东元：究竟怎么样才算不好的数学，这方面应该也有不少例子吧。

陈省身：举个例子，大家也许知道有个拿破仑定理。据说这个定理和拿破仑有点关系。它的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边的三角形。各边上的等边三角形也可以朝里面作，于是可以得到两个解。像这样的数学，就不是好的数学，为什么？因为它难以有进一步的发展。当然，你可以把它纯粹当作一种游戏，做事累的时候用来解闷，也是很有意思的。再把话说开来，比如现在世界上，还有国内每年发表的论文，多数是没有什么意义的平庸之作，只是在已经有的工作上做一些枝节的推广和改进，没有多大的创造性。

当然，选择好的方向，做好的数学，需要很强的能力。有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。.

虽然是孩子得出的结论，但是这个困扰她多时的问题也是在看了您的帖子后得出的：
1、您不能用10进制来解释，只能转而用9进制来解释
2、既然不能用10进制解释，3楼的整个演算过程又没有出问题，那么就说明1/3表达为0.3的循环有问题
3、转而又去其他网站搜索了一番，http://q.163.com/mathsci/blog/yu ... 2949720080319393596

然后她就一本正经的告诉我她得出的结论，1/3和0.3的循环是无限接近的概念，还告诉我如此这班，我们的教科书是否有问题了？.

谢谢火车的举例和解释。
最后的一句话蛮经典的：有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。.

那句话也是陈省身说的。
我只是拾人牙慧而已。.

我们先弄明白十进制和三进制的表达方式
十进制               三进制
  1                       1
  2                       2
  3                       10
  4                       11
  5                       13
  6                        20

十进制：1/3 小数形式表达为0.33333.....
三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。

所以您的论点存在严重的漏洞。.

我不是不能用十进制来解释，只是用九进制解释比较容易令人接受。关于进位制，我不打算过多解释。看起来令千金对进位制有一点误解。应该说，进位制仅仅是表示数字的一种形式。同一个数字，在不同的进位制下面有不同的写法。例如，17的二进制表示为10001（1x16+1），三进制表示为122（1x9+2x3+2x1），九进制表示为18（1x9+8），这些数字表示的是同一个数。所以不能说我换了一个进位制来解释问题，就认为十进制不能表达1/9。

不能表示为整数的有理数，总是能用分数表示出来。这个分数可能写成有限小数，也可能写成循环小数。这些前面已经讲过了。需要强调的只是，一个分数和他的小数形式是等价的，表达的是同一个数。也就是说，1/3和0.3的循环本来就是同一个数。

对于1=0.999……这个事实，可以简单理解为0.999……是1的另外一种写法。

任何时候，请不要轻易怀疑教科书。这和独立思考没有矛盾。合理的怀疑，应该建立在充分的理由之上。

无限的概念的确比较难以理解。我看了你给出的链接。那里的推理和结论都是错误的。我没有看过兰佐斯的《无穷无尽的数》。所引或为笔误。

回到二楼的结尾，如果你对循环小数的无限性感到困惑，请换一种进位制去看它。或者，把它转化为分数。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:36 编辑 ].

十进制的5写成三进制应该是12吧。

我没有写得很仔细，让你误解了。我的意思是
举个例子，十进制的1/3在十进制中是无限循环小数0.33333333……，在三进制中就是有限小数0.1。

那个0.1是三进制的0.1，不是十进制的0.1。它表示的是三进制的1/10，也就是十进制的1/3，正如十进制的0.1表示十进制的1/10一样。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-30 20:48 编辑 ].

0.9循环等于1，这个结论的依据呢？ 1是整数，0.9的循环是无限循环小数，按照您的推论，整数可以由一个无限循环小数来表达？整数就是无限循环小数?

18楼说的有点道理，你在6楼说的9进制中，小数的计算是否也采取的10进制规则呢？

非10进制规则中有小数吗？如果有小数，计算规则是什么？有依据吗？

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 20:53 编辑 ].

