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[数学] 从来不相信刻苦学习(题海战术、机械训练),畅谈亲子数学,兼谈数学的乐趣

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代数的“发明”(续)

  儿子会用代数解题了,非常得意。第二天五一节,闲来无事,他就拿出这道题来考他那“数学白痴”妈妈。他生怕“数学白痴”不懂题意,在黑板上给画了出来,并加以详细讲解。
  他妈妈对着黑板想了一会儿,立即列出算式:

  15×5÷3=25(个)


  儿子一看,答案对了。可是,不明白为什么。
  他妈妈解释说:剩下2箱,就表示拿走了3箱;总共拿走了15×5个球,算下来一箱是25个球。
  儿子懂了,立即冲到007面前说:妈妈想出了更简单的办法!
  他想把写在周末卷上的解法擦掉,写上这种更加简明的解法。007赶紧制止,并且建议:你可以把第二种解法也写上去。两种解法都写在上面,不是更有意思吗?
  不知道儿子会不会这么想——妈妈的算术解法显示代数解法很白痴!许多小奥人士不就是这么认为的吗?.

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代数启蒙

  上周某天早上吃早饭的当口,儿子神秘兮兮地说:有一道题很难的,我来考考你。有个数在10-38之间,38减这个数的差是这个数减10的差的3倍。这个数是多少?
  看着儿子得意洋洋的神情,老子就不装傻充愣了,立即报出思维过程和结果:(38-10)÷(3+1)+10=17.
  儿子甚感诧异:对的,老爸,你这么快就想出来了!
  老子也很惊讶:怎么,你也是这么想的?
  儿子说:不是,我是硬凑出来的。我想不出怎么列式,就问妈妈。妈妈开始也不会。后来,妈妈在洗澡的时候,像阿基米德那样大喊大叫“我想出来的,我想出来了!”
  父:原来是妈妈教你的。你懂了这个式子的意思吗?
  子:懂了。要画图,先把10-38画成一条线段,再把这条线段分成4份。后边三份是前边一份的3倍。一份是7,10+7=17。所以,答案是17.


  事后,儿子报告说:班上的同学多数都是硬凑出答案,老师说的解法则和儿子一样。SDJ同学最牛,他先假定那个数是x,然后列出方程来算。
  007来了兴致,连忙问儿子:你听得懂SDJ的解法吗?
  儿子表示没有听懂。于是,我们也来做了一个尝试性探索:设这个10-38之间的数为x,那么根据题目的意思可以列出一个什么样的式子来呢?
  儿子写成:(38-x)÷(x-10)=3.
  父问:这个式子表示什么意思呢?
  子答:就是题目上说的——28减这个数的差是这个数减10的差的3倍。
  父:既然你这么理解,式子也可以这么列:(x-10)×3=38-x,也就是3x-30=38-x,这里用了乘法分配律,你懂吗?
  子:是的。可是,我还是算不出x.
  父:不要急,我们慢慢来。你看,等号就像天平。如果在两边加上x,再加上30,上面的等式就变成了4x=68。现在请你来算一算x等于多少.
  子:x=68÷4=17.
  尽管理解,但儿子嫌这种代数方法太麻烦。看来,代数启蒙的任务还相当艰巨。.

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引用:
原帖由 hxy007 于 2010-5-20 12:45 发表 \"\"
儿子想了一想,坚持认为用ABC三个符号来表示更加清楚。007看他如此坚持,就没有多说。反正以后老师会教他的,俺不用急。 ...
Alex也是这样,要不不代数,代数起来总是很多。开始的时候我也不太习惯,现在慢慢想通了,原生态可能就是这样的吧,让他们自觉自悟吧。这样的原生态不如某些老师教出的公式简洁美观,但有自然天成之美。而自悟获得与学习公式获得,其中境界差之千里。

今日无事,重看此帖,回味无穷啊。记得hxy007不久前还为“代数”问题烦恼,不想离家数日,11竞已天成,可喜可贺。等待是一种美德,古人不欺我也。.

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工程问题:兼忆“牛顿问题”

  前天傍晚,儿子来到007身旁请教一道题:有一项工程,12个工人需要做35天才能完成,现在要求提前5天完成,需要增加多少个工人?

