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发表于 2007-12-18 22:27
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严镇军《数学奥林匹克教练工作的一些体会》中国科学技术大学数学系教授 严镇军
第33届IMO中国队副领队兼主教练
我国自1986年开始正式参加中学生国际数学奥林匹克（IMO）以来，每年都名列前茅，成果斐然。从1986年至1992年间，我前后担任了6届数学奥林匹克国家集训队和国家队教练，特别是担任了1992年第33届IMO国家集训队和国家队的主教练。并以副领队的身份与中国队一道去莫斯科参赛。在33届IMO中，中国队的胜利是空前的：6名队员全获金牌，团体总分第一，总分比第2名美国队高达59分（每个队员的满分是42分）。这里我想着重结合第33届IMO中国队的集训谈谈这几年担任教练工作的一些体会。
胜利来之不易
中国队这几年在IMO中连续取得好成绩并多次夺魁，这与体育竞赛一样，也是几代人辛勤努力的成果。已故著名数学家华罗庚和许多其他老一辈数学家一道在1956年发起举办中学生数学竞赛，当时他也亲自参与命题工作，并为中学生作各种讲座。他们在60年代初为中学生写了一批小册子，由于写得深入浅出，高瞻远瞩，所以其中有许多至今还值得一读。中学生数学竞赛是一项广泛的普及活动，全国许多省、市都办了数学奥林匹克学校，经过多层次选拔才产生出每年由约20名尖子组成的国家队，再经训练才在他们中选出6人组成国家代表队。这里应当特别指出的是广大的中学数学教师付出的辛勤的劳动，给他们打下了良好的基础，才能保证国家队和国家集训队以成功的训练。
国家队的教练工作是很辛苦的，常要连续讲课，由于这些尖子做过和见过的题目很多，教练每年都要从国内外各种资料上找出一些新题目供学生训练，才能引起学生的兴趣和提高他们的解题能力。
重视“功夫”的训练
为了使33届IMO国家集训队和国家队成功地完成集训，另一位主教练苏淳教授和我一起认真仔细地分析了近几年IMO的情况和前几年国家集训队的情况，我们认为中国中学生一个较普遍的弱点是不擅长处理那些分析步骤较多，构造步骤较强的难题，而这正是一些外国队特别是前苏联队的长处。从我接触过的许多中学生看，他们喜欢做那些以逻辑思维为主的组合题，而不擅于做也不爱做那些需要较多分析运算的功夫题。因此，在33届IMO国家队的训练中，我们给学生讲练了较多的功夫题。对功夫题的训练不仅是竞赛的需要，而且对学生以后进入高等学校的学习和从事科学研究工作更有重大意义。
从33届IMO的成绩看，我们抓对了。本届试题中，由英国提供的第6题是一道分析步骤较多、构造步骤较强的功夫题。这道题选题委员会只把它列为B级难度（难度的顺序通常定为A＞B＞C），但除中国队外，各国的得分都很低，许多国家全部选手都得零分，而中国队在这一道题中全部选手都得了满分。对于这道题目的解答以原安庆一中高二学生何斯迈（现已入中国科学技术大学数学系就读）的解答较为巧妙，比组委会提供的解答还要清晰，但也用了4页答卷纸，而原南京师范大学附中学生沈凯（现在上海交通大学就读）硬是用了8张答卷纸才把它解出。
严格要求学生
进入集训队的学生一般都是从初中到高中就已经接受过各种训练，有的甚至从小学就开始接受了培训。他们都读过不少有关数学竞赛的书，做过大量的题目。但是，他们中多数人手头的笔记本上记载的只是题目，不善于对各种解题方法、技巧进行总结、提高。作为教练就要有意识地诱导他们做这件事，以期进一步开拓思想。搞题型训练和题海战术都是不可取的，无论是讲题还是做题都要“少而精”。
