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[数学] 从来不相信刻苦学习(题海战术、机械训练),畅谈亲子数学,兼谈数学的乐趣

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-3-19 12:00 发表 \"\"
ccpaging是主力,我是帮衬的,因为孩子还太小,所以没有什么实际的辅导工作可以写出来的。

帖子里会有很多数学公式,用word编辑不容易吧?可否考虑LaTeX,但是这个东西不是所见即所得的。
哪里可以弄到这个LaTex?用起来复杂吗?.

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回复 1751#hxy007 的帖子

有一定的学习曲线。如需编辑数学公式则有一定的编程工作(很简单,而且这个我也可以效劳)。可以看CTEX:
http://www.ctex.org/HomePage

CTEX安装包没有我尝试过。我以前都是用英文版的TexLive发行包。.

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引用:
原帖由 hxy007 于 2009-3-19 12:48 发表 \"\"

哪里可以弄到这个LaTex?用起来复杂吗?
试试这个:
http://www.orsoon.com/Soft/4972.html.

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回复 1753#ccpaging 的帖子

嗯,这个应该比LaTeX容易上手。.

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  后面还会烦劳各位!恳请援手,一起把它编好。.

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找小朋友配插图?.

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  好主意。也想过,书里有些像毕达哥拉斯帮派那样的插图,会增色不少!.

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回复 1744#hxy007 的帖子

非常好,省的我贴啊贴,还要分年纪.呵呵,早点出来啊,我要免费的哦,还要有签名的,谁让咱们同船呢?哈哈,皮厚,皮厚,.

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回复 1757#hxy007 的帖子

有劳大师了.我的经验真的不足挂齿,就不献丑了..

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贴一个在别的帖子里的发言

引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-3-22 11:44 发表 \"\"
>通常的练习是我们反复练习熟悉的技能,最后把这项技能练的出神入化,最后能够使用这项技能把任务完成;
这是卖油翁的“手熟”

>而Deliberate practice更像是变态的练习,不仅擅长的要练,不擅长的更要练
这是神箭手的“百步穿杨”

大家别被中学语文教参误导了,以为只要像卖油翁那样练到手熟,便能练就百步穿杨的箭术。任何一门技艺或者专业,都是要克服一系列的门槛、障碍才能攀登上一定的高度的。勤学苦练而不得法,只能是原地踏步,也许能把脚下的土地踏一个大坑,可是无法前进。
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“=”号的秘密1 - 用天平解题

昨天 - 星期天,跟Alex和他的同学结结实实玩了一把数射线。在玩数射线的过程中,笨爸爸发现小二同学对“=”号的具象意义不是十分清楚,因此准备出几个专题,专门讲讲“=”号。

原题:
  ○+△+□=17 ……………①
  ○+△=10    ………………②
  △+□=12 …………………③

第一次秤量


拿走○+△,红色部分拿走

同学们看,剩下的是什么?
□ = 7

拿走△+□,红色的部分拿走

同学们看,剩下的是什么?
○ = 5

最后一个问题,△是多少?同学们能计算出来吗?

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-23 12:31 编辑 ].

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回复 1761#ccpaging 的帖子

好方法,晚上回来说给孩子听。.

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“=”号的秘密2 - 天平上的加加减减

先看看真真的天平
     

○/△/□是三包巧克力
小明今天过生日,妈妈买来了好多巧克力糖。小明吃不完,他把糖分成几包给好朋友们 - 小胖、小鱼、小林。
○是用的圆盒子;△,用的是三角形盒子;□,用的是方盒子。

放在天平上称,天平的左边是三包巧克力,右边是17颗巧克力。如下图:


用a/b/c给盒子编号
前面已经计算出:
○ = 5;△ = 5;□ = 7
为了方便计算,需要给三包糖编号,如果像往常那样用数字编号,容易混淆编号和包里巧克力的个数,所以我们换种方式,用a、b、c来编号吧。

也就是:
a = 5; b = 5; c = 7
a + b + c = 17

减法
如果我们从左边减掉编号为a的盒子,天平就失去平衡了,用数学式表示:
(a + b + c) - a < 17
如何能重新是天平恢复平衡呢?有一种办法就是从右边拿掉与 a 个数相等的巧克力,,用数学式表示:
(a + b + c) - a = 17 - 5
换一种角度去看,我们有过两个等式:
a + b + c = 17
a = 5
天平上操作的结果,就是两个等式的两边分别想减,这时,天平已然保持平衡:
(a + b + c) - a = 17 - 5
问同学们一个问题,下面这样可以吗?
(a + b + c) - 5 = 17 - a

加法
前面我们讲了两个等式可以加在一起,那么减法是不是也可以呢?


现在天平的右边只有编号为 c 的盒子,它里边装了7颗巧克力,所以,天平的右边也要放上7颗糖,天平才是平衡的。表示成数学式:
c = 7
前面已知,a 号盒子里边装了 5 颗巧克力,但 a 被放到天平的左边时,天平失去平衡:
c + a > 7
要使其恢复平衡,可以在天平的右边再加上 7 颗巧克力,也就是:
c + a = 7 + 5
c + a = 12
有个同学说,a 和 b装的巧克力是一样多的,那我们是不是可以右边加 b?
因为:
c = 7
a = b
所以:
c + a = 7 + b
您认为,这个同学的想法是对的吗?

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-27 00:22 编辑 ].