  (一)困境

  儿子说:我觉得这道题出错了。因为35除以12,除不尽。
  说的时候,他眼泪都快掉下来了。显然,儿子竭尽全力想解决问题,却没有找对路子。
  007问:你为什么要用12去除35?你想干什么呢?
  子:算每个人每天的做多少呀。
  父:我明白了,只要知道每人每天的工作量,就能算出提前5天需要增加多少工人。
  对呀,我就是这么想的。
  可是,你看看题目,里边讲“12个工人需要做35天才能完成”,35除以12,得出的是每人每天的工作量吗?
  嗯,不是。
  当然不是。靠这道题提供的数据,我们好像算不出每人每天的工作量。
  那怎么办?不知道每人每天的工作量,这道题就没有解了。

  (二)假设
  
  儿子的质疑让007想起了以前讨论过的牛顿难题。
  父:题目没有说每人每天的工作量,我们可以假设呀!
  子:怎么假设?我不明白。
  你还记得我们去年讨论过的那个牛吃草的问题吗?当时我们也不知道一头牛一天吃多少草,我们是怎么处理这个问题的?
  我们当时假定每头牛每天吃1筐草。
  对,或者假定每头牛每天吃1份草。
  老爸,我们这里也可以假定每个工人每天做1份事。
  应该可以吧。

  (三)画图作业

  007嘴上同意儿子的设想,心里边对怎么解决这个问题却没有底。边做边想吧。反正是和儿子一起探讨。
  父:知道了每人每天的工作量,就可以算出需要增加多少工人吗?
  子:嗯,还不能,我们还必须知道总共有多少工作量。用总工作量除以30,就知道总共需要多少工人;再用这个数减去12,就可以算出需要增加多少工人。
  父:你的思路很清晰。问题是,我们怎么知道总的工作量呢?
  儿子立即开始计算,007赶紧制止,建议他用图画出35天里每个工人的工作量。
  儿子用12根线段来表示,每根线段的1格表示一个工人一天的工作量。因为有35天,画起来很烦,儿子就用省略号表示。为了清晰起见,007现在用方格来表示。


  画面直观地显示了每个工人35天的工作量,实际也就显示了12个工人35天的工作量。儿子用12×35表示总工作量。

  (四)解法一

  父:换句话说,按照原计划,12个工人一天完成12份工作量,用了35天,总工作量是12×35。现在要提前5天完成,需要增加多少个工人呢?
  儿子照着他前面说过的思路——
  先求提前5天完成工程总共需要多少工人:(12×35)÷(35-5)
  后求在12人基础上还需要增加多少工人:(12×35)÷(35-5)-12=2(个)

  (五)解法二

  儿子非常满意,急于把探索的过程和结果写在作业纸上。
  007突然意识到解法不止一种:慢点,我们再看一看有没有别的解法。
  有吗?
  我也不知道,我们来看一看。提前5天完成,就表示原来那12个工人要少干5天,多出来的工作量就要请增加的工人来完成(见上图红色部分),对不对?
  是的。
  这部分工作量也必须要30天里完成,需要几个工作呢?
  那要看多出多少工作量。
  你算得出来吗?
  1个工人多出5份工作量,12个工人就多出5×12份工作量。
  那么,这些工作量在30天完成,需要几个工作来做?
  5×12÷30=2,哎呀,这个解法比前面的解法更简单。
  不管简单不简单,两种解法都写在作业上。第二种解法和第一种解法的结果一样,这等于是一种验证,是不是?
  是的,两种方法结果都一样,我们肯定不会错了。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-5-21 16:25 编辑 ].

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工程问题(续):分数解决方案

  上述工程问题看似简单,实际上孩子很难理解。难就难在题目里没有具体说工程的总量,也没有说一个人一天的工作量。以小四生已有数学经验,是想不到对工作量进行假设的。我家小子以前玩过牛顿问题,所形成的经验也没有迁移到这次的数学探究中来。只有经常接触这类题目的小学生,才有可能正确解题。

  在孩子们分数学得比较深之后,他们会有另外一种解决办法。
  (1)他们会把工程视为1,将其分成12×35份,每一份就代表每人每天的工作量,即总工作量的1/420。
  (2)工程提前5天结束,意味着这12人有5天的工作量(1/420×5×12)需要另外的工人来完成。
  (3)新增加的工人像原来的12名工人一样,每人在30天里要完成一定的工作量(1/420×30)。
  (4)因此,需要增加的工人数是:(1/420×5×12)÷(1/420×30)=2.

  这个分数解决方案跟上面的解法二其实是一个道理,但更加严谨,更易理解。但它需要分数方面的知识作为基础。我家小四生学过一点点分数(四上),但还不足于帮助他理解这个分数解决方案。
  总之,这道题对于小四生出得深了,也许到五年级或初中能够自如运用分数概念并且进行分数运算时,才是一道合适的题目。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2010-5-22 10:42 编辑 ].

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回复 3004#ccpaging 的帖子

  既然等待是一种美德,那我就等待吧。.

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看了大家的讨论,真觉得是我们耽误孩子了,我们从没有向你们这样用心过。大班中班时女儿也对图形啊表格啊,乘除感兴趣。我总觉得她还不用学,就没有引导过。现在一年级了,总觉得她的数学不够好。看了大家的讨论才知道,是她不喜欢计数,数学的感觉还不错。但现在有点不好的苗条,原来非常喜欢思考问题,现在明显已有“只是接受”的状态了。
危险!我要行动!
上了幼儿园,明显不如原来有灵性。
上了小学,明显不如幼儿园好奇心大。
现在的教育啊?.

