引用:
原帖由 ruter 于 2006-8-28 15:37 发表
将自然数1,2,3……15,这15个自然数任选两个相加,其和必在3~29之间;又在其中有4,9,16,25为完全平方数。分成两组数A和B,A或者B中,至少有一个不少于两个完全平方数。(简单明了)
ruter的答案是有问题的。
我们把题目修改一下:如果有1,2,3……14共14个自然数,可否将它们分成两组,使每一组的任意两数之和都非完全平方数呢?
按照ruter的解释,这14个自然数任选两个相加,其和必在3~27之间。又在其中有4,9,16,25为完全平方数,分成两组数A和B,A或者B中,至少有一个不少于两个完全平方数。这就意味着,问题的答案是否定的。
事实果真如此吗?
我们来给出一种可行的分组方法:(A)1,2,4,6,9,11,13;(B)3,5,7,8,10,12,14。
原来,修改以后的问题的答案居然是肯定的。
那么,ruter的答案有错在哪里呢?如果大家有兴趣,可以作进一步的探讨。
N年前,我曾以此为素材编过一道趣味数学题,发表在上海的一本科普杂志上,今抄录于此,博君一笑:
《数学家的锦囊妙计》
生物学家将n条鱼分别养在两只鱼缸里。他用1至n这n个连续自然数为它们编号,结果发现,在这些鱼中,所有编号之和为完全平方数的两条鱼恰好都是死对头(例如1号鱼和3号鱼,4号鱼和5号鱼)。如果结怨的两条鱼在同一只缸里狭路相逢,那么,它们之间将不可避免地爆发一场战争,以至于整个鱼缸都会被搅得天翻地覆。生物学家试图改变这一局面,但令他困惑的是,无论他如何调整这些鱼,总不能将有矛盾的鱼完全隔开。出于无奈,他只得跑到数学家那里去讨救兵。
数学家在听完生物学家的陈述后不禁哈哈大笑起来。“老朋友,”他说,“你的这个问题,从理论上讲是不可能解决的。但如果你舍得割爱,你只须将编号为n的那条鱼送给我,这样一来,你的问题马上就可以迎刃而解了。”数学家如此这般一番指点,直说得生物学家频频点头、连连称是。
我们不禁要问:生物学家共养了多少条鱼?数学家又是如何解决生物学家的难题的?
答案
为叙述方便计,我们姑且将两只鱼缸分别命名为A缸和B缸,并不妨设1号鱼在A缸。我们先对鱼的总数不作限制。由于1+3=4, 则为了使结怨的鱼不在同一只缸里相遇,3号鱼必须放在B缸;又由于3+13=16,则13号鱼必须放在A缸……依此类推,我们不难知道,12、4、5、11、14、2、7、9号鱼应分别放在B、A、B、A、B、A、B、A缸。此外,由于1号鱼在A缸,则8号鱼必须放在B缸;又由于3号鱼在B缸,则6、10号鱼必须放在A、B两缸。容易验证,如果我们将1、2、4、6、9、11、13号鱼放在A缸,将3、5、7、8、10、12、14号鱼放在B缸,则每一只缸里的任意两条鱼的编号之和都非完全平方数。这表明,当n=14时,生物学家完全有可能将结怨的鱼分在两只缸里。
由此不难得出结论:当n<14时,生物学家也总有办法将结怨的鱼分开(例如,当n=13时,他只需将刚才的分鱼方案中的14号鱼去掉就可以了)。然而,如果n=15,则麻烦的事情就来了。此时,倘若将15号鱼放在A缸,则因1+15=16,1号鱼和15号鱼就要打起来;而倘若将15号鱼放在B缸,则因10+15=25,10号鱼和15号鱼又要打起来。无疑,当n>15时,上述局面非但不能改观,反有愈演愈烈的趋势。
综上所述,生物学家一开始共养了15条鱼。在将15号鱼送给数学家后,所有的问题都解决了。.