啊，依据不就是你在3#的证明吗。

整数写成无限循环小数不应该使人感到震惊。有一种叫做连分数的东西才叫奇怪呢。不知道以后有没有机会讲到。

任何进位制中都会有小数的。计算规则其实很简单，和十进制是类似的。如果是p进制，那么把10换成p就行了。比如相加满了p就要进位，比如6楼的：
九进制里面只有0 1 2 3 4 5 6 7 8这九个数字，满9就进位了，所以0.8+0.1=1。.

我指的是0.1和0.8是怎么得来的？18楼的问题“三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。”怎么回答？就是我问的九进制中0.1和0.8是怎么得来的？

[ 本帖最后由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:28 编辑 ].

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引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:20 发表
我指的是0.1和0.8是怎么得来的？18楼的问题“三进制：1/10 不等于0.1，分母应读为“一零”，不能读成“十”，如果说等于0.1，就是采取了10进制的计算规则。”怎么回答？就是我问的九进制中0.1和0.8是怎么得来的？

进位制就是这么回事啊。一般的说，考虑p进制abc.de，它表示的就是
axpxp + bxp + c + d/p + e/(pxp)

小数点前适用乘法，后面适用除法。

举个例子，十进制的123.45表示1x10x10 + 2x10 + 3 + 4/10 + 5/(10x10)

所以十进制的1/9写成九进制就是1/10，按照进位制的约定，也就是九进制的0.1。.

三进制是1/10，那个“10”（一零）不是10（十），所以怎么可以得出0.1的结论呢？.

关于进位制问题我明白了，但是关于1和0.9循环等同问题，还持保留意见。.

引用:

原帖由 qq12 于 2008-8-30 21:43 发表
三进制是1/10，那个“10”（一零）不是10（十），所以怎么可以得出0.1的结论呢？

这个0.1是三进制的0.1，也就是十进制的1/3。如果是三进制的0.01，就是十进制的1/9。

一般地，p进制的0.1就是1/p，0.01就是1/(pxp)，余类推。.

引用:

原帖由 hxwcwctt 于 2008-8-30 21:57 发表
关于进位制问题我明白了，但是关于1和0.9循环等同问题，还持保留意见。

既然能够接受分数可以写成循环小数，那么整数写成循环小数应该不会使人太惊讶。以有理数的观点，整数不过是一种特殊的分数而已。循环小数不过是另一种写法罢了。

不过你可以继续保留意见。涉及到无限，确实容易令人困惑。.

谢谢诶。.

我是对18楼提出的问题搞明白了，但是依然认为分数不能以循环小数方式表示，因为0.9的循环和1在实际中一定存在差距的。谢谢你的耐心解答。.

那么,现在学校教的数学,算好还是算坏?.

关于1和0.9循环等同问题，到了大学学了数学分析就知道最终原理了，这里包含极限的思想。对小孩子们说这个极限思想可能现在太难理解了，就对他们保留这点数学的神秘也是不错的，告诉他们长大了自己去学。.

至于用10进制还是用9进制，理解为：
把蛋糕分成9等份，每等份为1/9，那么如果用分数来表示的话，十进制就是我们都认同的0.1的循环，9进制就是0.1，问题是1/9这个分数在9进制中表示为0.1是没有问题的，但是在十进制中是否能够表示为0.1的循环？

无限接近就是等于？比如终点站，我们在无限接近它，就是等于到达终点站？.

引用:

原帖由 shumi1 于 2008-8-30 23:04 发表
那么,现在学校教的数学,算好还是算坏?

基本都是好的。

奥数嘛，嘿嘿，看顶楼的链接好了。.

同意保留神秘感。这个问题暂且搁置吧。.

偶不懂数学，不过通过火车仁兄在大杂烩版块发表的一些有关人文和社会思想方面的帖子，已经对仁兄有相当的了解，相信仁兄在数学方面也同样具有令人耳目一新的视野和造诣！.

