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[数学] 老封与大家讨论平面几何——与丘成桐零距离

三角形中的平方和关系

钱展望、朱华伟《奥林匹克数学训练题集 初二分册》中有一题:

“在凸四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC。求证:BD^2=AB^2+BC^2。”


它可推广为:

形式1:
设P是△ABC外一点,且∠BPC与∠A互余,则a^2• PA^2=b^2• PB^2+c^2• PC^2。

[ 本帖最后由 老封 于 2008-9-10 21:57 编辑 ].

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2008-9-10 21:55

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形式2:
作平行四边形ABDC,以D点为圆心,作一个与△ABC的外接圆正交的圆(即从D点向△ABC的外接圆作切线,并以切线长为半径作圆),则当动点P在该圆上运动时,始终成立PA^2=PB^2+PC^2。.

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2008-9-10 22:00

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如当∠A≥90°时,此圆退化消失;故这时对于平面上任一点P,总成立PB^2+PC^2≥PA^2。


更一般情况是:

“设D是△ABC的外接圆外的任意一点。联结AD交BC边于E,取D关于AD的第四调和点(即:使得A,E,K,D形成调和点列)。再以D点为圆心,作一个与△ABC正交的圆,则当动点P沿着该圆运动时,始终成立:

S△KBC• PA^2=S△KCA• PB^2+S△KAB• PC^2。”.

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2008-9-10 22:03

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这组结论的实质与“最小二乘法”原理相关:

对于平面上的动点P,为使至三个定点A、B、C距离的表达式μ1• PA^2+μ2• PB^2+μ3• PC^2取定值(其中μ1、μ2、μ3为三个固定系数),只需使得P点离开△ABC中重心坐标为μ1∶μ2∶μ3的D点距离保持不变即可。

如上述形式1,就是当K取类似重心而D取旁类似重心之情形,此时D的重心坐标为-a^2∶b^2∶c^2; 而形式2则是当D取旁重心之情形,其重心坐标为-1∶1∶1。.

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老封又要举办公开课了.
公开课时间:2009年3月13日(周五)18:00-20:00

公开课地点:黄河路355号1号楼7楼711室(近新闸路,地铁一号线新闸路站5号出口)

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详情请见
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好久冷落这条帖了!.

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