学数学提高成绩，据说已经没有秘密可言。按照现在许多老师和家长的一种共识，学好数学拿到如意的成绩，办法其实很简单。我们深信，如果我们的孩子见识过每一种题型，如果在每一种题型上都通过十来次乃至数十次的反复练习，我们的孩子就会对每一种题型的解法烂熟于胸，各种考试便成一碟碟小菜。事实上，大多数学校、家庭就是这么大运动量地对孩子进行数学训练的。坚持这种做法的不少孩子在数学成绩上都过得去，甚至相当不错。不信奉这种做法的人则往往吃亏，搞到最后也被捆绑，不得加入到大运动量训练的行列之中。
　　这种大运动量训练策略，以前只是在大考之前偶尔用之，因为效果出奇地好，后来逐渐变成了初中生和高中生整个毕业学年的惯用策略，最后发展成为整个中学时代的常用策略。孩子们一进中学就被反复告知，要从实战出来，平时要当考时看，每一次练习和测验都要当成是中考或高考加以对待……“题海战术”就这样慢慢演变成了“题海战役”，成了今天的“题海战略”！
　　少数孩子特别幸运，他们因为自身的强大，或者因为特别的际遇，而免受了“题海战略”之苦、“机械训练”之害。但是，多数孩子没有这么幸运，他们中虽然有一部分人在“题海战略”中用反复的机械练习，努力保持了较好数学成绩，但是，他们受到了深深的伤害。他们害怕数学，讨厌数学，他们越学越机械，越学越笨！尽管他们中有些优秀分子看起来能够解决一些数学难题，但那都是因为他们以前见过、练过，“杀熟”而已。考试（如今年的中考）中面对没有见过的新题，他们就一筹莫展，甚至当场崩溃！
　　数学是一种理性的表达，一种理性的工具。它是严谨和灵活的完美结合，引人入胜，美得令人叹为观止。照理来说，它会让学习者越学越聪明，思维越来越理性、严谨、灵活，越学越着迷。可是，现实中的数学教学却让我们的孩子变得越来越机械、僵化、教条，越学越厌学，越学越没有自信。既然如此，我们为什么推波助澜？为什么不坚决反对机械训练？为什么不坚决反对“题海战术”、“题海战役”、“题海战略”呢？不靠题海中反复训练的训练，难道还有更有效的学习方式么？
　　“从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣”小学版见：
　　http://ww123.net/baby/thread-4564875-1-1.html.

　　我是在江南一个山区完成中学学业的。不要以为穷乡僻壤就没有好老师，我甚至觉得小学一年级那个小学毕业就代课的老师，都比现在许多正规大学毕业的数学老师，更具教育家的风范。
　　我读中学时，“文革”结束不久，刚刚恢复高考。阶级斗争和“文化大革命”把一批批“牛鬼蛇神”赶到山区，成了我们的中学老师。乡下孩子有机会听这些奇人异士讲课，真是大开眼界。几乎每一堂课都是精神的盛宴。我们中的许多人喜爱读书，敬重读书人，喜爱让自己有点书生气、书卷气，全拜这些“牛鬼蛇神”所赐。
　　记得初中有个数学老师，课上得精彩，字也写得极漂亮，完全可以当字帖。光看他那板书、板演的例题，就是一种享受。他还有一个绝招，给我们上数学课，兴致所至，顺手在黑板上一挥（好象都没有看黑板），就画出了一个相当标准的圆。年少的我们，那个崇拜啊！天天盼着他来上数学课，一天不上心里就好象缺了什么。现在回想，都是那么地令人神往。
　　最让我们记忆深刻的是高三时的一位代课老师。因为信息闭塞，每到高考前几个月，我们中学都会派一些老师到外打探高考方面的消息，学习别人的应考经验。那一年，我们的数学老师接受这个任务，出差一个月。他就把自己中学时代的数学老师请出来代课。
　　那是一位姓伍的老先生，已经中风，右半身瘫痪，走路不方便，口齿也不清楚。每当上课，我们都会派同学去恭请伍先生。然后，在讲台边放把椅子，请先生坐着讲课。先生从不坐下，他喜欢站着讲。最神奇的地方是，他不带教材、讲义，就用一张纸包着几根粉笔来上课。不知为什么他从不用教室里的粉笔，但给我们的感觉，他的粉笔仿佛有一种魔力。
　　那时，我们已经进入复习阶段。先生是来帮助我们复习的，但是那个月他很少让我们做课外作业，甚至都没有一次测试。他就在那里带我们一起梳理自小学以来学过的那些数学知识。口齿不清，却娓娓道来。我们脑海里的数学知识点原来都是大海中的一个个孤岛，经先生一番点拨，全都联系起来了。那种感觉犹如醍醐灌顶，那种通了数学的感受，难以言表，真是享受啊！就像ccpaging描述的那样，我们的思绪随着先生的那只粉笔，先生含糊的话音，飘呀飘……
　　先生给我们讲典型例题，带领我们总结典型例题的各种变式，让我们明白万变不离其宗的道理，甚至鼓励我们去编高考数学题……
　　先生还鼓励我们一题多解，再繁的解法也让我们讲出来。记得先生出过一题，我一口气说出了多种解题思路（代数的解法、三角函数解法、解析几何的解法）。先生艰难地伸出右手，竖起大拇指，激动得直流口水，连夸我“好学生！好学生！！”其实，更加感动的是我，是我们这些莘莘学子。
　　先生是在我读大学时去世的。据老家的人说，先生出殡时，有数千人送行。在我们那个小地方，除了毛主席逝世，再也没有见过如此哀伤的大场面。.

引用:

原帖由 shumi1 于 2011-8-8 13:29 发表
小007完成小升初了？

是的，11上初中了。
你家小书迷要上高中了吧？
永远追上不哟。.

　　星期天下午，“亲子数学社”的活动内容是用数学来分析“723火车追尾事件”。这可不是变态奥数中的虚拟追击题，而是一场实实在在的灾难，分析起来也比一道纸面上的奥数题复杂得多了。当然，也有相对简单的分析。例如，一列火车究竟有多长？
　　我们只告诉小朋友们：有的火车有12节车厢，有的14节，最长的一般加挂到16节。现在，同学们需要弄清楚的是：一节车厢有多长？大家都乘过火车，先凭经验估计一下吧。
大家都好像不知道从哪里入手，没有人公布估算结果。007只好给一点提示：一节车厢跟我家客厅比，哪个长？
　　当然是车厢更长，大概就是客厅的两倍吧。
　　007说：我家客厅有10多米的样子，那么火车车厢大概有多长？
　　20多米。
　　20几米？
　　有人说24米。007也猜了一个结果：25米。
　　到网上一查，火车车厢的准确长度是24.4米。加上车厢之间的连接，就算是25米吧。那么，最长的客运火车有多少米呢？
　　25×16
　　同学们纷纷去找纸笔，想用笔算。爸爸妈妈们异口同声：不要呀，可以心算的！25×16等于多少？可不可以用巧算呀？
　　11立即喊道：400米。
　　你是怎么算出来的？
　　25×16 ＝25×4×4＝100×4＝400
　　有同学急着想如法炮制算12节车厢有多长，007赶紧制止：且慢，11，你这个是巧算。但是，这样算在我们这个案件分析中实际上表示什么意思呢？你怎么会想到把16变成4×4呢？
　　嗯，我把16节车厢分成4个组，每组4节，4节就是100米，4组就是400米。
　　原来是这样。那么，12节车厢有多长米？怎么算？
　　TT同学抢着来到小黑板上板演：25×12 ＝25×4×3＝100×3＝300.
　　大家都说算对了。但是，CC说：前面已经算出了16节车厢有400米，你们能不能利用这个结果计算出12车厢的长度呢？
　　TT说：我的列车比他的列车少了4节车厢，也就是少了100米，400－100＝300米。
　　轮到Alex算14节车厢有多少了。他发现14并不是4的倍数，没法像前面那样巧算了。稍微迟疑了一下，他想出了新的办法：25×14 ＝25×（10＋4）＝25×10＋25×4＝250＋100＝350米。
　　J同学提出一个新方案：14节车厢比16节车厢少2节，就是少50米，400－50＝350米。
　　CC也跃跃欲试：我还可以这样巧算，25×14 ＝25×2×7＝50×7＝350米.
　　对呀，这也是一种巧算方法！可是它在实际中代表什么意思呢？
　　就是把14节车厢分成7组，每组2节，2节就是50米，7组就是350米。

