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[求助] 奥数题,求解

奥数题,求解

这是小五班的两道题目,没弄懂,不会做。只好在这里求助,谢谢了先!
1、求证:对于任意的14个自然数,一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f使得(a-b)(c-d)(e-f)是1001的倍数.

2、求证:一定存在能被1999整除的形如111……11(n个自然数)的自然数。.

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代数........
做不来.............
做过........忘了.........

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回复 1#家长不易 的帖子

1. 1001=13×11×7
自然数除以13的余数一共有0-12,这13种。所以14个数里面必定有2个数除以13的余数相同。将它们中较大的记为a,较小的记为b,所以a-b是13的倍数。
这样14个数去掉2个还有12个数,同理,其中必有2个数除以11的余数相同,c-d是11的倍数。
剩余10个数,同理必有e-f是7的倍数。

[ 本帖最后由 Oriole 于 2009-4-25 13:49 编辑 ].

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题目嘎难啊,阿拉不会!搬只小凳子做好,等老师讲解!.

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回复 3#Oriole 的帖子

2
利用第1题的思路。我们可以构造,1,11,111,。。。。直到2000个1。
而这2000个数中必定有两个数除以1999的余数相同,那么这两个数的差一定能被1999整除,
这差为一串1111后面带一串零,那么这串1111必定被1999整除。而这串1111,就是符合题意要求的那个数。

[ 本帖最后由 Oriole 于 2009-4-25 15:51 编辑 ].

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第一题要有点抽屉的概念.

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回复 5#Oriole 的帖子

懂了。有劳你了,非常感谢!.

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回复 5#Oriole 的帖子

第二题有些迷糊,当时叫孩子问老师,但是胆小没敢问。
疑问是:一串1111后面带一串零,那么这串1111必定被1999整除 ???
貌似需要证明:1后面带一串零是不能被1999整除的,这样才能将这串零舍弃,得出这串11111能被1999 整除。
如果没有这个证明,那将题目中1999改成任何正整数都可以吗?那我去成偶数,比如4,6,8之类,明显就是一个不成立的命题。
还是请哪位高手或者猫老师亲自给咱讲讲?先谢谢了。.

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回复 8#ywdmhy 的帖子

俺来试试

1111...11110000...0000=1111...1111x10^k=1111...1111x(2x5)^k
1999分解质因数不存在2或者5
所以若1111...11110000...0000能被1999整除
则1111...1111必能被1999整除.

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看了这种题,进华小五的考试0分也能理解
还是不要奥了,晕死.

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回复 9#echooooo 的帖子

懂了,补充的很严密。谢谢!.

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