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欢迎质疑和发表意见

引用:
原帖由 rosaqlf 于 2010-4-21 17:27 发表 \"\"
这么高的楼,初来乍到,
容我慢慢跟上脚步。
  欢迎爬楼!更期待你边看边议论,提供新鲜经验,或提出问题供大家讨论。.

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引用:
原帖由 河马的爸妈 于 2010-5-21 16:20 发表 \"\"
看了大家的讨论,真觉得是我们耽误孩子了,我们从没有向你们这样用心过。大班中班时女儿也对图形啊表格啊,乘除感兴趣。我总觉得她还不用学,就没有引导过。现在一年级了,总觉得她的数学不够好。看了大家的讨论才知 ...
  重视了,就不会耽误。才一年级,一切都还来得及。
  现在孩子学的数学名不副实,与其说是“数学”,不如说是十足的“算术”。你会四则运算不够,还要算得正确,算得快。几乎所有努力都放在算准算快上,这么训练下去,当然会让人变成“计算器”。可是,数学思维何在?数学探究的乐趣何在?因为这些不考,大家便不在乎。长此以往,损害是巨大的,也是无法挽回的。.

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最近一有空就看这个帖,因为此帖不仅在谈数学方面的问题,而是以数学问题为中心,泛起层层涟漪,扩散开来。
受益了总是要说声谢谢的。.

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引用:
原帖由 旮旯茸 于 2010-5-22 00:00 发表 \"\"
最近一有空就看这个帖,因为此帖不仅在谈数学方面的问题,而是以数学问题为中心,泛起层层涟漪,扩散开来。
受益了总是要说声谢谢的。
你这样说,对这个帖就是一个巨大的鼓励。
独白很难受的。
感谢你并向你的修养和礼貌致敬!.

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引用:
原帖由 hxy007 于 2010-5-21 11:09 发表 \"\"
  前天傍晚,儿子来到007身旁请教一道题:有一项工程,12个工人需要做35天才能完成,现在要求提前5天完成,需要增加多少个工人?

  (一)困境

  儿子说:我觉得这道题出错了。因为35除以12,除不尽。
...
这里假设增加工人数量可以加快进度。
这个假设并没有向学生交代。
其实在现实中也并不总是成立的。

假设一批茶叶用12列火车35天才能全部运到港口,就不一定能够通过增加火车来加快运输速度。
题目里的“工程”施工,往往要分好几道彼此配合的工序,也不见得是可以彼此替换的。

比较合理的是生产一批简单产品。.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2010-5-22 14:44 发表 \"\"

这里假设。
这个假设并没有向学生交代。
其实在现实中也并不总是成立的。

假设一批茶叶用12列火车35天才能全部运到港口,就不一定能够通过增加火车来加快运输速度。
题目里的“工程 ...
火车老师,久违了!你讲得对,题目里应该交待“增加工人数量可以加快进度”之类的前提。

你出的题可否改为:“一批茶叶,用一列有12节车箱的火车,运35趟才能全部运到港口。问:再加挂几节车箱就可以少运5趟?”.

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回复 3014#hxy007 的帖子

很好啊。改一改就是一道好题目。
我上题目了!说起来比“我上电视了”还要兴奋!.

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回复 3015#火车是运茶的 的帖子

说不定,今年的小学毕业考就用上你的题了。.

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献花给你及其他几位老师。.

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成立“JHH”公司

“我不知道数学社”因为各种原因错过了几次活动时间,今天终于有碰到了一起。
我问11、J同学、Alex:“如果将来成立一个公司的话,你们认为,谁担当哪种职务比较合适?”
11回答说:“总经理肯定是J同学,因为他比较聪明但是比较懒。”
hxy007附言道:“Alex比较适合做总工程师,他喜欢发明各种新奇的东西。”
我问:“那么销售总监谁来做呢?”
11说:“我来,我喜欢跟别人打交道。”

这个问题真的很有意思。同学们不像大人,对公司里边的各种职务没有薪水多少、权利大小的成见,更能根据各人的特点来分配职务。
“不过,我有一个问题,你们好像缺一个财务总监哦。”我问道。

这勾起了11和Alex的兴趣:“这个财务总监是干什么的啊?”

“算账啊!”

“哦?!”

“你们别小看算账哦。今天我们就要讨论一个算账的问题。在《天哪!数学原来可以这样学》里边有这样一个真实发生过的诈骗案。有个人(以下简称坏蛋)要买一个100日元的口香糖,付钱的时候,他掏出一张5000日元,当收银员把4900日元的零钱放在收银台上的时候,他就将其中的900日元和口香糖装入兜里,这时收银台上就只剩下4000日元。他手中的5000日元,再加上台上的4000日元,然后又掏出1000日元,正好是一万日元,于是他对收银员说:‘可以换张整的一万日元吗?’”

