6楼冬瓜爸爸
(......)
发表于 2010-4-19 21:20
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这道题用平面几何的方式来做的确不容易,国际奥林匹克数学竞赛题不是那么容易做的,呵呵。
但我脑子里用解析几何来做的想法是如此强烈,以至于我不愿意继续寻求平面几何的解法了。下面我贴出解析几何的方法:
在解析几何里,判断三点共线的条件是每个普通中学的学生都会的,就是AB的斜率=AC的斜率。
先要建立坐标,以B为原点,BC为x轴建立坐标系。不失一般性,可设坐标如下
A(a,b), B(0,0), C(c,0), P(1,d) 于是,
Kpa=(b-d)/(a-1), Kpb=d/1, Kpc=d/(1-c)
立得,Kpd=(1-a)/(b-d), Kpe=-1/d, Kpf=(c-1)/d 垂直关系在解析几何里体现为负倒数,简单伐。呵呵
于是可得PD,PE,PF的方程,(点斜式方程)
与AB,BC,AC的方程联列求出D,E,F三点的坐标。
D点坐标由 y=0, y-d= Kpd (x-1) 两方程解得,为 ( (d-b)d/(1-a)+1, 0 )
E点坐标由 y-d= -1/d*(x-1), y=b/(a-c)(x-c) 解得, 结果大家自行得出,此处略
F点坐标由 y=b/a*x, y-d=(c-1)/d(x-1) 解得, 结果略,大家可自行得出。
得出三点坐标后,就能得出 FD斜率=ED斜率。
于是D,E,F三点共线。.