谢谢你的夸奖！我对令千金的画作印象很深刻。有机会要向你好好讨教。

也感谢楼上网友们的热情参与。希望本帖对培养大家的数学兴趣有帮助。.

我们知道，有理数都可以表示为整数或者分数的形式。循环小数作为有理数，肯定也有对应的分数形式。本节就来讨论怎样把循环小数化为分数。

循环小数具有无限性，而分数具有有限性。因此化循环小数为分数，关键就在于消除其中的无限性。怎么消除呢？利用循环节重复出现的特征。

举个例子，1/7=0.142857……，142857为循环节。记1/7为a，则有
       a=     0.142857……
1000000a=142857.142857……

我有意进行了对齐。上面两个式子相减得到
999999a=142857

这样就把无限部分抵消掉了。得到
a=142857/999999

基本上就是这么一个方法。关键是循环节的长度t。把需要考虑的循环小数乘以10的t次幂，再减去原来的数，就可以把无限部分抵消了。.

利用上面的方法，可以把0.9……里面的循环去掉。令a=0.9……，按照上面的方法，10a=9.9……。两式相减得到9a=9，所以a=1。.

[ 本帖最后由 老姜 于 2008-8-31 12:11 编辑 ].

[ 本帖最后由 老姜 于 2008-8-31 12:12 编辑 ].

谢谢楼主的努力，我已经订了《什么是数学》，相信对孩子有帮助。.

火车大师，您的帖子真的很好，是否考虑每讲完一次弄些有趣的题目做做？如果能够结合实际生活的更好，我们大家可以一起玩玩。.

谢谢你的欣赏。不过真的，请不要叫我大师。在我眼里只有少数数学家可以称得上大师，而他们是不会来旺网的。

题目我大概不会出了。事实上我每个小节都会有意或者无意留下一点尾巴，有些过程一笔带过，读者们可以补上细节，作为深化理解和复习巩固之用；有时候也可以找到未讲完的地方深入思考，说不定会有小小的发现。以前自己读书时看到“其证明留给读者作为练习”总是恨得牙痒痒，现在终于轮到自己使用这个特权了，真高兴。

还有另外一个原因就是本帖意为休闲，不想因为出题而让小读者们觉得有负担；要是把人吓跑了，我不就损失一个读者了嘛。

结合实际生活的提议很好，我要是想到了会写一些的。但是目前并没有成形的写作计划，基本上是想到哪里写到哪。.

这里实际证明的是1.111……=10/9。

某巧克力厂商搞促销，每块巧克力里面有一张兑换券，集齐10张可以兑换一块巧克力。当然，兑换得到的巧克力里面也有一张兑换券。

现在的问题是，这样的一张兑换券相当于多少块巧克力？10张券可以换一块巧克力，这换来的巧克力里面还有一张券，可以和另外9张券一起换得一块巧克力，所以这里应该还有0.1块；这0.1块里面又有部分券……依此类推，10张券应该相当于1+0.1+0.01+0.001+0.0001+……块不含券的巧克力，也就是1.1111……块。

另一方面，可以证明9张券正好可以兑换一块不含券的巧克力。你可以拿着9张券跑到商店去，跟老板说：“请给我一块巧克力，我将立刻吃掉它，然后给你支付10张兑换券。”只要老板同意，你可以吃掉那块巧克力，然后把自己的9张券和老板给的巧克力里面的那张券一起交给老板，完成购买手续。因此，一张券相当于1/9块不含券的巧克力。10张券就是10/9块不含券的巧克力。

这证明1.111……=10/9。

请参见《无穷的玩艺——数学的探索与旅行》
大连理工大学出版社.

这本书适合大学生看。.

引用:

原帖由 zhenai 于 2008-9-1 09:53 发表
这本书适合大学生看。

高中生可以看的。
部分内容预初就可以看了。.

怕以后又脱销了，备着。.

厚厚一大本，怎么说也得读懂大部分吧，否则部分内容小学生也可以看了。看这本书还是有些高等数学基础为好。.