代数法证明
假设一个长方形的长为2A，宽为2B，那么同周长的正方形的边长为 A + B。
长方形的面积为4AB，正方形的边长为A2 + 2AB + B2. A2为A的平方。

问题被简化成：
4AB ? A2 + 2AB + B2
即 A2 - 2AB + B2 ? 0
因为 (A - B)2 >= 0
所以 A2 + 2AB + B2 >= 4AB，当且仅当 A= B时，等号成立。

由此可证，当周长一致时，当周长一致时，正方形比长方形的面积大。

以上证明要求能正确计算(A - B)2 = A2 - 2AB + B2。

动态想象
让我们从一个正方形开始。
先把高变短，因为周长不变，所以宽变长，一直可以变到高为0，这时长方形的面积为0。
重新开始，先把宽变短，因为周长不变，所以高变长，一直可以变到宽为0，这时长方形的面积为0。
因此，从变化的情况上看，我们可以做出如下猜想：
在周长一致的情况下，正方形处于面积变化的最大值，宽变短，面积逐渐减少到0，高变短，面积逐渐减少为0。

不过，这只是一个猜想，不能算是证明。

几何证明
以代数计算方式而言，存在几何证明的可能，即可以把4AB，A2, 2AB, B2所代表的长方形或正方形画出来，用挖补、填充一类地方法予以证明。

本人尚在二年级，对三年级情况不甚了解，但内心比较置疑该题的合理性。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-9 22:52 编辑 ].

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 11:56 发表
对于三年级的孩子用实际数字来解释就比较易懂。假设正方形的边长为9cm，那么周长就是9x4=36cm.再假设长方形的长为10cm,宽为8cm,那么周长就是2x（10＋8）＝36cm.现在正方形和长方形的周长相等。而正方形的面积是9x9=8 ...

这个方法可以证明：“同样周长下，正方形面积比长方形面积小”这个论断是错误的。却无法证明“同样周长下，正方形面积比长方形面积大”是正确的。

不过，这可以作为引导出猜想的实例，仍然具有一定的价值。

如果楼主这道题没有“求证”的要求，只做判断的话，对三年级似乎就比较合适了。.

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 14:04 发表
不知为什么还是移位，不好意思希望大家谅解

编辑和显示的字体不同，不同机器上字体不一样，都会有位移。
妈妈太追求美观了。现在这样，也能看出来了。

复杂点，可以用word做表格，然后用ultrasnap一类的拷屏软件，把表格存为图像，再上传到帖子里边。

严格地说，妤儿妈妈的这种方法可以认为是这道题的由来，即我们可以通过实例观察出变化的规律，但这种规律只基于有限的实例，可以就此提出对规律的猜想，却不能作为证明。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 18:25 编辑 ].

以下连接讲到这个问题：
http://bbs.cersp.com/dispbbs.asp ... D=103181&page=1
潘晓明《长方形的周长和面积》教学实录与反思

以这个教学实录看是不要求证明的，只是找到这个规律，提出一个猜想。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 21:42 编辑 ].

引用:

原帖由 小烦人MM 于 2009-5-11 11:19 发表
周长一致时，圆的面积是最大的。
偏题了

不偏，一点都不偏。这才是最最要紧的。为什么在自然界里边我们大多看到的是圆和圆球，很少看到正方形长方形？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-11 11:44 编辑 ].