0000.JPG (5.73 KB)

2009-8-16 21:34

.

最小值时，这三个根号里的东西应该相等。列几个方程算算就行了。
简单点的做法，第三个根号里面4y^2-16y+20=(2y-4)^2+4，和第一个根号里相等，得 3x=2y-4或者3x=-2y+4，代入上面某个方程。
最后再算算。

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-18 09:45 编辑 ].

最小值是2加2根号5.

用二次根号的性质，即X等于0，Y等于零时，代数式有最小值，就可以得到上述答案了。.

没看懂，x=0,y=0,当中一个是根号(-1)..

y是不能等于0的，否则，中间那个根式无意义
1、第一个根式中，当 X = 0 时，该根式值最小
2、将 X = 0 带入第二个根式，最小值为0，求得 Y = 1/2 或 Y = -1/2
3、当 Y = 1/2时，第三个根式无意义，所以 Y = -1/2
4、将 X = 0 和 Y = -1/2带入整个算式，即得算式的最小值

[ 本帖最后由 Calla 于 2009-8-18 10:27 编辑 ].

为什么 y 不能等于 1/2 ?.

最小值是5，原来在二楼解的有问题。
中间根式为0时最小，其中一组解是x=0.5,y=1.25时,原式=5
简单的证明方法没想出来

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-18 13:21 编辑 ].

我的思路是这样的:
(1) 先使第二根式为零得到: 3x - 2y = ±1
(2) 将 2y=3x±1 代入, 原式 = 根号((3x)^2 + 4) + 根号((3x±1-4)^2 + 4)
(3) 于是此题变成: 求X轴的一点(3x,0),使其到点A(0,2)以及点B(3,2)(或C(5,2))的距离之和最小
(4) 作A点关于X轴的对称点A'(0,-2), 显然直线A'B与X轴的交点 D(1.5,0) 即为所求
     此时, 3x=1.5, 故 x=0.5, y=1.25, Min(原式) = |A'B| = 5

不知对否, 望高手指点.

令a=3x, b=4-2y, 原式为sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1);
因为对称性，也因为前两式均为单调递增函数，可知a=b=1.5时，原式取最小值5。.

我没想通的是，为什么（1）是原式取最小值的条件之一。（2）、（3）和（4）极妙。.

这个么, 我也没想明白, 只是感觉应该如此, 所以正期待高手点拨呢,  没想到一下子就被格林爸爸慧眼识破    .

我也还没想通为什么(1)是最小值的条件，(2)(3)(4)我也象一叶轻舟画了类似的图，找了对称点。第二个根式不为0时，第一个和第三个可能还会有更小值。除非用高等数学的方法，对x,y分别偏微分。

还有个作图方法，就是先把原式变换一下，用x1代替原来的3x，用x2代替原来的2y，原题变成求根号(x1^2+4)+根号((x1-x2)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
第一个部分就是点(x1,0)到点(0,2)的距离，第三个部分就是点(x2,0)到点(4,2)的距离，而x1,x2都在x轴上，并且x2-x1>=1，然后找到中点(2,0)，左边x1是(1.5,0)，右边x2是(2.5,0)，这两点距离是1，接下来，就要证明左边的点或右边的点左右移动一个量，原式会比原来的大。不过我证来证去，初等数学方法证不出。

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-18 16:33 编辑 ].

这里书写错了很多，详见29楼

按照我上面的第二个作图法，可证明出，今天没时间了，简单说说。
只要证明取其它点都比这样取大就行了，这里x1=1.5,x2=2.5时最小
在(1.5,0)之间有个点，设为(x3,0)，则有根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)>=根号(x3^2+4)+((x2-x3)-1)+根号((x2-4)^2+4)=根号(x3^2+4)+(2.5-x3-1)+根号((x2-4)^2+4=根号(x3^2+4)+(1.5-x3)+根号((x2-4)^2+4
而根号(x3^2+4)+(1.5-x3)>=(1.5^2+4)+根号((2.5-1.5)^2-1)  三角形两边和大于第三边
这里关键用到根号(x^2-1)>=x-1，其中x>=1

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-19 10:43 编辑 ].

哎呀。。过誉。。。俺可是一双浊眼。。。大家群策群力吧！.

喔。。。这样子。。。俺还要想一想，有点绕。.

就担心发生上次的事情，大家围着一道题证来证去，好不容易弄出来了，不过繁得要命，然后猫老师轻摇羽扇，缓缓点出，只要逆向思维，证法简单明了。。。大家一起厥倒。。。.

