2楼童爸0928
(......)
发表于 2010-1-4 10:31
只看此人
这个题比前一阵那个取小球(非整数的)证明球相等的要简单多了
为了方便,记A1A2=a,A1A3=b,A1A5=c
原问题化解为1/a=1/b+1/c
即bc=ac+ab=a(b+c)
现延长A2A1至B1,使A1B1=c,继续延长A2B1至B2,使B1B2=b
延长A3A1至B3,使A1A3=c,连接B3B2,B3B1
角A1=A2=...=180-360/7
角A2A1A3=角B3A1B1=(180-(180-360/7))/2=180/7
所以角A1B1B3=(180-角B3A1B1)/2=90-90/7=540/7
角B3B1B2=180-角A1B1B3=180-540/7=720/7
在七边形内取个三角形A3A1A7,有A1A7=a,A1A3=b,A3A7=c
角A3A1A7=角A2A1A7-角A2A1A3
=180-360/7-180/7=720/7
所以三角形A3A1A7 全等于 三角形B2B1B3
所以角B3B2B1=角A1A3A7
而对于正七边形,所有边对应的圆周角相等,
即角A1A3A7=角A2A3A1
所以角B3B2B1=角A2A3A1
所以A2,A3,B2,B3四点共圆,
所以A2A1*A1B2=A3A1*A1B3
即bc=a(b+c)
即1/a=1/b+1/c
得证.