　　呵呵，两个四升五的同学，再加上两个小升初的同学，做25×14这样的题，是不是太小儿科呀？三年级的小朋友都知道上面提及的种种巧算方法。问题是：小朋友真地知道乘法是什么意思吗？这些巧算在生活中真实的意思是什么吗？
　　只有真正理解了乘法，才能灵活地使用它。反之，让小孩子记住分配律、结合律、交换律之类的运算规则，通过大量练习，小朋友也许会想到一种巧算的方法，例如：
　　有的会想到25×14 ＝25×（10＋4）＝25×10＋25×4＝250＋100＝350
　　有的会想到25×14 ＝25×2×7＝50×7＝350
　　甚至有的会想到25×14 ＝25×（16－2）＝400－50＝350
　　或者有的会想到25×14 ＝25×（12＋2）＝300＋50＝350
　　但是，他们一定很难同时想到这种种可能的解法，从而产生一种数学不死、数学很灵活、条条道路通罗马的感觉，更难由衷地发出数学很美、数学好玩、数学有趣的赞叹。
　　那么，我们是为理解而学，还是为熟练而学？或者说，哪个更重要？.

　　什么是乘法？当我们的孩子刚刚学乘法的时候，老师就想出各种办法，竭尽全力地帮助孩子们逐渐理解和掌握乘法的概念。例如：

　　2×1就是1个2相加，或者说，是2的1倍；
　　2×2就是2个2相加，或者说，是2的2倍；
　　2×3就是3个2相加，或者说，是2的3倍；
　　2×4就是4个2相加，或者说，是2的4倍；
　　2×5就是5个2相加，或者说，是2的5倍；
　　2×6就是6个2相加，或者说，是2的6倍；
　　2×7就是7个2相加，或者说，是2的7倍；
　　2×8就是8个2相加，或者说，是2的8倍；
　　2×9就是9个2相加，或者说，是2的9倍。

　　可是，孩子们很快就背会了九九乘法口诀。接下的任务似乎就是利用这些神奇的口诀做题了。等到孩子们做了大量乘法运算题之后，他们却逐渐忘记了乘法的意义是什么。他们能够准确而快速进行乘法运算，却不能利用清晰的乘法概念灵活地解决问题。这样的例子不胜枚举，不相信？那我就再举一个例子。

　　11今年上初中，还没有正式报到，新学校就给他们布置了一大堆暑假作业。其中有一道题，要求用简便的方法进行运算：

　　666.66×6666.7＋99999×22.222

　　11最初是偷偷用计算器算出来的，还因为粗心给算错了。007看他无法独立解决，便跟他讨论起来。
　　007说：我也不知道简便的方法究竟是什么，但是，我看到加号后边的99999×22.222，我就会试一试，从加号前面的算式中弄出一个1×22.222.
　　儿子一脸茫然：为什么要弄出一个1×22.222？
　　父：99999×22.222跟1×22.222加起来，不是很好算么？
　　子：99999×22.222＋1×22.222怎么好算？
　　007万分震惊，无比困惑地看着儿子：不会吧，你不会这个也看不出来吧？请问，99999×22.222是什么意思？
　　11说：99999×22.222就99999跟22.222相乘呀！
　　在这个大热天里，007直冒冷汗——我的孩子要么脑子短路了，要么就是被大量的乘法练习弄得不知道乘法是什么意思了。淡定，淡定！007努力压制内心的愤怒与恐惧，尽量用耐心的口吻提出一个更加简单的问题启发孩子：好吧，那请你告诉我，1×22.222是什么意思？
　　11恍然大悟：1个22.222。啊，我知道了，99999×22.222＋1×22.222就是100000个22.222相加。
　　对呀，你二年级就学过乘法，现在怎么可能不知道乘法是什么意思呢？
　　儿子不好意思地笑了。

　　007：那么，现在请你从加号左边的算式中拿出一个22.222来，有吗？
　　11喃喃地说道：666.66×6666.7里没有22.222呀！
　　007：不要这么快就下结论。这个式子虽然没有明说有一个22.222，但是说不定里边就藏着许多个22.222。你再仔细分析一下！
　　11对着式子看了好大一会儿，终于发现其中的秘密：666.66其实就是30个22.222，我从左边借一个22.222给右边，右边有就100000个22.222了！
　　那么右边还剩下几个22.222？
　　还剩下29个。
　　你肯定吗？
　　肯定！

　　007哭笑不得：你自己说的，666.66就有30个22.222。可是加号左边的算式是666.66×6666.7，难道说666.66×6666.7也只有30个22.222？
　　11赶紧纠正：不止30个。
　　那么，这个式子到底有几个22.222？
　　嗯，有30×6666.7个。哎呀，老爸，你的这种方法不行！
　　为什么不行？
　　要从左边式子里借出一个22.222，就必须算出30×6666.7等于多少。太难了，不是简便运算。
　　你又没有算过，怎么知道30×6666.7很难算？试试看！
　　11想笔算，007不让：我认为你可以心算出来。
　　哈哈，30×6666.7原来等于200001。这个算式真变态！

　　007：现在你能用简便的方法完成这道计算题了吧？
　　11：能！
　　请把计算过程写出来。
　　666.66×6666.7＋99999×22.222
　　＝22.222×30×6666.7－22.222＋22.222＋99999×22.222
　　＝（22.222×200001－22.222）＋（22.222＋99999×22.222）
　　＝22.222×200000＋100000×22.222）
　　＝22.222×300000
　　＝6666600
　　这是不是一种简便的运算呀？
　　是的。

　　不过，你这么计算还不是最简便的方法。
　　还有更简便的？
　　是的。你看看我的算法跟你的有什么不同？
　　666.66×6666.7＋99999×22.222
　　＝22.222×30×6666.7＋99999×22.222
　　＝22.222×（30×6666.7＋99999）
　　老爸，为什么要这样？
　　待会儿你会知道为什么。现在，我要问你，我的这一步对不对？
　　嗯——我不知道。
　　不会吧！？你跟我说说什么是乘法，22.222×30×6666.7＋99999×22.222里就两个乘法算式，你给我讲讲它们是什么意思？
　　哦，我明白了。22.222×30×6666.7就是30×6666.7个22.222，99999×22.222就是99999个22.222，所以22.222×30×6666.7＋99999×22.222可以变成22.222×（30×6666.7＋99999）。
　　这叫什么？
　　结合律。
　　好，我继续算下去：
　　＝22.222×（200001＋99999）
　　＝22.222×300000
　　＝6666600
　　其实，我们的算法是一样的。
　　是的。不过，我没有像你那样借来借去，这就少了一点出差错的可能。

　　小结：虽然儿子过不了一个月就上初中了，但是，从上面的表现看，他并没有完全掌握乘法的概念。虽然他能够熟练地做乘法练习，但到关键的时候还是暴露出了大量的机械练习损害了孩子对乘法概念及运算规则的理解。过快、过分地追求计算熟练，弊害实在太大。
　　有多少人看到了这种弊害？
　　又有多少人在乎这种弊害？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-11 14:25 编辑 ].

引用:

原帖由 爱清清 于 2011-8-9 11:59 发表

精彩！感动！受教了！！
碰到一位好老师真是一生的幸福啊！

　　是的，遇到好老师是孩子的幸运。
　　好老师的一种为师策略就是偷懒——少布置作业，因而可以少批改作业。
　　为了偷这种懒，好老师就会有另外一些为师策略，例如：精选习题、考题，确保学生理解、掌握并且能够举一反三，闻一知十。这样，他指导学生做1道题，胜过表面非常努力和尽职、实际却是在蛮干的老师布置学生做100道题。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2011-8-9 12:07 发表
>666.66×6666.7＋99999×22.222

这种题目就应该丢到垃圾桶里去

　　呵呵，比这更加无聊的题多的是。阳阳读二年级了吧？这一年你应该见识过了。
　　一个人反对和抵制，意义和作用趋近于0；无数个亿万分之一相加，趋近于无穷大。改变现状，不能只寄希望于体制的革新，也需要公民的联合行动。一起来声讨、检讨、抵制这种为应试（快速准确熟练）而做题的作业策略吧！.

