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[数学] 2010-1-4 初三

2010-1-4 初三

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这题和上次那个苏联题差不多,
原题化为 PD*PB+PD*PA=PA*PB
   即 PD*(PA+PB)=PA*PB

延长BP至A1,使 PA1=PA
延长CP至A2,使 PA2=PA,继续延长CA2至B1,使 A2B1=PB
连接A1,A2   
因为 角APB=120度,所以角A1PA=60度
因为 角APC=60度,所以角A1PA2=60度
所以 角PA2A1=角PA1A2=60度
所以 角B1A2A1=120度

所以三角形PA1A2是正三角形
所以 A1A2=PA1=PA
而 角APB=120度
所以三角形APB 全等于 三角形A1A2B1
所以 角PB1A1=角PBA
所以 D,B,A1,B1四点共圆 (或者三角形A1PB1 相似于 三角形DPB)
所以 PD* PB1=PA1*PB
  即PD* (PA+PB) =PA*PB.

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