4楼冬瓜爸爸
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发表于 2010-10-31 00:12
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这是齐8次多项式。而且也是轮换对称式。可以用待定系数法来分解。
设原式可以分解为 (x^4+a1x^3y+a2x2y2+a3xy3+y4) (x4+b1x3y+b2x2y2+b3xy3+y4) , 这里有6个未知数。
【 当然还需要讨论分解为(x^4+a1x^3y+a2x2y2+a3xy3 -y4) (x4+b1x3y+b2x2y2+b3xy3 -y4) 的情况,这里略 】
这个齐8次多项式展开后有9项,分别是x8, x7y,..., xy7,y8,其中6项的系数为0,首项系数1,中间x4y4系数98,末项系数1。
可得
a1+b1=0 x7y的系数
a3+b3=0 xy7的系数
a2+b2+a1b1=0 x6y2的系数
a2+b2+a3b3=0 x2y6的系数
a3+b3+a1b2+a2b1=0 x5y3的系数
a1+b1+a3b2+a2b3=0 x3y5的系数
1+1+a2b2+a1b3+a3b1=98 x4y4的系数
解上述方程,需要一点小技巧,容易得出 b1=-a1,b2=a2,b3=-a3 (由于a与b也是对称的,不妨设a1>=0)
于是 a2^2-2a1a3=96,且 2a2=a1^2=a3^2, 解这个关于a1,a2,a3的方程,得两组解
(4,8,-4), 或者(2根号6,12,2根号6)(-2根号6,12,-2根号6),这样b1,b2,b3也分别解出了(-4,8,4),(-2根号6,12,-2根号6),(2根号6,12,2根号6)
于是可以分解为
(x^4+4x^3y+8x2y2-4xy3+y4) (x4+4x3y+8x2y2-4xy3+y4)
或者可以分解为 (x^4+2根号6x^3y+12x2y2+2根号6xy3+y4) (x4-2根号6x3y+12x2y2-2根号6xy3+y4).