引用:

原帖由 政儿妈 于 2011-8-9 13:35 发表
学习了 解题思路很重要

确切地说，理解比熟练地套用公式、口诀解题更重要。.

引用:

原帖由 Tiger999 于 2011-8-11 11:52 发表
内容很好，学习了；

可是标题“从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练）。。。。。。”，比较讨厌，有标题党的嫌疑，楼主是否能改成“从来不相信题海战术、机械训练。。。。”

这么有内容的帖子，本来就没必 ...

　　谢谢你提醒和建议！
　　但是如果你看了小学版“从来不相信刻苦学习（题海战术、机械训练），畅谈亲子数学，兼谈数学的乐趣”（http://ww123.net/baby/thread-4564875-1-1.html），就不会误解我这是哗众取宠“标题党”了。
　　007不反对努力学习，相反，我非常赞同努力学习。持续的、长久的努力学习，才能取得优异的学业成就。但是，持续的、长久的努力学习，建立在对学习有浓厚兴趣的基础之上。正常的人可以忍受厌恶的情绪，一时地“刻苦学习”某种枯燥乏味的知识或技能，但不可能持续地长时地坚持学习、取得如意的成就。出于某种外部压力持续而长久地“刻苦学习”，最终的结果必然是厌学，甚至厌世，陷于万劫不复的绝境！
　　数学之中有无以伦比的理智美，它可以满足人的理性、审美需求。引导孩子不断感受其中的理性力量以及令人叹为观止的纯粹美，他们就会发现数学好玩，数学有趣！有这种感受的孩子才能持续地、长久地努力学习数学、钻研数学，并从中感受自己的理性力量。觉得数学有趣、好玩的孩子会努力学习，但不会觉得这种学习是一种“苦难”，一种“折磨”，或者是一种“苦”。对他们来说，“努力学习”就是“快乐学习”，学这么有趣的数学何“苦”之有？何谈“刻苦学习”？
　　在小学版，“我不知道”亲子数学社反复讨论这个问题。我们发现，对于那些经常感受到数学学习乐趣的人，我们观点虽然在理，但根本不用多说；对于那些相信刻苦学习的人来说，无论我们怎么证明，怎么“引诱”，他们都不会相信我们。他们苦难的学习经历，使得他们不相信学习居然会是一件快乐的事。在他们眼里，学习就是一件很辛苦的事，不刻苦学习，怎么可能会有好成绩？
　　说到底，“刻苦学习派”跟“快乐学习派”是水火不相容的。“刻苦学习”跟“题海训练”互为因果，一个人如果认同“刻苦学习”，是很难拒绝、抵制“题海战略”和“机械训练”的。.

　　照现在数学教材的安排，小学生到五年级开始正式学习代数以及以此为基础的简易方程。在这之前，孩子学的都是算术。老师会布置大量有相当难度的应用题，逼孩子想破脑袋，想出种种“巧妙的”算术解法。这种反复的训练使孩子逐渐形成了一种固化的思维定势和习惯——对算术解法情有独钟。影响所及，到了五年级，他们很难接受代数的思维方式——他们无法理解在运算中居然可以用一个代号去代表某个未知的数据，无法忍受一个算式中居然会有不知道是多少的代号。换句话说，小学一至四年级过度的算术训练妨碍了后来的代数学习。
　　即使到五年级最终学会了如何解简易方程，孩子们也不愿意用代数方程的方法去解题。他们还是沿用习惯了、固化了的思维方式，设法用算术方法解决老师出的数学难题。许多时候，他们能够成功。这种成功，又强化他们原来的数学思维习惯。加上代数方法是要解方程的，而解方程需要写更多的步骤，写更多的字，许多孩子也会从这个角度找到坚持算术方法而不用代数方法的借口。
　　我的孩子在五年级时，班级就有这样一种舆论：代数的方法是白痴的方法，谁都想得出来！算术方法是巧妙的方法，能够用算术方法解题才是聪明的表现。因此，只要有可能，他们就会去寻找算术方法解题。逼得老师不得不在作业和测验中强行规定，必须列方程解题。007也不断利用一些难题，反复跟儿子讲道理，让儿子去体会：算术方法虽然看起来很聪明，但是你不能保证在有限的时间内想出这种“聪明的”解法。何况一些问题非常复杂，就算你有充裕的时间，也很难想出算术解法。代数方法就不一样，它是一种有保障的方法——它可以保证“白痴”都可以利用这种思路解决数学难题。这恰恰说明这是一种比算术解法更加聪明的思维方式！
　　儿子似乎听进去了，也时有感受。可是，一遇到新题，他又忍不住想用算术方法去解题。数学老师忍无可忍，甚至召见007，要求家长配合，帮助孩子扭转用算术方法解题的思维习惯。如此反反复复，整个小学五年级的就成了代数方法和算术方法之间竞争史、斗争史。这一年的竞争中，代数法偶然会赢，大多数情况下还是算术法占据优势……
　　回顾孩子五年学习小学数学的经历，过度的训练不但耗费子孩子们无数的、宝贵的童年时光，还使一个个充满灵气的孩子变得机械、思维僵化、保守、不愿意接受新生事物。得不偿失呀！
　　其中的教训有多少人体会到了？
　　其中的损失又有多少人在乎？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-11 14:30 编辑 ].

　　儿子今年秋天上初中。新学校布置了20页密密麻麻的暑假数学作业。这些作业跟小学作业比起来，数量差不多，却难得多。儿子在独立完成这些作业的过程中，他的数学思维慢慢地实现着从算术向代数的转型。
　　有一道应用题，是这样的：

　　一艘轮船从宜昌顺水航行到上海，静水航行的速度是每小时27千米，水流速度是3千米，48小时可以到达，此船从上海返回到宜昌需要多少小时？

　　儿子是这样解题的——

　　解：设此船从上海返回到宜昌需要x小时，根据题意得
　　　　（27－3）x＝（27＋3）×48
　　　　24x＝1440
　　　　x＝60
　　答：此船从上海返回到宜昌需要60小时。

　　看到儿子用方程解题，007感到很意外，调侃道：哎哟，这么简单的题，怎么用方程来解呀？你不是一直觉得用算术方法解题更聪明吗？这一题可以用算术方法解决吗？
　　当然可以——［（27＋3）×48］÷（27－3）＝30×48÷24＝30×2＝60
　　什么意思呀？［（27＋3）×48］÷（27－3），你凭什么列出这这么复杂的算式？
　　要知道回去需要多少时间，就必须知道回程有多长，还要知道回去的速度是多少。回去的时间＝回程÷回去的速度。回程速度就是静水航速减去水流的速度，也就是27－3；从上海回宜昌的航程等于从宜昌到上海的航程，也就是（27＋3）×48。所以，回去的时间是［（27＋3）×48］÷（27－3）。
　　思路很清楚嘛，也很对头。既然如此，你为什么还用方程解题呢？
　　哎，老爸，两种方法其实是一回事。
　　怎么会一回事？我没看出来。
　　你看，（27－3）x＝（27＋3）×48，这个等式两边除以（27－3），就可以得到x＝［（27＋3）×48］÷（27－3），这就是算术方法里的算式了！
　　原来如此！007心下甚喜——在孩子行将进入初中之时，他终于认可代数的思维了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-12 14:31 编辑 ].

引用:

原帖由 嫣然妈妈 于 2011-8-11 20:00 发表

哈哈，我们都踏上了初中的学习旅程！一路顺风！.