有许多学生的思想极为敏捷，观察能力很强，对许多题目常能找到出人预料的解答。但他们有一个不少中学生共有的毛病，不喜欢做较复杂的分析计算题，尤其不注重书写表达，无论是笔记本还是考试答卷写得乱七八糟，答卷中，常出现“显然”、“易证”之类的大跳步。作为教练来讲就必须一丝不苟地严格要求。前面提到过的何斯迈和1990年31届IMO金牌获得者张朝晖（第2届清华理科班学生）可谓是典型，我在训练中，要求他们对各自的答卷作认真仔细的分析，指出他们的优点更强调其漏洞。后来，他们都改正得较好，在IMO的答卷中，他们都写得很工整，取得了好成绩。在33届IMO中，从总体上讲何斯迈的答卷是中国队员中最好的，他的几乎所有的题的答卷都比选题委员提供的答案简单、巧妙，受到了俄罗斯方面协调员的连连赞扬，尤其是面对他构造的一张有33条线的9点图，两名俄罗斯协调员大声用俄语叫好，周围台子上的一些协调员也闻声过来观看并予以赞扬。只可惜的是，他在一道传统平面几何的证明中，又出现了一个大“跳步”，被扣去了2分，协调回来和他谈起这个跳步，他甚不服。我告诉他，为了这个跳步，我们与协调员讨论了近20分钟，协调员拿出了组委会制定的评分标准，恰好注明了这个跳步扣2分，他才无言以对。平常，我和学生对他们的答卷作分析时，年轻人爱自以为是，对跳步和漏洞常不服气，这就要靠教练耐心指点了。
理科班与竞赛数学的教学
1988年以来，国家教委分别办了数、理、化理科试验班。数学班由清华大学和清华附中合办了3届，由北京师范大学与北京实验中学合办了2届，我以为就数学班而言，试验班是办得很成功的，在1989， l990和1992年的IMO中，来自试验班的选手共夺得了11枚金牌（占我国7年所得金牌总数约三分之一），为中华民族争了光。现在社会上对理科试验班，尤其是对数学班颇多异议，说理科班专抓牌子，我以为这种看法有点片面。
我在第2届清华理科试验班，前后担任了6个月的教学工作（在其他几个数学试验班，也担任过短期讲课），在这期间内，除数学课外还开设了很多其他课。理科班的学生是经考试选拔出来的，他们的素质本来就较好，进入理科班后更是得到了良好的训练。这些学生除了数学好，其他各方面也好，数学理科班的学生还有人加入了物理国家集训队。从理科班进入中国科学技术大学（理科班的学生入大学读数学系的为数不多）的一些学生看，他们在德、智、体方面是全面发展的。
在第2届清华试验班，我开设了《竞赛数学》这门课。数学竞赛试题的内容除了坚持不能超出中学范围或中学生所能接受这个原则外，试题的深度和广度都在不断变化，许多试题有着高等数学的背景，体现了近代数学的一些思想方法。我在开设这门课时，选择了几个专题作为教学内容，这些专题是：归纳法、不等式、数列（包括递归数列）、函数迭代和函数方程、几何及组合等，此外还由另一位老师平行地讲了初等数论，也算在这门课内。
近年来的IMO试题，大多没有固定的模式可套，许多题目是探索性和创造性的，要求应试者经过观察、思考、发现规律才能找到解题途径。有的题目还可以从特殊情况提出猜测并给以论证，而有些题目就只有用“摸着石头过河”的办法去试探和构造了。这实际上就是一个小小的科研课题。有人说竞赛中需要的是“巧”，是出奇制胜的“野路子”，这是很有道理的。因此，在教学中，我和清华大学应用数学系的高珍光老师就特别注意学生能力的训练，引导学生从不同的角度去思考问题。在这门课中除了讲授外，常进行课堂讨论，通过讨论，师生都有所收益，都得到了提高。在数学奥林匹克中，能否获得好成绩主要是取决于能力，中学生进入高等学校及以后的工作中所需要的也是能力。.
