在直角三角形ABC中 AD为斜边BC上的高
I为△ABC的内心 I1为△ABD的内心 I3为△ACD的内心
求证：I为△AI1I2的垂心

1.jpg (346.85 KB)

2010-7-16 19:19

.

哈哈 会做了 老妈比我多做半个小时也没做出来.

延长CI2交AI1于E
延长BI1交AI2于F
角EI2 I=45
角FI I1=角EI I2=45
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-16 20:57 编辑 ].

还是这题，加一问：连接I1 I2的直线交AB于P,交AC于Q，求证AP=AQ。 试试看吧。.

设AI交PQ与H
AI平分∠BAC
AI⊥PQ
又有一条公共边AH
所以两个三角形全等
AP=AQ
这2个是我要做的一道题的2个关键步骤 嘿嘿.

还是这个图，继续问：三角形ＡＢＣ的内切圆与三角形ＩＩ１Ｉ２的外接圆哪个更大一些？.

还是这个图，继续问：三角形ABC的面积，与三角形APQ的面积的2倍，哪个更大一些？.

这个图，我还可以问出20个问题。呵呵。.

继续继续，我要这二十个问题。
嘿嘿。.

引用:

原帖由 老姜 于 2010-7-17 13:19 发表
这个图，我还可以问出20个问题。呵呵。

这是一个很经典的图，里面的含有的结论实在是太多。.

突然发现，这是在进华的圈子里，笑而不语…….

引用:

原帖由 老姜 于 2010-7-17 16:38 发表
突然发现，这是在进华的圈子里，笑而不语……

，你是坏人。.

引用:

原帖由 wip老爸 于 2010-7-16 20:55 发表
延长CI2交AI1于E
延长BI1交AI2于F
角EI2 I=45
角FI I1=角EI I2=45
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

没看懂能否解释一下，多谢！.

原题等价于证I是△AI1I2的两条高的交点
等价于证I2I垂直于AI2
∠CBI1=∠CBI
所以C、I1、I三点共线
等价于证BI垂直于AI2
然后就是wip爸的解法.

△ABC的面积更大
证全等把AP或AQ转到CD上.

引用:

原帖由 老姜 于 2010-7-17 13:17 发表
还是这个图，继续问：三角形ＡＢＣ的内切圆与三角形ＩＩ１Ｉ２的外接圆哪个更大一些？

一样大

tuE.jpg (33.09 KB)

2010-7-18 08:06

证明: 设三角形DAB、三角形DAC、三角形ＡBC的内切圆半径分别为r1、 r2、 r
         可证:  r^2=r1^2+r2^2  (这个花了些时间)
         而    (I1I2)^2=2( r1^2+r2^2 ) (这个图上易找到关系)
         所以  I1I2 = sqrt(2) r
        设三角形II1I2的外接圆半径为R,
        易知, 2R=I1I2 / sin(180-∠I1I I2)= I1I2/sin(45)=2r
        故R=r

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:09 编辑 ].

引用:

原帖由 盼星星 于 2010-7-18 07:08 发表

没看懂能否解释一下，多谢！

I, I1分别为三角形ABC, △ABD的内心, 所以I, I1在角B平分线上, 设其与AI2交于E
I, I2分别为三角形ABC, △ACD的内心, 所以I, I2在角C平分线上, 设其与AI1交于F
角EI2I=角ACI2+角I2AC=(角DAC+角C)/2=45
角FII1=角IBC+角ICB=(角B+角C)/2=45=角EII2
所以角I1EI2=180-(角EI2I+ EII2)=90
同理角I2FI1=90

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-18 08:49 编辑 ].

这个图是你画的吗？.

引用:

原帖由 lucyluan1799 于 2010-7-18 12:43 发表
这个图是你画的吗？

是与右边三角形同名的那个家伙画的..

WHAT？.

杀鸡用牛刀, 是用cad软件画的..

哦 好厉害啊
我的话肯定用几何画板 嘿嘿.

引用:

原帖由 wip老爸 于 2010-7-18 08:06 发表

一样大
531935
证明: 设三角形DAB、三角形DAC、三角形ＡBC的内切圆半径分别为r1、 r2、 r
         可证:  r^2=r1^2+r2^2  (这个花了些时间)
         而    (I1I2)^2=2( r1^2+r2^2 ) (这个图上易找到关系)
  ...

这是所有解法里最简单和漂亮的一个。献花。.

好玩吗？
1+1=？.

引用:

原帖由 流星雨bb 于 2010-7-18 19:36 发表
好玩吗？
1+1=？

如果按照当前的数学规则，应该等于2。.

引用:

原帖由 老姜 于 2010-7-18 18:38 发表

这是所有解法里最简单和漂亮的一个。献花。

谢谢!将姜老师的表扬在女儿面前显摆了一下.

证r^2= r1^2+ r2^2这个好玩.
    设a是斜边, b与c是直角边,
               b+c=2r+a
      所以 b^2+c^2+2bc=4r^2+4ra+a^2
        而   b^2+c^2=a^2
              bc=2(r^2+ra)
            S△ABC= r^2+ra  
      同理  S△ABD=r1^2+r1b, S△ACD=r2^2+r2c
         又  S△ABC=S△ABD+ S△ACD
      所以 r^2+ra= r1^2+r1b+ r2^2+r2c
         而  ra=r1b+r2c(= 2S△ABC)
              r^2= r1^2+ r2^2.

继续玩01

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].

继续玩02

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].

继续玩03

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:48 编辑 ].

继续玩04

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

继续玩05

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

引用:

原帖由 wip老爸 于 2010-7-18 22:06 发表
证r^2= r1^2+ r2^2这个好玩.
    设a是斜边, b与c是直角边,
               b+c=2r+a
      所以 b^2+c^2+2bc=4r^2+4ra+a^2
        而   b^2+c^2=a^2
              bc=2(r^2+ra)
            S△ABC= r^2+ra ...

顺便提一句，r^2= r1^2+ r2^2直接用相似比和面积就出来了。.

引用:

原帖由 老猫 于 2010-7-18 23:21 发表

顺便提一句，r^2= r1^2+ r2^2直接用相似比和面积就出来了。

是的. 我绕圈子了. 或者,
  S△ABC= r^2+ra 这个在图中面积加加就出来了..

真可谓，真理越辩越明，闲话越传越多。哈！.

原解楷特，留给楼主来做。:-)

[ 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-19 22:24 编辑 ].

继续玩06

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

继续玩07

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

继续玩08

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:49 编辑 ].

继续玩09

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

继续玩10

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

炫炫爸一口气，继续玩到这么远。
我给炫炫爸来配音：
“我让你们出题！你们不是会加一问再加一问吗，出题谁不会啊！”
（炫炫爸别砸我）.

继续玩11

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

继续玩12

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:50 编辑 ].

继续玩13

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-7-20 10:51 编辑 ].

这道题应该我来做嘛 我才是这道题的发起人啊 只不过换了个方法问.

解答如你要求已经删掉。:-).

在原题范围, 发现两个好玩结论:

1) AI=I1I2
2) r+r1+r2=AD
(证明易, 略了)

[ 本帖最后由 wip老爸 于 2010-7-19 23:37 编辑 ].

不要啊 你这样一说 我觉得自己又说错话了 我已经第三次说错话了（而且肯定不止）.

继续玩14.