不好意思，当中根号里的-1昨天没有看到。
应该x=0，y =1时，代数式有最小值，是2加2根号2.

抱歉根号打不出来.

利用的还是二次根式的性质.

加多人来解这道题目啊，俺不会解，就来嘎嘎闹猛的。.

再一次更正，本人比较粗心，应该是x=0，y=1/2时，有最小值，最小值是2+根号13

[ 本帖最后由 nanjing8732 于 2009-8-18 19:33 编辑 ].

2+根号13 > 5..

闹猛越轧越闹. 灵格!.

引用:

原帖由 greenjyz 于 2009-8-18 22:08 发表
闹猛越轧越闹. 灵格!

我也来看热闹。.

不行不行！猫老师不能袖手旁观冷眼看热闹！快快公布解题思路！.

为什么要小于5？.

我的思路是：
因为二次根式里的数都是大于等于0的，所以第一个根式里取x=0时最小，为2
把x=0带入第二个根式得根号4y平方-1，同理，y=正负1/2时有最小值，是0
把y=正负1/2带入第三个根式，得到最小值是根号13
所以整个代数式的最小值是2+根号13.

等标准答案。.

昨天时间太急，书写有些错误，今天稍详细点写写，作图参见13楼的第二种作图方法，作图思路是把二元变成一元
只是我做替换时现在先讨论x,y都大于零，其它情况讨论类似。
原根式现在变为根号(x1^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
第一个根式是点(x1,0)到点(0,2)的距离
第三个根式是点(x2,0)到点(4,2)的距离
第二个根式最重要的是 >= (x2-x1) -1  稍后证明要用到

(x2,0)和(x1,0)这两个点之间的距离必须大于1
只要证明取其它点都比这样取大就行了，这里x1=1.5,x2=2.5时最小

在(1.5,0)之间先取个点，设为(x3,0)，（另外，(2.5,4)之间的点方法和(1.5,0)的点证明方法相同），
现在需要证明
   根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
>=根号(x2^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)

证明如下：
根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
>=根号(x3^2+4)+((x2-x3)-1)+根号((x2-4)^2+4)   这里根号((x2-x3)^2-1)>=(x2-x3)-1
=根号(x3^2+4)+(2.5-x3-1)+根号((x2-4)^2+4)
=根号(x3^2+4)+(1.5-x3)+根号((x2-4)^2+4)
=根号(x3^2+4)+(x1-x3)+根号((x2-4)^2+4)

其中根号(x3^2+4)为(x3,0)到(0,2)的距离； 1.5-x3=x1-x3，即为(x1,0)和(x3,0)之间的距离;
而根号(x3^2+4)+(x1-x3)>=根号(x1^2+4) 即(x3,0)到(0,2)的距离加(x3,0)和(x1,0)的距离 大于 (x1,0)到(0,2)的距离 （ 三角形两边和大于第三边）
即 根号(x3^2+4)+(x1-x3)>=根号(x1^2+4)+0=根号(x1^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)

所以有
根号(x3^2+4)+根号((x2-x3)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)
>=根号(x2^2+4)+根号((x2-x1)^2-1)+根号((x2-4)^2+4)

在其它地方取点证明方法相同。所以x1=1.5,x2=2.5时最小，最小值是5

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-19 12:39 编辑 ].

不是说要小于5，而是楼上各位已经做出 5 是一个可能的最小值解了，所以你的解。。。.

很遗憾，这个思路。。。恐怕是不行的。.

有意思。。。我就在想猫老师是不是会有更简洁的精妙解法。。。.

摁下葫芦翘起瓢。.

我还想了个别的方法，比上面这个方法更加复杂，等猫老师的简单方法吧。.

不好意思瞎扎闹忙

[ 本帖最后由 幼稚的疯丫头 于 2009-8-19 12:09 编辑 ].

最后一个根号的值不可能为0的，是一个大于等于2的值.

第一个根号和最后一个根号值都是2.5，中间一个是0.

2+29的2次根.