　　新学校布置的那些应用题确实有相当的难度，儿子要是用算术方法解题，实在是没有这个能耐。他是给逼得没有办法，只好使用方程解题的。就这么做着做着，他居然习惯了代数的思维方式。
　　有一天，儿子兴致勃勃地拿着暑假作业来显摆：老爸，今天有一道题，我设了x和y两个未知数，我做出来了。
　　真的吗，你会用二元方程解题了？什么题？

　　植树节班级共42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，求男生、女生各有多少人？

　　儿子这是样解题的——

　　解：设男生有x个人，女生有y个人，根据题意得：
　　　　x＋y＝42   ……①
　　　　3x－2y＝56 ……②
　　　　根据②得，3x＝56＋2y
　　　　x＝（56＋2y）÷3 ……③
　　　　把③代入①得，（56＋2y）÷3＋y＝42 ……④
　　　　④×3得，（56＋2y）＋3y＝126
　　　　5y＋56＝126
　　　　5y＝70
　　　　y＝14
　　　　x＝（56＋2×14）÷3＝28
　　答：男生、女生各有28和14人。

　　不错，不错！你这是第一次用方程组解题，是自己想出来的，很不简单，说明你肯动脑筋。你先根据②式求x,再把x代入①式，最后求出y，根据y求出x。因为①式比②式简单，你也可以先根据①式求x,再把x代入②式……也就是——

　　解：设男生有x个人，女生有y个人，根据题意得：
　　　　x＋y＝42   ……①
　　　　3x－2y＝56 ……②
　　　　根据①得，x＝42－y……③
　　　　把③代入②得，（42－y）×3－2y＝56
　　　　解方程得，y＝14
　　　　x＝42－14＝28

　　007提示：你看，x＝42－y。既然如此，你也可以不设两个未知数。
　　儿子兴奋道：我知道了，只设一个未知数，也可以解题！
　　怎么解？
　　这样解——

　　解：设男生有x个人，女生有42－x个人，根据题意得：
　　　　3x－2×（42－x）＝56
　　　　3x－2×42＋2x＝56
　　　　5x＝56＋84
　　　　x＝140÷5＝28
　　　　42－28＝14

　　到初中，老师会教你们，你现在这个叫一元一次方程，刚才你用的是二元一次方程组。现在，你比较一下，用一元一次方程和用二元一次方程组解题，那种方法更加简单？
　　当然是用一元一次方程。
　　为什么这么说？
　　很明显嘛，用一元一次方程解题，步骤更少。
　　也就是说，字也写得更加少，是不是？
　　是的。
　　可是，你有没有注意到？——如果你用一元一次方程解题，你在列方程时，脑子里必须想一下女生究竟有多少人。而当你用二元一次方程解题时，你根本不需要多费脑子。你只要根据你的假设和题目的意思，列出两个方程就行了，不会出差错……
　　可是，后面解方程的步骤很烦。
　　解题的步骤是多了一点，但是等你非常熟悉怎样解方程之后，你就可以省去解题的步骤，直接写结果：“解方程得x等于多少、y等于多少”。也很省事的！
　　真的可以省掉解题的过程？
　　当然可以！从思考负担上来说，这道题用二元一次方程组解题，比用一元一次方程解题更轻松。数学就是用来帮助你学会偷懒的，如果有一种办法更加轻松，更有保障，更合理，更有效，你就应该尽可能选用这种办法。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-14 16:50 编辑 ].

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-8-16 20:53 发表
找规律，在一些课外书里被分类到几何图形、排列组合。例如：

请大家数一数，下面的图形中有多少个三角形？
635863

受过课外培训的同学，多半已经把上述的公式记熟了吧？这太简单了：
1+2+3+4+5+6 = 21
没做 ...

这题有点意思，等11军训回来，俺们家也来研究研究，讨论讨论。.

引用:

原帖由 嫣然妈妈 于 2011-8-11 20:00 发表

请问：你家孩子在哪所初中？我们会是同学么？.

　　儿子终于做完了小升初的暑假作业。其中有一道应用题是这样的：

　　李老师从数学兴趣小组中调出1名女生到英语小组后，剩下的同学中男生人数是女生的6倍。如果不调出这名女生，而是调出2名男生，那么剩下的同学中男生人数是女生的4倍。问原来的数学兴趣小组有多少名同学？

　　解法一：极其变态的推算法

　　儿子曾经拿这道题来考他老爸。
　　这道题可用方程轻易解决，但是007深受小奥的毒害，偏偏想用算术方法解题。
　　007读完题的第一反应是：原来数学兴趣小组中，男生的人数一定是6的倍数，或者是4的倍数加上2。
　　我的第二反应是：女生的人数肯定不只1名，因为调出1名女生之后，小组中就没有女生，男生人数就不可能是女生的6倍。那么，究竟有多少女生呢？不知道！那就猜呗。
　　我猜原有2个女生，调出1名之后，还剩1名，根据题意男生就有6人。照这个数，如果调出2名男生，就剩下4人，是女生的2倍，不是女生的4倍。所以，本假设不成立。
　　那我就猜原有3名女生，调出1名之后，还剩2名，根据题意男生就有12人。照这个数，如果调出2名男生，就剩下10人，也不是女生的4倍（但是接近于4倍了）。所以，本假设也不成立。
　　我继续猜，原有4名女生，调出1名之后，还剩3名，根据题意男生就有18人。照这个数，如果调出2名男生，就剩下16人，正好是女生的4倍。所以，本假设成立，原来的数学兴趣小组有18＋4＝22人。
　　儿子说：答案是对的，可是你这种方法太繁，太落后！
　　什么落后？你怎敢说老子落后？难道你有更加先进的办法么？

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-18 13:46 编辑 ].

引用:

原帖由 嫣然妈妈 于 2011-8-18 14:20 发表
四升五，还没上初中呢！

看来，还是小学生的父母比较有学习的热情，愿意和孩子一起进步，愿意重温当年学习的内容与过程。.

　　接着说

　　解法二：稍有一点不同的推算

　　好吧。下面一种方法，也许没有那么繁琐——
　　当我想到原来数学兴趣小组中男生的人数一定是6的倍数或者是4的倍数加2时，我应该顺着这个思路想下去：这究竟是个什么数呢？哈哈，6、18、30……都满足“既是6的倍数又是4的倍数加2”这两个条件。
　　假定男生是6个人，那么调出1名女生之后剩下的女生就是1人，也就是说原来有2个女生。可是，调出2个男生之后，剩下的男生是4人，仅是剩下女生的2倍，而不是4倍。所以，这个假设不成立。
　　假定男生是18个人，那么调出1名女生之后剩下的女生就是3人，也就是说原来有4个女生。照此说来，如果调出2个男生，剩下的男生就是16人，正好是女生的4倍。所以，这个假设成立，原来的数学兴趣小组有18＋4＝22人。
　　我说出这种解法，儿子依然认为我的方法太落后。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-18 15:17 编辑 ].

　　儿子实在看不下去了，他亮出了他自己的解法：

　　解法三：一元一次方程解法

　　设男生有x人，则女生有（x－2）÷4人，根据题意得方程
　　（x－2）÷4－1＝x÷6
　　x÷4－2÷4－1＝x÷6
　　x÷4－0.5－1＝x÷6
　　x÷4－1.5＝x÷6
　　x÷4×6－1.5×6＝x
　　x÷4×6＝x＋9
　　x×0.25×6＝x＋9
　　1.5x＝x＋9
　　0.5x＝9
　　x＝18
　　（x－2）÷4＝（18－2）÷4＝16÷4＝4
　　18＋4＝22
　　答：原来的数学兴趣小组有22名同学。

　　阿油，看得我眼花缭乱！你说女生的人数是（x－2）÷4，这个我能够理解，因为这就是题目里第一个已知条件的意思。可是我看不懂（x－2）÷4减去１等于x÷6，你凭什么建立这个方程的呀？
　　儿子笑道：我是根据第一个已知条件得出的方程呀！
　　我表示还是不明白。
　　儿子耐心地解释：既然女生的人数是（x－2）÷4，那么，根据第一个已知条件（x－2）÷4－1就等于男生人数除以6。
　　007继续装傻：为什么等于男生人数除以6？条件中没有说呀！
　　儿子反问：剩下的男生人数是剩下的女生人数6倍，不就是表示“女生人数＝男生人数÷6”吗？
　　噢，我明白了。原来你一旦假定男生人数为x，根据已知条件就可以用两种方法表示女生的人数。然后，根据女生人数的等量关系建立方程。
　　是的，我的方程就是这个意思。
　　不对呀！根据第二个已知条件，女生人数是（x－2）÷4，根据第一个已知条件女生人数是x÷6＋1，根据女生人数的等量关系得出的方程应该是（x－2）÷4＝x÷6＋1，而你的方程却是（x－2）÷4－１＝x÷6。好像有点不一样。
　　儿子说：其实是一样的。