“然后呢?”11问。

“完了。现在你们是侦探,我已经把案情都告诉你们了,需要你们来分析案情。你们知道吗?在诈骗案中,金额是很重要的,直接影响到惩罚的大小。你们除了要确认这个案子有没有诈骗,还要精确计算出金额的大小!”

在一些奥数里边有类似的题,不过奥数老师只把这个看成是一个应用题,实在是浪费题材。这是一个简单的案例,通过对这个案例的分析,我们可以知道会计是如何产生的,它为什么重要,可以清楚地体会到或者总结出会计学原理中的诸多要素。不过,我和hxy007都不想像培养会计人员那样,长篇大论地讲会计要点和会计职能,我们想看看,JHH公司的高管们能否自己悟出这些知识?哦,忘了说了,JHH公司是以三位创始人--11同学、J同学、Alex同学的首字母命名的,我们可以称之为“Jump Hello Hello”公司,中文名为“吉哈哈”公司,因为三位高管都喜欢看“哈哈少儿频道”,哈哈!

11和Alex迅速地进入了状态,拿出了纸和笔开始计算起来。J同学,就是JHH公司的总经理姗姗来迟,一边询问公司近况,一边了解案情。

(未完待续)

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-5-23 23:25 编辑 ].

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引用:
原帖由 有你乐无穷 于 2008-9-22 12:48 发表 \"\"


我也不赞同这种说法。如果真是这样的话,那为什么现在有那么多钢琴考到八级,十级的孩子对钢琴恨之入骨呢?这么丰富的经验为什么反而扼杀了兴趣?而不练钢琴,不学乐器的也一样可以是音乐爱好者呀。
同意,很多时候逼的太急了。扼杀了小孩的兴趣。或者小孩根本就没兴趣,就是大人安排的。.

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小题大做之美

引用:
原帖由 happyyj 于 2010-4-2 14:42 发表 \"\"
小题大做之美

本来这个题目看似很小,但是就像一个金矿的入口一样,背后潜藏着一个巨大的金矿,你一旦把窗和门打开,在你面前就是一座宝藏。
在教学中有些内容,按照教学大纲的要求,可能只讲一节课,但我可以就 ...
下面是原例:
http://ww123.net/baby/viewthread ... %3D1%26cycleid%3D52.

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提一个问题

最近有一个问题。

我给我家胖妞买了金字塔玩具。我先拿过来过过瘾。等我玩到需要自己独立拼6块积木的时候,开始对自己没有把握。但是奇怪的是每次我忐忑不安地拿起第一块积木拼上去的时候,后面的总是能顺理成章地拼下去。也就是说,我总是不自觉地拿到合适的那一块积木。一开始我以为是我偶然拿到的,但是这种情况非常多,让我不得不相信我对拼积木是有一点感觉的。

我总能拿到正确的积木,一次性拼好,可是我在拿第一块积木的时候并没有一个清晰的思路,并没有想好后面应该怎么拼,对能不能拼出来完全没把握。也就是说我对没有把握的这件事总能做对,很奇怪吧?

怎样让这种感觉上升为清晰的思路?操练?我女儿如果遇到类似的情况,我应该怎么引导?.

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引用:
原帖由 水之形 于 2010-5-29 15:15 发表 \"\"
最近有一个问题。

我给我家胖妞买了金字塔玩具。我先拿过来过过瘾。等我玩到需要自己独立拼6块积木的时候,开始对自己没有把握。但是奇怪的是每次我忐忑不安地拿起第一块积木拼上去的时候,后面的总是能顺理成章地 ...
肯定的,你一定对积木有感觉的。因为你现在的思维层次远远超出胖妞。你知道经验主义,数理逻辑,概率,研究过代数几何、、、它们就是你思维的一部分,你甚至根本察觉不到它们的存在,这些东西无时不刻对你思维产生着影响。
我跟儿子原来经常一起玩拼图,陪着他玩,观察他。很多次失败以后,他领会到其中的窍门--金角银边草肚皮。其实细察下去,很多你学过的东西都在他心里萌芽,包括经验主义,数理逻辑,概率,代数几何、、、这些细胞都在他心里滋长,他察觉不到,我们也只能察觉到其中的一小部分。只要我们不把这些活动当成无用的,把它们看成是胖妞一件正儿八经的工作,陪着她,这是不是就足够了?我吃不准。我们记录研究,大概是可以的。引导的话,要小心。最近在看《爱弥儿》,受其影响太大了。.

