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[数学] 2009-7-20 初三

2009-7-20 初三

在△ABC中,∠A2B,∠C是钝角。三条边长都是整数,求周长的最小值并给出证明。.

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回复 1#老猫 的帖子

用三角来试试:

设三边为a,b,c ( b<a<c)
由正弦定理可知: b / Sin(∠B) = a / Sin(∠A) = a / Sin(2∠B)  = a / 2Sin(∠B)Cos(∠B)    ∴a = 2bCos(∠B)
再根据余弦定理: Cos(∠B) = (a^2+c^2-b^2) / 2ac   ∴ a = b(a^2+c^2-b^2) / ac     整理得: a^2-b^2=bc ----(1)
又∵∠C是钝角,   ∴ a^2 + b^2 < c^2,   结合(1)式可得: c>2b>a>√3b ---- (2)
∵a,b,c ∈N   根据(1)式可知 a^2 / b ∈N,  而2b>a>√3b  ∴b必为完全平方数
验证可知, Min(b) = 16, 此时a = 28, c=33

所以△ABC周长最小值为: 16 + 28 + 33 = 77.

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