　　007说：好吧，就算是一样。可是我觉得你解方程可真够繁琐的。我真是佩服你，在解方程过程中居然想到了把x÷4×6变成x×0.25×6，你是怎么想到这一点的？
　　儿子得意地说：x除以4，就是x的4分之1，也就是x的0.25倍。
　　想到这一点蛮费脑子吧？
　　是的。
　　其实，你不一定要这么费脑子的。还有一种更加不容易出差错的解法。你看，我可以在（x－2）÷4－１＝x÷6这个等式两边各乘以6×4：

　　（x－2）÷4×4×6－1×6×4＝x÷6×6×4
　　（x－2）×6－24＝x×4
　　6x－12－24＝4x
　　6x－4x＝12＋24
　　2x＝36
　　x＝18
　　
　　这种解法跟你前面的解法比，有什么更有利的地方？
　　没有出现小数运算，不用去想x÷4＝x×0.25
　　是的。建立方程要动脑筋，解方程也要动脑筋。现在我们来看一看，你的这种解法比我上面的解法先进在哪里？
　　你是在猜，一个一个地猜。要是男生数不是18，而是666，你要猜很久才能找到答案。
　　还真是这样！你的方法就不同的，非常严谨，而且保证能够找到答案。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-19 08:13 编辑 ].

　　007告诉儿子，这道题还有别的解法。
　　于是我们父子俩开始竞赛，看谁想到更多的解法。
　　007立即就报出了一种——

　　解法四：一元一次方程解法2

　　设女生有y人，根据题意得方程：（y－1）×6＝4y＋2
　　解方程得：y＝4
　　（y－1）×6＝（4－1）×6＝18
　　18＋4＝22

　　儿子抗议：你的解法跟我的解法一样，你在剽窃我的思路！
　　你说得没有错，我在向你学习，我用了你的思路。但是，我设的是女生人数为y，我是根据男生人数的等量关系建立方程。你看，我建立的方程是不是跟你的不一样？
　　是不一样。
　　而且，我建立的方程解起来也没有你的繁。你看，这是为什么？
　　因为我的方程里有除号，你的方程里没有除号，你只要做乘法和加减法。
　　呵呵，我建立的方程让白痴级的同学都可能顺利解决。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-18 15:36 编辑 ].

　　解法五：二元一次方程解法

　　这道题还有更加“白痴”的解法吗？你前面不是告诉过有一道题可以用设两个未知数的方法去解决吗？这题能不能也这么来一下？
　　儿子马上兴奋起来了：我可以设男生有x人，女生有y人。
　　那么，根据题目中的第一组已知条件，你可以得出一个方程来吗？
　　儿子在小黑板上写出：x＝（y－1）×6
　　这是第一个方程。解二元一次方程，还需要一个方程，你能够根据已知条件得出另一个方程来吗？
　　儿子一边说一边写：根据第二组已知条件，可以得x－2＝4y
　　这两个方程就构成了一个方程组，你能根据这个方程组解出x和y来么？
　　我把第一个方程代入第二个方程中，可以得（y－1）×6－2＝4y。
　　哈哈，有两个未知数的二元一次方程一下子就变成了只有一个未知数的一元一次方程！这个方程你会解么？
　　这个不难。
　　且慢，你需要去解它么？你看这个方程跟我们前面列的方程有什么关系？
　　儿子突然大声地叫了起来：老爸，这就是前面你那种解法里的方程嘛！
　　啊哈，被你看出来了。那好，请你比较一下这两种方法。
　　它们其实是一回事，没有什么好比的。
　　不对吧。请你回想一下，是这个二元一次方程组容易想出来，还是那个一元一次方程容易想出来？
　　嗯，两个差不多。
　　不对。你想一想，如果你分别把男女生人数设为x和y之后，你只要照着题目的意思就可以直截了当、毫不费力地得出两个方程。因为两组已知条件明示了两个等量关系。可是，你要是只设女生人数为y，你就得先想到利用男生人数的等量关系建立方程的思路，你才有可能会利用两组已知条件找到这个等量关系。而且，利用两组已经包含两个等量关系已知条件，去思考另外一个等量关系，很容易把脑子搞乱。这些都承认吧。
　　我可没有搞乱。
　　我承认你脑子清楚，但我们要考虑的是有没有这种可能——这种方法让你多用了脑子。多绕弯子，就多了出错的可能。
　　可是，这个二元一次方程组解起来比那个一元一次方程多了一步。
　　是的，你要多做一步，多写一些字，但你少费了一点脑子，少了一点出差错的可能。如果要你来选择的话，哪个更合算？
　　还是少出差错更合算。
　　数学就是在帮助你学会用最简捷有效的方法解决问题。哪种方法越简明，就越有保障。能够保证连白痴都会用的方法，才是真正聪明的方法！.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-8-18 16:31 发表
我们夸美人的身材好，都说一分不多，一分不少。数学之美也是如此，多一分嫌胖，少一分嫌瘦。
简单而且致命，这是数学所追求的。

数学就是个大美人。可惜，有许多人把她的面目弄得狰狞不堪。.

　　解法六：二元一次方程解法2

　　007对儿子说：我也可以用二元一次方程解答这道题。
　　好。但是，你不能像我这样设男生有z人，女生有y人。
　　哈哈，你难不倒我。我设数学兴趣小组原来共有z人，其中女生有y人，男生有z－y人，这种假设可以吧？
　　可以，那你的方程组呢？
　　根据第一组已知条件，男生人数等于女生人数减掉一个之后的6倍，因此，z－y＝（y—1）×6，我这个方程没有列错吧？
　　没错，第二个方程呢？
　　根据第二组已知条件，男生人数减掉2个之后就等于女生人数的4倍，因此，z－y－2＝4y，这个方程对不对？
　　对的。我们有了一个方程组。

　　现在我们来解这个方程组。你会解吗？
　　应该没有问题。
　　那你来试一试。
　　第一个方程可以变成z＝7y—6，第二个方程可以变成z＝5y＋2，所以，7y—6＝5y＋2，化简得2y＝8,所以，y＝4，z＝5y＋2＝5×4＋2＝22.

　　不错，不错！你已经能够比较灵活地使用代入法了。现在我给你看一种新的解方程组的方法。注意——我用第一个方程左边的式子减去第二个方程左边的式子，它们的差是多少？
　　嗯，等于2.
　　我用第一个方程右边的式子减去第二个方程右边的式子，它们的差又是多少？
　　（y—1）×6－4y＝2y－6，我知道了，2y－6＝2, 化简2y＝8,所以，y＝4……
　　是的，这是解方程组的另外一种方法。
　　这种方法很有意思。
　　虽然很有趣，有条件的时候可以用，但有的时候用不上。如果两式相加或相减不能消除一个未知数，就不能用。
　　是不是有很多解方程组的方法？
　　是的，以后你会学到的。

　　父子俩意犹未尽。007突然说：这个方程组还有一种解法。你刚才其实是先根据第一个方程算出z＝7y—6，然后把它代入到第二个方程式里。我也可以根据第一个方程算出y＝（z＋6）÷7，然后把它代入到第二个方程式里，得z－（z＋6）÷7－2＝4×（z＋6）÷7，你来解这个方程吧。
　　又有讨厌的除法，烦死人，我不想算，行不行？
　　我们一起来算算看，说不定有新的发现。你先说。
　　这个式子可以变成z－2＝4×（z＋6）÷7＋（z＋6）÷7
　　也就是z－2＝5×（z＋6）÷7，两边乘以7……
　　就变成了7×（z－2）＝5×（z＋6）
　　乘进去就是，7z-14＝5z＋30
　　两边加14得：7z-＝5z＋44
　　两边再减5z得：2z＝44
　　两边除以2得：z＝22。哈哈，我知道了，我们可以不用去算y了！
　　为什么？方程组还没有解完，y还没有算出来呢！
　　老爸，你看看题目。它只问我们数学兴趣小组原来总共有多少人。我们求出了z就够了，不用去求y了。
　　原来是这样。看来，这种看似复杂的解法也有可取之处。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-21 14:02 编辑 ].