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回复 3022#ccpaging 的帖子

到底是先天还是后学的东西在起作用,我不知道。说到拼图,胖妞在两周岁不到的时候,就显示了她的拼图天分(几乎跟她用自己发明的古怪音节数数是同一个时间段)。这不是练习或者分析、学习得来的。十六块的、二十四块的拼图,都是定购婴儿玩具的赠品,我们完全没教过,她上手就会。拼了还不过瘾,还自己主动把几幅拼图打乱了一起拼。而且小家伙不是按照一般的拼图规则来的。她不会先拼边框,而是从中间某一块开始。两周半的时候,自己开始摸索一幅拼图好几种拼法,有好几种不同的起始点。后来我火大了,恨她成天待在家里不出去玩,不理其他小朋友,完全没有交友欲望,于是给她买了难度很高的拼图慢慢打消她的兴致。所以我很好奇这些东西是怎么从大脑中生发出来的。

至于我自己拼积木,我拿第一块积木的时候,完全不知道自己拿得对不对,但是总是对。如果胖妞问我为什么选这个做第一块的时候,我大概只能回答她:蒙的。

但是这么回答我也不甘心,要说蒙,也不能绝大多数蒙对呀。我怎么能把我的“蒙”变成清晰的思路分析给她听呢?

[ 本帖最后由 水之形 于 2010-5-29 16:13 编辑 ].

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2010-5-28 15:42 发表 \"\"


下面是原例:
http://ww123.net/baby/viewthread ... %3D1%26cycleid%3D52
呵呵,最近在天上飘得久了,天上人间,如今从云端跌回地面,再度直面“可怕的数学”。。。。

我偷懒略掉的例子,您好心给出了链接,这下就完美无缺了!

可是您轻松写就的,对我却无异于学术论文,只能细嚼慢咽;一记消化不了的,还得收藏起来,少食多餐。
——知道为何会如此困难吗,那是因为我们都被007之类“数学骄子”贴上了“数学白痴”的标签,不信你去看,就在3002#楼,还在勤谨地帮我们贴呢!
那我们就只能成全他、我们也真的就成了!

我们感谢苍笛公子,他就是我们修成“白痴”正果的一“乃翁”——皮格马利翁。.

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引用:
原帖由 happyyj 于 2010-6-1 14:05 发表 \"\"
可是您轻松写就的,对我却无异于学术论文,只能细嚼慢咽;一记消化不了的,还得收藏起来,少食多餐。 ...
写起来不轻松的,注意看每个帖子的发帖时间和最后编辑时间。不仅仅“看”要少食多餐,建议“吃”的时候也要少食多餐。几乎每一个课题我们都玩过好几次。
如果大家觉得味道还行,回个贴,鼓励也行,批评也行,疑问也行。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-6-1 14:20 编辑 ].

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回复 3025#ccpaging 的帖子

原来是这样的。

有时候是太景仰了,反而不知如何回帖了。

我常想,无论有多希冀,繁华只是瞬间的,虚空才是无边的
某个深夜、某个时刻,当您孤独一人,停留在曾经喧哗的、如今寂静的楼里时,有没有过这样的体会。。。。

“繁华瞬间,虚空无边”,彼时,千言万语化作无语,千思万绪未语已哑;
不过,如果侥幸遇到知音,也许你们彼此能读透双方的不言之语。

这也正是我不太做LZ的原因之一,
我很清楚我的内在还没有那么充沛,还不能坦然面对孤单,不能欣然受持独白,所以选择在兴之所至时,为LZ们添砖加瓦反倒更随意自在一些。

但我衷心希望你们有着如如不动的内心,那喧哗、那热闹、那孤寂、那落寞,都不会左右您写帖、回帖的情致!
即使没有回帖,不等于没有在关注、不等于没有在欣赏。。。.

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知道了。现在比较犹豫,如果散在外面有关二三年级的帖子都收进来,可能会让这个高楼愈加令人生畏。不收进来呢,好多新的内容添加不进来,殊为可惜。.

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代数的“发明”之 Alex 篇

引用:
原帖由 hxy007 于 2010-5-20 12:45 发表 \"\"
有5箱球,各箱里的球数量都一样多。每箱取走15个球之后,刚好总共剩下2箱球。问:原来每箱有几个球? ...
对小三来说,这道题的数字大了点,可能妨碍同学们拓展思维想出别的办法。建议改成:
有5箱球,各箱里的球数量都一样多。每箱取走3个球之后,剩下的正好放满2箱。
问:原来每箱有几个球?
答案:5


比划应用题
这是一道难题,虽然只有三个数字,直接的乘除加减都很难得出正确的数字。难得有散步的机会,今天很幸运,终于有机会跟儿子一起散步了。散步前,Alex打印了难住11的三道世界级难题。我让Alex任选一道,他选了这道题。

散步途中,Alex问:我们从哪里开始呢?
父:从理解题目开始吧!

