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[数学] 2009-12-22 初二

2009-12-22 初二

有11个球,每个球的重量都是整数,任取其中10个,都可以分成重量相等的2组,且每组都有5个球。求证:每个球重量均相等。.

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回复 1#老猫 的帖子

任取10个,分成二组,标a1,a2,...,a5和a6,a7,...,a10。依题设a1+a2+a3+a4+a5=a6+a7+a8+a9+a10

交换a1和a6,依题设应有a6+a2+a3+a4a+5=a1+a7+a8+a9+a10,有a1=a6

以此类推。。。

a11也可以证出来了。。。
.

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错的吧。
为什么a6换进去一定是这样的分组呢?.

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呵呵,还以为猫老师一天挂两题呢。

反证法的那一招不错,比较容易理解。.

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回复 3#老猫 的帖子

狡猾狡猾滴。。。俺想偷换概念、蒙混过关。。。给猫老师提溜出来。。。 .

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等开幕。.

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设:这11个球为a1,a2,a3,a4,a5;b1,b2,b3,b4,b5;X
a1+a2+a3+a4+a5=b1+b2+b3+b4+b5(*)
现将X替换b5
在a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,X中
必可分为两组5个
不妨设a1,b1在不同组
a1+*+*+*+*=b1+*+*+*+*(**)
(*)-(**)可得X与一个相等,替换其余9个,11个均相等 .

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回复 7#PeterMa 的帖子

.

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MS各位同学学习都不太认真呀!
有人说过这严格上是高三的题。
吼吼

转帖一下答案:
任取10个球,其和为偶数。所以这十一个数同奇偶。
如果是都是偶数,将这十一个数统统除以2;如果是奇数,加1再除以2。

以上过程可以重复无限次。
如果有一个不相等,那是不可能的。.

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嘿嘿.

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这题想了很久,没看清还有一个条件是整数。.

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引用:
原帖由 童爸0928 于 2009-12-24 15:30 发表 \"\"
这题想了很久,没看清还有一个条件是整数。
我也想知道“整数”这个条件在题中所起的作用。.

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整数可以用echooooo的方法,有理数也一样。如果是实数就难多了,我用线性代数解决的。.

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回复 1#老猫 的帖子

有点类似于上面echooooo提供的思路,不是整数应该也能证得出。不知道对不对,是我的土办法。
首先,先排序,设这11个球重量不同,不妨设a1最重,则有
a1>a2>a3>a4>a5....>a10>a11
第一步,先把每个球都减掉重量最轻的a11,
    a1-a11>a2-a11>a3-a11.....>a10-a11
    用b1,b2....b10表示上面的这些差
    b1>b2>b3>.....>b10
  这样这个题就简化成从10个球里取9个,分成两组,1组5个,1组4个,
   当然还有一种是这10个球全取,分成5个一组,两组的
第二步,接下来,这10个球里也有最轻的,每个球再次都减掉重量最轻的b10
    b1-b10>b2-b10>b3-b10.....>b9-b10
    用c1,c2,c3.....表示上面这些差
   这样,本题再次简化成9个球里取8个,分成一组5个、一组3个以及一组4个、一组4个,
     另外还有一组是9个球全取,分成5个一组,4个一组

下面搞个表示法,(m,n),即m+n个球可以被分成m个1组,n个1组,两组球的重量相同
那么,有下面一个图,


上面办法(m,n)和(n,m)等同,不管最后剩多少球,都要分组,分组后每组中球的个数只能是上面这些,
不断减掉最轻的球,在球数量减少的情况下继续分组。
对于每次球减少后都有一种球全取的情况,同样递推。
当(m,n)中有一个为0时,显然说明两组球重量不同,一组有重量,另外一组重量为0

如果其中有几个球一开始重量就相等(不是最重的球),也在上述讨论范围内,只是在上面有一次球减重后,
球的数量一下减少重量相等球的个数。如果是偶数个最重的球重量相等,则在上面进入到最后一步前,就已经
可以说明不成立,这里不详细说明。

所以这个题球重量不是整数时同样成立。

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-12-24 17:04 编辑 ].

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上述过程存在重大问题,贴出来仅供参考。

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-12-25 09:11 编辑 ].

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上述过程存在重大问题,贴出来仅供参考。

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-12-25 09:11 编辑 ].

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引用:
原帖由 老猫 于 2009-12-22 20:43 发表 \"\"
有11个球,每个球的重量都是整数,任取其中10个,都可以分成重量相等的2组,且每组都有5个球。求证:每个球重量均相等。
等解答中。。。。。。.

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引用:
原帖由 汉白玉 于 2009-12-26 22:03 发表 \"\"

等解答中。。。。。。
9楼已有解答。.

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回复 1#老猫 的帖子

请教老猫一个问题,这道题目的来源和背景是出自那里的竞赛题。.

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回复 19#xyq2100 的帖子

不清楚啊,敬请指教。.

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回复 20#老猫 的帖子

因为需要用这题写文章,所以需要找到出处。
现在终于找到了这题的来源。.

附件

1.JPG (83.6 KB)

2010-10-17 20:13

1.JPG

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回复 21#xyq2100 的帖子

谢谢
翻了一下,的确有这道题目。这套书我还没有通读过一遍呢。太厚了。.

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