　　解法七：二元一次方程解法3

　　还有其它解法吗？
　　007对一题多解着了迷，这种情绪也感染了儿子。他开始学他老爸的样，居然以其人之道还治其人之身，也无耻地抄袭他爸的解题思路来：我也可以设数学兴趣小组原来共有z人，其中男生有x人，女生有z－x人。
　　可以呀，照这种假设，你的方程组呢？

　　x＝（z－x－1）×6
　　x－2＝（z－x）×4

　　好，你准备怎么解这个方程组。
　　我不想解了。
　　你说，我来写。
　　第一个方程可以变为x＝6z－6x－6，再变为7x＝6z－6，x＝（6z－6）÷7
　　第二个方程可以变为x－2＝4z－4x，再变为5x＝4z＋2，x＝（4z＋2）÷5
　　所以，（6z－6）÷7＝（4z＋2）÷5
　　两边乘以7×5得：（6z－6）×5＝（4z＋2）×7
　　展开方程得：30z－30＝28z＋14
　　化简得：2z＝44
　　所以，z＝22

　　好，殊途同归！我们用三个不同的方程组得到了同样的结论。这三个方程组是不一样的，是不是？
　　是的。
　　让你印象最深的是哪一点？
　　第一个方程组先要算出男生和女生人数，再算总人数。第二、第三个方程组直接就算出了总人数。
　　这跟我们建立方程组的前提假设有关。我们用二元一次方程组解决问题，第一种办法把男生人数和女生人数设定为未知数，利用方程组求出了这两个数，还得把它们相加才能得到最终的答案。后两种方法却直接把总人数作为一个未知数来建立方程，所以我们可能直接求得题目的答案。
　　那我以后就用后边这两种方法。
　　如果有可能，当然是问什么就设什么为x，这是最直接省事的方法。不过，有的时候，太直接，会增加你建立方程的难度。等你以后见多了，对这一点就会有体会。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-21 14:05 编辑 ].

引用:

原帖由 jeff的妈 于 2011-8-19 13:49 发表

木有看懂。.

　　前面你曾经设男生人数为x，用一个一元一次方程解题；我也曾经设女生人数为y，用一个一元一次方程解题；现在，我们能不能设总人数为z，也用一个一元一次方程解题？
　　好像可以耶！
　　007和儿子分头去想办法。
　　两个差不多是同时想出来的。

　　解法八：一元一次方程解法3

　　儿子先说他的解法——

　　设数学兴趣小组原来有z人，根据题意得方程：（z－1）÷(6＋1)＋1＝（z－2）÷(4＋1)
　　等号两边各乘以7×5得：（z－1）×5＋7×5＝（z－2）×7
　　展开方程得：5z－5＋35＝7z－14
　　化简得：2z＝44
　　所以，z＝22

　　007一看，儿子列的方程跟自己的不一样，但答案正确，感到非常惊讶。赶紧请教：你这个方程，我没有看明白。
　　儿子解释道：题目说，调出一名女生后，剩下的人中男生人数就是女生人的6倍，就表示剩下的人分成7分，6份是男生，1份是女生；剩下的人数除以7，就是剩下的女生人数，再加上调出去的那个，就是原来的女生人数。
　　（z－2）÷(4＋1)大概也是这个意思吧？
　　是的。调出2名男生之后，剩下的男生就是女生的4倍，那就表示剩下的人分成5分，女生1份，男生4份；剩下的人数除以5，就是女生人数。
　　噢我明白了，你是利用女生人数的等量关系，来建立方程的。好像这个解法很省事。
　　是的。
　　但是，要想到这个等量关系并不容易。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-19 14:28 编辑 ].

　　解法九：一元一次方程解法4

　　轮到老子说，小子在一旁听着。

　　哼，题目问我什么，就假设什么。我也设数学兴趣小组原来有z人。
　　根据题意得方程：（z＋6）÷7＝（z－2）÷5
　　解方程得：z＝22

　　哈哈，现在轮到儿子一脸困惑了。
　　007开始讲故事了：李老师发现调出1名女生之后，男生正好是女生的6倍。她又把那个女生叫回数学兴趣小组，同时从英语学习小组调来6名男生充实数学学习小组，现在男生是女生的几倍？
　　还是6倍。
　　就像你刚才的说的那样，这就表示这个学习小组增加6名男生之后可以分成7份，女生1份，男生6份，是不是？
　　是的，所以（z＋6）÷7就是女生人数。
　　（z－2）÷5是什么意思，不用我说了吧？
　　不要，我刚才说过了。

　　你看，我列的方程跟你的不一样，但是我们的思路也不一样吗？
　　有点不一样。
　　我不同意。你利用了女生人数的等量关系建立方程，我呢？
　　你也是。
　　所以说，我们总体的解题思路是一样的。
　　但是你列的方程很变态。
　　这个我承认，你列的方程更加明白易懂。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-19 14:49 编辑 ].

还有其它解法么？
也许还有。
到儿子军训回来，咱们再研究。
有人说，从一滴水可以看见一个世界。
我要说，从一道题也可以看见一个世界，一个精妙绝伦的理性世界。.

　　解法十：一元一次方程解法5

　　儿子军训回来了，我们又捡起了前面的话题。在回顾的时候，我们发现，以前我们在建立方程的时候，比较多地利用了女生人数的等量关系，却很少利用男生人数的等量关系。
　　例如，前面说过，儿子曾经设男生有x人，根据题意得方程（x－2）÷4－1＝x÷6，这就是利用了女生人数的等量关系建立的一元方程。
　　007刁难儿子：就这样的前提假设，你能利用男生人数的等量关系建立一个方程么？
　　儿子想好一会儿，亮出了一个新的方程：

　　［（x÷6）＋1］×4＋2＝x

　　儿子解释说：这个方程的意思是，男生人数的六分之一，就是调出一个女生之后剩下的女生人数；加上1这个，就是原来的女生人数；女生的人数乘以4，就是调出2个男生后剩下的男生人数，加上这2个，就是男生原来的人数。
　　啊哟，真绕呀！不过，我能够理解。我们还发现，［（x÷6）＋1］×4＋2＝x这个利用男生人数等量关系建立的方程，经过番折腾之后，就会变成我们原来利用女生人数等量关系建立的方程（x－2）÷4－1＝x÷6。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:20 编辑 ].

　　解法十一：一元一次方程解法6

　　前面007曾经假设女生有y人，根据题意得方程（y－1）×6＝4y＋2。儿子发现这是一个利用男生人数等量关系建立的方程，他提出了一个利用女生人数等量关系建立的方程：

　　［（y－1）×6－2］÷4＝y

　　这个方程的意思是：女生调出1名之后的人数（y－1），乘以6，就是男生的人数；这些男生中调出2名之后，就是女生的4倍；这就意味着，剩下的男生人数［（y－1）×6－2］，除以4，就是女生的人数y。
　　哈哈，这个方程虽然很变态，但解释之后，并不难理解。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:20 编辑 ].

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-8-22 10:59 发表
昨天活动中，对分数加法的研究，也很不错，值得总结。有意思的是，当活动小组增加一个小四女生，带来了新的变化。作为一个小组，各种特性的成员在一起，会产生奇妙的综合作用。

TT很专注，也非常愿意发表自己的看法，但凡是老师都会喜欢这样的学生，教这样的学生如沐春风啊！
她参加我们亲子数学社，确实起到了非常多的积极作用。.