儿子开始用手比划了起来,这有5个箱子、、、最近我在检查作业时发现,儿子做应用题有重数字轻理解的倾向,经常能发现理解错误,这似乎是抽象到一定程度上的一种现象。但我知道数学是讲数形结合的,抽象要与具象结合起来会更有趣味,更有生命力。因此我跟儿子声明,不再检查他的应用题,我们换一种方式,检查的时候由他来比划应用题。用了一段时间,效果很不错,儿子慢慢养成了比划的习惯。


这时我打断了Alex的比划,对他说:你可以用五根手指来代替箱子。
儿子惊讶到:是啊,正好5根手指。(又比划了一会、、、拿走了3箱)爸爸,好像是45?
父:好吧,就算是45,我们来验算以下吧。
子:5x45等于多少?
父:225
子:5x15等于多少?
父:75
子:相差?
父:225-75=150
子:2箱是90,好像不对哦。
父:是啊,看起来你要另外想办法了。
子:难道是15?哦、、、不对
父:我们好像原来碰到过这种情况,我们不知道某个数具体是什么的时候?
子:嗯,好像可以用“代数”。

代数
我很惊讶,代数只讲过一两次而已,儿子怎么能想起来?事后儿子说,我们上次研究过的代数给数学老师看了,老师让他给全班同学讲了一遍,所以他记得很清楚。哦,原来是这样。感谢儿子的数学老师,给他这个机会。我知道,在现在的小学里边,这么一个小小的机会,做起来是很不容易的。

父:哦,那你准备怎么代数呢?
子:用 a 代表球数吧。
父:好。每箱里边有a个球。每箱拿走15个呢?
子:还剩 (a - 15)。
父:剩下的加起来还有?
子:5 x (a - 15)
父:正好等于?
子:2个箱子,就是2a。5x(a-15) = 2a
父:嗯,好像是这样。现在你能知道答案了吗?
子:晤、、、这个还不知道,有点麻烦,但应该能求出答案了。
父:想用你的天平法?
子:最近不怎么用天平法了。
父:晤,不过口算还是很难的,就到这吧,等回去你再用笔算。

天平法是Alex方程式启蒙时常用的方法。三年级以来,通过逆算法检查作业、研究巧算等,Alex已经很比较熟悉等式变换和结合律、交换律、分配率等,所以天平法已经逐渐被这些抽象的规律所替代,这是成长带来的好处。

这一段的可能算是比较好的“教”,先自夸一下。但肯定不是最好的“学”,问题不在儿子身上,而在于我自己“引导”的太多了。效率很高,但儿子对数学的自信没有增加,理解到代数的精髓也相当少。
根据“我不知道”数学社的经验,最能“学”好的方式是,几个年龄相当的孩子一起来进行这个过程。这样的话,BBMM不用像我这样急吼吼跳出来引导,而且大家很可能在代数之外会发现许多方法:
如果有同学用试算法,可以建议同学们列表格,并寻找规律。
如果有同学用分数也可以。5份中取走后,还剩下2/5,也就是说拿走了全部的3/5,即15个球。全部的球数是 15 x 5÷3,再除以5箱,每箱有5个球。
如果同学用分析法也可以解。5箱中取剩2箱,也就是说拿走了3箱,即3x5 个球,每箱就是5个球。


闲话牛顿
子:爸爸,你说说看,要是牛顿在我们小区,我是不是可以找他回答问题呢?
父:你怎么想起来问这个问题?
子:你不是说数学分析法就是牛顿他们发明的吗?
父:哦,是的,应该说是牛顿他们那几代人。(我想了想)牛顿很可能无法帮你解答问题!
子:为什么?
父:因为他有很多家庭作业,忙着做作业呢。
儿子笑了:我不是这个意思。我是说牛顿是大人,比你还大2岁?
父:我估计他还是不会回答你的问题!
子:为什么?
父:牛顿会这么对你说。“我不想详细解答这个问题,因为这样做剥夺了你探究的乐趣。而且我认为探究可以提高你的思维能力,这是数学之所以有用原因。另外,我相信,你通过思考一定可以解决你的问题。”
子:切,爸爸你骗人,你能背出英文的原文吗?

儿子这样问是原因的。有一次,他语文课堂练习中有爱因斯坦的名言,写错了一个量词,被老师打叉叉了。拿回家订正时我看到了。我对儿子说“这里老师改错了”。儿子很疑惑,“没改错啊,确实把量词写错了。”我对他说:“你知道爱因斯坦是用英文说这句话的,而英文中没有量词,所以这个量词一定是搞翻译的人加的。你这个不能算错。”儿子很敬佩地望着我:“爸爸,你太厉害了,这样也行啊。”我没想到的是,今天这成了一个疑问句,唉!

父:哈哈,你猜出来了。这确实不是牛顿说的,但是这三句话是另一个跟牛顿几乎同时代的人说的,他就是笛卡尔同学。等回家了,我翻给你看。

回家以后,我们俩认真阅读了笛卡尔的原话,然后,儿子到书房开始解方程了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-6-4 13:35 编辑 ].

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我比较落后,这个帖子到最近才发现,已经到61页了,我努力学习呀,呵呵,只是太吃力了,慢慢看哦.

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好玩又能让人学习长知识的帖子,留个记号,准备每天过来做二个题目!.

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《加州小学数学课本》(一年级——六年级).PDF

美国加州的《数学》教学
http://www.chnxp.com.cn/soft/down-3586.html.