引用:

原帖由 greenjyz 于 2009-8-18 16:03 发表
令a=3x, b=4-2y, 原式为sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1);
因为对称性，也因为前两式均为单调递增函数，可知a=b=1.5时，原式取最小值5。

顺着你这个思路继续证明，可证明的出。
为完成这个证明，先证明同底，登高的三角形中，等腰三角形的边长最小。（证明方法略）    （1）

原式=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1)      （2）
   >=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (4-(a+b)-1)
    =sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3-(a+b))               （3）
  这里先假设a>=0,b>=0, 4-(a+b)>=1即a+b<=3 ，可证明 sqrt( (a+b-4)^2-1)>= (4-(a+b)-1)
（a,b取其它符号时都可证明出结果比a,b同为正数时大）

接下来做个平面几何图，
做个三角形ABC，底边BC=3，高AD=2，BD=a,DC=b，则第一个根号就是（1）中AB的长度，第二个根号就是（1）中AC的长度，
前面（1）中说了同底等高的三角形中，等腰三角形的边长最小，也即a=1.5,b=1.5

接下来做个平面几何图，
做个三角形ABC，底边BC=3，高AD=2，BD=a,DC=b，则（2）中第一个根号就是AB的长度，（2）中第二个根号就是AC的长度，
前面（1）中说了同底等高的三角形中，等腰三角形的边长最小，也即a=1.5,b=1.5时，AB+AC最小，此时（2）中第3个根号为0
当a,b不等，a+b=3，三角形不等腰时，（2）中得到的值都比等腰时大

现在做个高为2的三角形A'BC，DC上取一点C'，可以证明的出A'B+AC'+C'C >= A'B+A'C >= AB+AC   （4）
  （4）的左边和（3）一样的，3-(a+b)就是C'C
从（3）继续证明下去
原式 >= sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3-(a+b))  
      >= sqrt(1.5^2+4) + sqrt(1.5^2+4) + (3-3)
       =5
最后还原x,y得，x=0.5,y=1.25时最小，最小值为5

其它情况，比如a>0,b>0, a+b-4>1时，结果必定比 a>0,b>0, 4-(a+b)>1要大
    而a,b异号和a<0,b<0时，从上面过程也能看出结果必定比a,b同号时大

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2009-8-20 11:22 编辑 ].

十分有意思啊！.

哈哈！猫老师正在一旁微笑不语。。。。。。.

不知道此题是否真有更好的解法。如无，对初二的孩子要求偏高了些。可能此题是填空题（不需要证明）。.

引用:

原帖由 greenjyz 于 2009-8-19 15:45 发表
不知道此题是否真有更好的解法。如无，对初二的孩子要求偏高了些。

同感!
直觉应有更合适的解法, 非常期待谜底揭晓......
不知这种多元的二次根式最值问题应如何切入,如何巧妙利用数形结合?

[ 本帖最后由 一叶轻舟 于 2009-8-19 16:07 编辑 ].

初二的孩子做这样的题真的不容易，弄得我又死了无数脑细胞，一起期待.........

猫老师隆重登场。。。！！！.

首先，这一定是一个数形结合的题目。
其次，数形结合，多半是用坐标系，多半和勾股定理有关。

首先，非常希望三个根号都是0。
其次，这是不可能的，第一个和第三个都不可能取到0的。.

啊呀，忘了解法了。
.

谢谢猫老师指点！看来解题思路就是这样子了，就看哪种结合的方法更巧妙了。.

弄是不是看到阿拉嘎闹猛，特开心了，一开心将解题思路也忘记特拉，个记人家要请我吃鸡蛋了。.

现在接着39楼完成其它情况的证明
1. a<0,b<0时，（2）中的第三部分就是sqrt((|a|+|b|+4)^2-1)=sqrt((|a|+|b|+5)(|a|+|b|+3))>=3
   而（2）的第一部分和第二部分都>=2, （2）>=2+2+3 >=7，肯定比找到的最小值5大了
2. a>0,b>0, a+b-4>1时，a+b>3，这时构造的三角形底 BC>3，
   要是以这个大于3的底构造高为2的等腰三角形，肯定比等于3的底构造的等腰三角形的AB+AC要大，显然结果大于5
3. a,b异号，不妨设a<0,b>0,（2）的第三部分=sqrt((-|a|+b-4)^2-1)
   当-|a|+b-4>0时，有-|a|+b-4>1, 得b-|a|>5,得b>5+|a|>5，因此，原式必定大于5
   当-|a|+b-4>0时，有4+|a|-b>1，得b<3+|a|由（2）继续推倒，
     原式=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + sqrt( (a+b-4)^2-1)     （2）
        >=sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + ((4+|a|-b)-1)
         =sqrt(a^2+4) + sqrt(b^2+4) + (3+|a|-b)              （5）
    此时再构造三角形ABC'，使高AD=2，BD=|a|, DC'=3,
    若此时C落在DC'的延长线上，则底已经大于3了，结果必定大于5
    若此时C落在DC'上，（5）的第三部分(3+|a|-b)就是CC'，AC+CC'>AC'
      （5）= AB+AC+CC'>= AB + AC'
       AB+AC'的底大于3，因此AB + AC'> 5 ，所以原式 >5.