　　解法十二：一元一次方程解法7

　　小结一下：无论是设男生人数是x，还是设女生人数为y，我们都可以利用女生人数的等量关系建立方程，也可以利用女生人数的等量关系建立方程。
　　儿子问：设数学兴趣小组原有人数为z，也是这样吧？
　　007：应该也可以这样。我们看看前面列的方程，利用的是哪种等量关系？你列的方程是（z－1）÷(6＋1)＋1＝（z－2）÷(4＋1)，请问这个方程反映的是什么等量关系？
　　女生人数的等量关系。
　　我列的方程是（z＋6）÷（6＋1）＝（z－2）÷（4＋1），利用的又是哪种等量关系？
　　还是女生人数的等量关系。
　　看来，我们还可以利用男生人数的等量关系，建立新的方程。
　　儿子累了，不愿意想下去。007却极度兴奋，等不及儿子休息恢复，自己就干了起来。很快，我就找到了反映男生人数等量关系的一元方程：

　　（z－1）÷（6＋1）×6＝（z－2）÷（4＋1）×4＋2

　　什么意思呢？根据题目的第一组已知条件，总人数调出1名女生之后分成7分，其中七之一是女生，另外七分之六就是男生总人数啰！同理，根据第二组已知条件，总人数调出2名男生之后分成5分，其中五之一是女生，另外五分之四再加上调出那两名男生，就是男生的总人数啰！根据上述意思就可以建立一个反映男生人数等量关系的方程。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:30 编辑 ].

引用:

原帖由 ccpaging 于 2011-8-22 10:59 发表
昨天活动中，对分数加法的研究，也很不错，值得总结。有意思的是，当活动小组增加一个小四女生，带来了新的变化。作为一个小组，各种特性的成员在一起，会产生奇妙的综合作用。

　　昨天的活动密度有点大，数三角形、讨论分数加法之后，留给讨论方程的时间太少了。这个题目只有完整地、透彻地讨论之后，才能发挥出它的威力——可以这么说，弄通了这道题，搞定中学的一次方程问题就有了坚实的基础。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-22 11:29 编辑 ].

　　解法十三：一元一次方程解法8

　　昨天下午，“我不知道”亲子数学社搞活动，大家在有限的时间里讨论了007跟11折腾半个暑假的这道变态应用题。
　　007猜想小四生讨论这题太难，原本计划从算术解法导入我们的讨论。谁知道，人家不屑，听懂题之后立即提出用方程解题。原来，人家学过简易方程了。
　　007：那么好吧，就讨论方程的解法。题目是要我们求出数学兴趣小组原来的总人数，要是我们知道其中的女生人数，或者知道其中的男生人数，这个问题就很容易解决了。问题是：我们都不知道，怎么办？
　　 “设x。”同学们异口同声。
　　007：设哪个未知数为ｘ呢？
　　“女生人数。”又是异口同声。
　　007：为什么？为什么一定要设女生人数为ｘ？难道不可以设男生人数为x吗？
　　J同学：不行，男生人数比女生人数多。
　　TT同学：老师说，不要设大的数，要设小的数。这样子方便列方程式。
　　007：这是一般情况，但并不表示别的假设就一定不行。
　　Alex：干脆两个都设，女生为ｘ，男生为y，建立一个方程组。
　　11也起哄：还可以直接设数学兴趣小组原来的总人数为z呢！
　　CC：TT是女生，你就设女生人数为x；J同学，你是男生，你可以设男生人数为y。
　　J同学：不行，我要设女生人数。
　　007：好吧，你们爱设什么就设什么，关键是要列出正确的方程，列得越多越好。

　　过了一会儿，TT和J同学各自列出了同样一个方程式（为了跟前面统一，这里将他们方程中的ｘ都改成了y）：（y－1）×6＝4y＋2
　　有趣的是，TT还提出了一个新的方程：

　　（y－1）×6＋y＝（4y＋2）＋y

　　她妈妈声明：其实这个方程跟前面那个方程是一回事，不过是等式两边各加了一个y而已。
　　007不明白：既然如此，TT你怎么会想到第二个方程呢？
　　TT解释说：我的第一个方程表示女生人数的等量关系，第二个方程表示总人数的等量关系。
　　007和儿子都眼睛一亮——天哪，这个题目中还有一种等量关系，我们居然没有注意到！.

　　解法十四：一元一次方程解法9

　　儿子很快就列出一个以男生人数x为前提假设、反映总人数等量关系的方程：

　　x＋（x÷6＋1）＝x＋（x－2）÷4

　　这个好理解。第一种情况的男生与女生之和（总数），等于第二种情况的男生与女生之和（总数）。光从方程的角度看，儿子以前列出过一个反映女生人数等量关系的方程式x÷6＋1＝x－2）÷4，现在不过是在等式两边各加了一个x而已，但新方程反映的是总人数的等量关系。.

　　解法十五：一元一次方程解法10

　　007也受到启发，找到另一个以女生人数y为前提假设、反映总人数等量关系的方程：

　　（6＋1）y－6＝（4＋1）y＋2

　　呵呵，我承认，这个方程很变态！我来解释一下吧：
　　根据题目第一组已知条件，我们可以换一种思路来分析——如果李老师不调出1名女生到英语兴趣小组，反而从英语兴趣小组调6名男生到数学兴趣小组，那么，数学兴趣小组中的男生人数就正好是女生人数的6倍。换句话说，调整过的数学兴趣小组总人数是女生人数的6＋1倍，即（6＋1）y。因此，数学兴趣小组原有人数是（6＋1）y－6。
　　同理，根据第二组已知条件，调出2名男生之后，数学兴趣小组的总人数是女生人数的4＋1倍，即（4＋1）y。再加上调出的那2名男生，就是数学兴趣小组原来的总人数。
　　两种情况下，数学兴趣小组原有人数是不变的，是一样的，所以（6＋1）y－6＝（4＋1）y＋2。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2011-8-24 10:21 编辑 ].

　　解法十六：一元一次方程解法11

　　那么，假设总人数是z，能不能建立一个反映总人数等量关系的一元方程呢？
　　周日下午，亲子数社几乎所有的人都说不存在这种可能性。要是有的话，就是z＝z，等于没有列方程！
真是大家想象的那样么？007不信这个邪。晚上等孩子睡着了，007重捡这个折腾我们一个月的应用题。
　　哈哈，我找到了——

　　［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）＋2＝z

　　晕吧？老实说，我也有点头晕。不过，我这个方程的答案是对的，z＝22。想知道我列这个方程的依据和思路吗？
　　（z－1）表示调出一名女生后数学兴趣小组的人数；
　　（z－1）÷（6＋1）表示调出1名女生后数学兴趣小组剩下的女生人数；
　　（z－1）÷（6＋1）＋1当然就表示数学兴趣小组原有的女生人数；
　　［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）表示调出2名男生之后数学兴趣小组的人数；
　　［（z－1）÷（6＋1）＋1］×（4＋1）＋2当然是就数学兴趣小组原有的人数！

　　呵呵，007厉害吧！
　　且慢，别忙着佩服007！请看前面我们设总人数为z、利用女生人数等量关系建立的那个方程（z－1）÷(6＋1)＋1＝（z－2）÷(4＋1)，那个方程跟这个方程是不是很像呀？.

　　解法十七：一元一次方程解法12

　　前面还有一个方程：（z＋6）÷（6＋1）＝（z－2）÷（4＋1），这是一个反映女生人数等量关系的方程，稍加变化，就成这个样子

　　［（z＋6）÷（6＋1）］×（4＋1）＋2＝z

　　这就是一个反映总人数等量关系的一元方程，思路如上。
　　个人觉得，能够想出这样的方程的同学一定很变态！.

　　解法十八：一元一次方程解法13

　　根据第一组已知条件，少一个女生的话，男生就是剩下女生的6倍。这就意味着，多6个男生的话，男生也是原女生人数的6倍。前面的探讨经常利用这一点，化出了多个新方程。如果继续想下去的，说不定还有新的发现。
　　 例如，设男生人数为x，根据题意可以得出一个反映女生人数等量关系的新方程：

　　（x＋6）÷6＝（x－2）÷4.