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这车往哪边开?



这是美趣题专家米奇尔出的一道观察测试题,许多成年人觉得无从下手,而一些聪明的少年读者却轻而易举地解开了难题。

有人这么分析:
1、图看不太清,原图就是这样吗?
2、可能美国公共汽车有什么咱们不了解的奇特标志
3、我认为这是马路的一个截面的图,A、B是路旁的两个车站
4、由3,这辆公共汽车横在路中间,如果它没坏,它应该在掉头
5、由4,如果美国的公路是右行的,且这辆公共汽车不违反交通规则,那么它应该是在从A向B去的过程中

也有人这么分析:
看不出车的头尾...哪有什么喷气啊。
车门在背面,车头一定是进站后面向我们。
车窗应该看不出什么,保险杠应该是答案,可惜对车(尤其这美国车)不熟......

有人选A:
A 因为在我看来A站那个人的表情像是等车的样子 B站那个女的像是刚下车

有人选B:
我怎么看B区那位女士比较高兴,可能车子到了 全人认为是选 B

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-6-7 20:24 编辑 ].

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回复 3032#ccpaging 的帖子

B吧?等车的人都站到站台边上去了
A那边的人还是优哉游哉的.

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回复 3023#水之形 的帖子

这个先天后天,也让我很困惑

先天的东西大概总是有一点的,别的不说,就说小婴儿的脾气,十几天或者几个星期大的孩子都有不同的脾气的

我相信,如果具有某方面的天分,会有助于孩子快速入门
但是真正要有所成就,还要看后天的

关于你玩的拼图,我以前看到过一种说法:
所谓天才,就是可以跳过逻辑思维阶段而直接解决(令别人百思不得其解的)难题的人
这方面有一些心理学家在研究,就是judgment, insights那些东东吧.

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引用:
原帖由 水之形 于 2010-5-29 15:15 发表 \"\"
最近有一个问题。

怎样让这种感觉上升为清晰的思路?操练?我女儿如果遇到类似的情况,我应该怎么引导? ...
在跟儿子做学龄前的游戏时,我碰到过类似的情况,老实说我当时我没想明白,也不知道该如何引导,不得不说的时候,都是有一说一了。
看了你在hxy007阅读贴里边关于“谈谈幼儿的批判性阅读能力的培养”,我突然有了一点想法。
http://ww123.net/baby/viewthread ... ;page=12#pid6860464
无论是阅读、英语、数学,我们能对孩子最好的影响就是跟他们一起读,一起交流,共同分享。在此过程中,我们的想法就在不断地影响着孩子,算是一种“引导”吧。同时,充分尊重孩子自己的想法,平等地去交流。.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2010-6-7 12:52 发表 \"\"
B吧?等车的人都站到站台边上去了
A那边的人还是优哉游哉的
假设B是正确的,您能上车去验证一下吗?.

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回复 3036#ccpaging 的帖子

怎么验证呢?想象不出来.

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从你的视角上车

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-6-7 21:01 编辑 ].

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回复 3038#ccpaging 的帖子

你的意思是车门在另一边?.

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啊,车门不在咱的视野里边,你看到了吗?.

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2010-6-7 21:00 发表 \"\"
啊,车门不在咱的视野里边,你看到了吗?
小的们在看福尔摩斯,BB们也玩侦探推理了?.

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嗯,为了配合他们看福尔摩斯,我这准备了一些推理的数学题,暑期里边可以玩玩。
另外,还下载了一套6部NHK有关太平洋战争的记录片(日文配中文字幕),一部国家地理的瓜岛之战记录片(英文没字幕),准备大家一起看看,一起讨论、品评。
男孩们大了,自然需要看得多、看得远一些了。.

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回复 3042#ccpaging 的帖子

全是战争啊

PBS Nature 系列不错的
我已经下载了不少,需要的话可以约个时间.

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这学期以前看自然类的比较多。这学期开始听三国演义,看了《太平洋战争》,加上课文里边也有一些是关于战争的故事,所以对战争开始有了兴趣。
昨天儿子问我:“爸爸,为什么他们不把俘虏全部杀掉啊?”
这样的问题,只有当他们全面地了解战争才能形成自己对战争的理解。不想他们长大以后才突然发现他们对战争的想象是完全错误,战争不美。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-6-8 11:32 编辑 ].

