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[数学] 求教老师奥数题

求教老师奥数题

求教:正整数N恰有12个正约数(包括1和N),将它们按递增顺序编号:d1 <d2 <---<d12.已知下标为d4 - 1的正约数等于( d1+d2+d4)×d8 ,  试求正整数N..

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N=3*3*13*17

引用:
原帖由 小东妈妈 于 2010-7-11 17:32 发表 \"\"
求教:正整数N恰有12个正约数(包括1和N),将它们按递增顺序编号:d1 <d2 <---<d12.已知下标为d4 - 1的正约数等于( d1+d2+d4)×d8 ,  试求正整数N.
三个事实:d1=1,d2是质数,
          N正好有12个约数,12=2*2*3,故N最多有3个质因数,因为有4个质因数的合数至少有16个约数。
记m=d4-1, dm=(d1+d2+d4)*d8
所以,9<= m <= 12, d4=10,11,12,13,下面就分四中情况讨论。
1. d4=10,
   10是N的约数,那么2,5也是N的约数,所以前四个约数是1,2,5,10
   d9=(d1+d2+d4)*d8=13*d8,说明13也是N的约数。N的三个质因数2,5,13。
    N=2*2*5*13,不合题意
    N=2*5*5*13,d8=50,d9=65,不合题意
    N=2*5*13*13,d8=130,d9=169,不合题意。
2. d4=11. 这种情况略复杂一些,但讨论方法一样的。
   d10=(1+d2+11)*d8,其中d2为四个质数2,3,5,7之一。
   一。d2=5,d10=17*d8,那么17也是N约数,N的三个质因数5,11,17。此时没有合题意的d3了。
   二。d2=7,也不存在合题意的d3。
   三。d2=2,d10=14*d8,那么7也是N约数,N的三个质因数为2,7,11。
       若N=2*2*7*11那么4也是约数,前四个约数1,2,4,7,与d4=11矛盾。
       若N=2*7*7*11,可验证,d8=77,d10=154,不合题意
       若N=2*7*11*11,也可验证不合题意。
   四。d2=3,d10=15*d8,那么5也是N约数,N的三个质因数为3,5,11。
       读者可自己验证,
       N=3*3*5*11不行,
       N=3*5*5*11不行  
       N=3*5*11*11不行。
3. d4=12
   12是N的约数,那么1,2,3,4,6都是N的约数,所以d4=12以内不止3个约数了。
4. d4=13,    d12=(1+d2+13)*d8
   d2为质数,2,3,5,7,11
   d2=2,d12=16*d8,16是N约数,那4,8,都是约数,d4=13以内不止3个约数了
   d2=3,d12=17*d8,N三个质因数3,13,17, N=3*3*13*17, d8=117,d12=17*117,符合题意!
   d2=5, d12=19*d8, N三个质因数5,13,19, 则13以内没有3个约数。
   d2=7,d12=21*d8,那么3也是N约数,与d2=7矛盾。
    d2=11,d12=25*d8,那么5也是N约数,与d2=11矛盾。

最终结论,N=3*3*13*17

[ 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-12 08:23 编辑 ].

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谢谢冬瓜爸爸!你好强啊!.

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回复 7#erbao 的帖子

我辅导竞赛为主。.

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