引用:

原帖由 翰翰妈 于 2011-9-10 22:43 发表
请问亲子数学社在哪？

在这里，在网上，在旺网http://ww123.net/forumdisplay.ph ... eid=1112&extra=
在我家，在你家，在千家万户，凡是愿意和孩子一起探究数学，分享数学乐趣的人家，都有亲子数学社。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2012-9-8 08:36 发表
这几天碰到一道难题，Alex 总是半途而废，东试试西试试，无结果。等解出来（我引导了，干预了 ）才发现，其实并不如原来想象的难。但为什么平时就没有想到呢？从我观察的现象看：
1、主次不分，专注度不够。主课的 ...

　　中学数学很多地方不同于小学数学，对孩子的学习提出更高的要求，甚至是全新的要求。例如，中学的数学不但问题更复杂，解题过程也更复杂。要胜任中学数学的学习，就得有长时持续思考的习惯和能力。
　　聪明的小学生做数学题轻松得很，一看就懂，一做就成，久而久之就习惯了持续思维几分钟（顶多十分钟）的模式。如果遇到必须持续思考二三十分钟才能找到思路的难题（一旦中断又得从头再来），他们就难以胜任了。
　　小五生、预初得过这一关。
　　11还没有过好这一关。今天他跟我连续讨论几道难题。当我说我的思路时，往往我说到两三句话，他就打断我，接连质疑：为什么要这样？跟我要解决的问题有什么关系？……表面上看，他是没有耐心，急于看到解题的眉目；实际上，是因为他还没有习惯长时间的持续思考。他习惯的是，老爸说一句话，就让他找到了解题之道。中学数学里哪有这么便宜的事？.

　　儿子是2011年秋天上初中的。那时，他是十足的菜鸟，007自然也就成了菜爸，跟着菜鸟一起学飞。为啥说儿子是菜鸟呢？从一件事上说起吧：预初生入学才不到三个月，儿子的同学就在做类似下面难题了，差距太大，不得不承认自己的孩子是菜鸟。

　　某商场在迎奥运商品展销期间，将一批商品降价出售。如果每件降价10%出售，可盈利215元；如果每件打八折出售，则亏损125元。问此类商品每件的购入价是多少？

　　当时，菜爸就迷上了这道题，觉得其中有许多东西可以讨论。但是，菜爸忍住没跟菜鸟讨论。我要等一等，等到菜鸟翅膀再硬一些，等到学完成一次方程组之后。直到过了四个多月，某个周末，菜爸得知菜鸟开始进入六下第二章“一次方程（组）和一次不等式（组）”的复习，感觉跟他讨论上面那道“打折促销题”的时机到了！

[ 本帖最后由 hxy007 于 2013-6-7 17:12 编辑 ].

　　菜鸟读完题，脱口而出：要回答这类商品每件的购入价是多少，先得知道每件商品生产的成本是多少。
　　菜爸直冒冷汗：这里不需要知道商品生产的成本价，只要弄清楚每件商品的购入价就行了！
　　菜鸟不同意，反问：不知道成本价，怎么可能算出利润？
　　看着菜鸟纠结于“成本价”和“购入价”概念，菜爸才意识到菜鸟没有做生意的经验，不得不跟他谈起了生意经：店主通过买卖东西来赚钱。店主是怎么赚钱的呢？他花一定的价钱从生产厂家或批发商那里购入一批商品，再用更高的价钱出售商品，他从这个差价中赚钱。这个差价，这个利润，就是商品售价减去商品购入价的差。当然，这里指的是毛利润。因为，对于这个店主来说，他经销商品的成本不仅包括进货时花费的购入价，还包括店铺租金、水电费、雇工费、工商管理费还有各种税费。这道题讲的“盈利”指的是毛利润，不需要考虑进货之外的其它花费。所以，你硬要说这里有成本价的话，所谓的成本价就是购入价。
　　菜鸟总算明白过了来。菜爸继续解释：店主为了赚钱盈利，一定会给商品定一个高于购入价的售价。但是，有的时候为了加快资金的流动，或为了薄利多销赚更多的钱，店主会打折促销。这个打折促销，就是在原定售价的基础上降价销售。.

　　我们讨论的这道题，说的就是这种“打折促销”情况。
　　菜爸问儿子：你能用画图出这道题的意思来吗？
　　菜鸟读着题，陷入了沉思。菜爸见他无从下手，就在一张纸上画了一条长长的线段：假定这就是原定的售价，你能在这个线段上标出降价10%之后的价位在哪里吗？
　　菜鸟念念有词：降价10%，就是打九折，就是原价的90%。他把菜爸画的线段分成十份，很快就在线段上正确地标出了这个降价10%后的价位。接着，他又正确地标出了打八折（原价80%）的价位。
　　菜爸：好，请你再在这条线段上标出购入价的位置。
　　菜鸟又懵了。菜爸启发道：题目里交待“如果每件降价10%出售，可盈利215元”，那就表示用这个售价出售商品，店主还可以赚钱。对不对？
　　菜鸟：对的。
　　菜爸：既然如此，这个售价和购入价比，哪个更高？
　　菜鸟恍然大悟：售价更高，购入价小于原价的90%。还有，根据第二个已知条件，购入价大于原价的80%。
　　菜爸：很好！现在你可以在这条线段上标出购入价的大致位置来了吧？不一定要十分准确，表示出这个意思就可以了。
　　菜鸟理解了这种关系，很快就在原价80-90%的那个区间里标出了购入价的大致位置。菜爸建议他再把降价10%盈利数据和八折出售的亏损数据标出来。完成这道程序之后，这道“打折促销题”的题意就一目了然了！

.

　　根据上面的分析，尤其是从上图可以非常清楚地看出购入价跟售价的关系：购入价比八折售价多125元，比九折售价少215元！
　　所以，要算出购入价，关键在于弄清楚原定售价。怎么利用已知条件算出原定的售价呢？菜鸟又陷入了沉思……
　　最终还是上面那张示意图帮了忙。菜鸟发现，原价打九折（降价10%）跟原价打八折相差1折，相差215＋125＝340元。又因为原定售价一共有10折，所以，原定售价是340×10＝3400元。.

　　菜鸟一旦弄清楚原定售价，很快就用两种方法计算出了购入价：

　　（1）3400×90%－215＝2845（元）
　　（2）3400×80%＋125＝2845（元）

　　菜鸟一挥而就，写下答案，深深地叹了一口气。.

　　且慢！已知条件里既没有3400，也没有90%，怎么可以这么列算式？！
　　菜鸟说：90%是1－10%得来的。
　　菜爸：3400又是从哪里来的呢？
　　菜鸟：340乘以10。
　　菜爸：也可以说，3400是从340÷10%来的。问题是，这个340是从哪里来的？这个10%又是从哪里冒出来的？
　　菜鸟：这个10%是用（1－10%）—80%得来的。340是215与125相加的和。
　　菜爸：相加的说法虽然没有错，但更严谨的算式应该用减法。
　　菜鸟不明白，菜爸解释说：你学过正负数，应该知道盈利215元，可记为+215；亏损125元，记为－125。两者的差距应该用减法去计算，215－(－125)。
　　菜鸟：实际就是215＋125，一回事！
　　菜爸：结果一样，但意义不一样。前面的百分比用减法，它们差价也要用减法，这样才严谨。好了，利用已知条件建立的算式是什么样子呢？
　　菜鸟耐着性子写出了一个极其变态的算式：

　　｛［215－（－125）］÷［（1－10%）—80%］｝×（1－10%）－215＝2845（元）.

　　第二个算式也可以还原为：

　　｛［215－（－125）］÷［（1－10%）—80%］｝×80%＋125＝2845（元）

　　菜爸和菜鸟经过一番探索，自然地得到了上述两种算术解法。可是，菜鸟说，要是让他一个人想，是很难想出这么变态的算式来的。是的，看着这样的算式，真是令人望而生畏呀！要是哪个奥数变态狂用这种题目烤小五生，那可真要让人抓狂了。.

　　还有其它算术解法。例如，我们不妨把每一折都看成是由一个215和一个125构成——



　　购入价其实就是9个125和8个215构成，如此一来——

　　125×9＋215×8＝2845（元）

　　呵呵，巧妙是巧妙，强求小朋友想到这样的算式，那就太缺德，太恶心了！.

　　　既然一格（1折）是215＋125元，购入价值就是8格加125元——

　　（215＋125）×8＋125＝2845（元）.