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2010-6-1 16:16 发表 \"\"
知道了。现在比较犹豫,如果散在外面有关二三年级的帖子都收进来,可能会让这个高楼愈加令人生畏。不收进来呢,好多新的内容添加不进来,殊为可惜。
对于偶这等懒人来说,找帖子都嫌累的,能一门式、一站式服务当然最好。
有次懒到什么程度,当时在苍笛的亲子阅读楼里写了洋洋洒洒一堆废话,要发时,被旺爸的问题难住了,答了3遍还不对,一气之下,删干净帖子,直接下线歇着去了。
所以不管您是放在本楼,还是另起B座,还是希望能把散乱的珍珠系统地攒在一起。对许多家长都很有用,尤其对数学方面欠缺的,更是生动珍贵的好教材。

只是高楼一直下去,难免会有个心理疲劳的问题。
可以看出不少LZ很用心地经营一个长长的主题,不断更新新的内容进去,
然而由于人总是喜新厌旧,见到是老楼,哪怕LZ已特意写了几楼有更新,众生还是会意兴阑珊、不一定愿意再点进去看看的,到此时,还肯进老楼的,基本不是故雨旧朋、就是铁杆粉丝了,
这样许多有价值的、不错的新帖就生生被错过了,尤其对那些倾注了LZ心血和希冀的帖子,拿CC爸爸您的话说,真是殊为可惜!.

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支持下,不过,有时看一次时,题目太少,积累几天看又太多了,呵呵!3年纪的题目整理出来了吗?一会儿,你们都4年纪了,我们是紧跟着你们学习的..

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回复 3034#火车是运茶的 的帖子

是的,刚出生的孩子,哭相就各不相同。有的是嗲嗲地哼哼唧唧,有的是示威式的嚎,有的是时断时续、有的是见好就收,还有的是持久战。

另外,赞同你的另一半表述:天分如果放在不适合的环境中,会逐渐泯灭。.

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回复 3044#ccpaging 的帖子

蛮巧的,我日后也打算跟我的孩子细细探讨二战。.

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推荐暑期读物《世界上最脏的科学书》

作者简介
任淑英,她很喜欢小孩子明亮清澈的眼睛。她曾就读于高丽大学生物系,读研时学习微生物学。为了让孩子们能够容易地了解科学,她费尽了心思。著作有《人类100大科学事件》、《豆子,牛奶来了》、《Pucca挡不住的好奇心》等。

(哈哈,不可思议啊,这居然是女科学家写的。我买了一套,“我不知道”数学社的社员要过一个臭气熏天、妈妈不宜的暑期了,好期待哦!)



目录
从蟑螂到食物都是脏兮兮的
鸡皮疙瘩,古灵精怪!超强生命力之王、超强生存者之王蟑螂
摇摇晃晃,大摇大摆!紧紧黏在肠子里的寄生虫
痒痒!吸血又吃皮肤的螨虫
嗡嗡,吸吸!无论是什么血都超级喜欢的吸血鬼蚊子
打冷战,直哆嗦!危害人类的恶魔传染病
啊,呜哇!既邋遢、又危险、又痛苦的科学实验
呼哧呼哧,刷刷!引起腹泻的讨厌鬼大肠杆菌
吧唧,刷啊!吞噬屎尿的洗手间
嗡嗡,嚓嚓嚓!黏来黏去,擦来擦去,还会传播病菌的苍蝇
吱吱~嘭~呸!又恶心又恐怖的动物化学武器
黏黏糊糊,爬来爬去!沾在牙齿上的细菌牙菌斑
妈呀,恶心!又变态又让人作呕的治疗法
抓抓,痒痒!黏在皮肤上吸血的虱子
好恶心,好想吐!让人毛骨悚然的世界奇异美食
模模糊糊邋邋遢遢测验!测验!
从头到脚都是脏兮兮的
红红火火,争先恐后!像活火山一样长在脸上的痘痘
一阵一阵!让人无法言喻的痛苦痔疮
挖一挖,抠一抠!鼻子里的脏家伙鼻屎
擦擦,搓搓!永远洗擦不完的污垢
滴答,呸呸!从嘴里流出来的黏糊糊的液体口水
呜!哦~噢!在胃里引起的泛滥呕吐
痒~痒~,疯狂折磨脚的讨厌鬼脚癣
一块一块,好痒好痒!伤口上的硬瓶盖痂
喀啊~,呸!又浓又黄的痰
喷喷~,呼!汗臭、脚臭、口臭
黏黏糊糊,又稠又密!睡醒就会出现的黄黄的眼屎
啊噢!从嘴里放出来的气体饱嗝
痒痒,脆脆!耳朵里的黄色污垢耳屎
扑哧,扑哧!从双峰里放出来的臭臭的气体屁屁
我挠我挠,呼啦啦!从头发里掉落下来的白色粉末头皮屑
刷~啊!发出臊味儿的黄色液体尿
模模糊糊邋邋遢遢测验!测验!
脏脏的警报春、夏、秋、冬

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-6-8 21:35 编辑 ].

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回复 3021#水之形 的帖子

师太啊,为什么要去引导孩子?这个难道不是直觉的东西么?我观察弟弟玩拼图,第一次就直奔边角去了,大概觉得好搞定。等自己琢磨会了,就换个花样,把局部先拿出来拼好,陶醉一番,再总体组装。

想起来了,你的专业应该跟研究大脑有关系,所以想知其所以然吧。.

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回复 3050#不不园 的帖子

师太在考CC呢.

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