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“=”号的秘密3 -天平上的乘法

简单的乘法

每个 c 号盒子里边放了7颗巧克力:
c = 7
在左边的托盘里边放了3个 c 号盒子,增加原来的到3倍,要保持天平的平衡,右边的糖也要增加到3倍:
3 x c = 3 x 7

复杂的乘法

a+b+c = 17
现在左边的托盘放了2倍的 a + b + c,要保持天平的平衡,右边的糖也是原来的2倍:
3 x (a+b+c) = 3 x 17
而且:
3 x (a+b+c) = 3 x a + 3 x b + 3 x c

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-29 19:45 编辑 ].

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“=”号的秘密4 - 天平上的除法

乘法搞明白了,除法也就好办了,把乘法的结果倒推去就可以了。

3 x (a + b + c) = 51
把天平的2边都缩小3倍,得到:
a + b + c = 17

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-29 20:24 编辑 ].

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自制天平

材料
一根比较规则的木条,若干回形别针,棉线,厚薄适中的纸(特快专递纸袋)


小窍门
因为木条不是完全规整的,所以要用悬挂法找重心。
悬挂法:
先挂一条重垂线,把物体的一个边上的地方固定在线上,重垂线会在物体上做出一条线,把它画下来。
再换一个地方,重复上面的步骤,又画出一条线。两条线的交点就是物体的中心。


加工误差
由于加工误差,刚做好的天平总是不能达到平衡的状态。
这时,可以增减别针的数量,或者调整别针的位置,或者用橡皮泥,或者调整托盘的重量,来消除误差。

目的
自制天平的目的并不是一定要用来称,也许做好了却一次也没用过,这不紧要。重要的是,在制作过程中:
1、建立起等式的具体意义,使同学们一看到等式,就可以对具体的物的想象。
2、扩展出一些简单的手工制作知识。
3、把抽象的数学和有趣的手工结合起来,提高同学学习的兴趣。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-29 23:23 编辑 ].

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回复 1766#ccpaging 的帖子

一样的小二,等着取经。.

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引用:
原帖由 带走一片云彩 于 2009-3-23 09:41 发表 \"\"
一样的小二,等着取经。
没关系的,不一定要等后面的题目。

后面的题目所需要的体验,已经在“用天平解题”的过程中建立了。后面只是顺其自然地把这些体验提炼出来,特别予以研究,由此建立起对等号比较全面的认识。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-23 11:55 编辑 ].

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基本概念问题

引用:
原帖由 ccpaging 于 2009-3-22 16:31 发表 \"\"
昨天 - 星期天,跟Alex和他的同学结结实实玩了一把数射线。在玩数射线的过程中,笨爸爸发现小二同学对“=”号的具象意义不是十分清楚,因此准备出几个专题,专门讲讲“=”号。
  老兄,基础性工作呀!咱也为孩子到了小三对等号意义的理解大成问题而苦恼。这都是一年级学得太快练得太多而没有给予机会反复玩味体会留下的祸根。
  等号如此,加减乘除、差、和、因数、积、商、余数,何尝不是如此?面积公式、速度公式、立方体的平面展开又何尝不是如此?我经常用家乡俚语暗骂:学那么快做什么,赶着去进棺材呀?做那么多题干什么,想成“题匠”吗?
  留下的祸患,只好靠平时慢慢消解了。
  有人说hxy007不重视基本概念,那真是冤枉,俺可是极其重视孩子心理学意义上的数学基本概念。如果他不懂,我仅仅给他讲最标准的数学基本概念,又有什么用?咱们如此放慢步子,反复折腾,不就是想让孩子体会、掌握数学的基本概念、思维方式,热爱数学,主动探究数学么?

  最近实在忙,请老兄多多支持这个帖,帮老弟撑着它,也请各位社员热情参与。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-3-23 13:51 编辑 ].

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回复 1769#hxy007 的帖子

积极响应号召,不过我偷个懒,转帖点东西,顺便发挥一下:我觉得有时候人们谈论“数学基本概念”只是停留在字面上,没有深入007所说的“心理学意义上的数学基本概念”。
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在对费曼讲解什么时,费曼的父亲都要翻译一通,尽量让所讲的东西有点现实感。如在谈到高25英尺,头宽6英尺的霸王龙时,他父亲会翻译成:“假如它站在咱们院子里,它的头能够到咱二楼的窗户,可是,它钻不到屋里来,因为它的大脑袋比窗户还宽呢。”在父亲的教导下,费曼学会了不管读到什么,都尽力弄明白那是什么意思,实际上说的啥,有什么意义。费曼也学会了,什么是知道一件事情的名称,什么叫懂得那件事。从父亲那里他还明白了懂得事情比知道事情的名称要重要得多:一只鸟叫什么名字根本不重要,仔细看看那只鸟在做什么才是重要的。
或许在对照中,我们能更好地理解费曼在父亲的教诲中得到了多么重要的东西。多年后,费曼在巴西教学时,惊讶地发现,那里的学生不是通过理解事情来学习,而是把什么都死记硬背下来,对背下来的东西究竟是什么意思,他们一概不知。上课时,老师上面讲,学生下面记。没人把那些课本上的句子翻译成学生能够理解的东西。没有讨论,没有学生的提问。当然也没有真正的理解。一切只是为了应付考试。“我看不出他们怎么能这样学到任何东西。”“科学课程都有。但巴西没教什么科学!”“在巴西,这么多孩子在学物理,比美国孩子起步早得多。可在巴西找不到许多物理学家……这么多孩子,这么努力地学,却没什么收效。他们出力不少,人也聪明,但却使自己陷入了这么一种滑稽的精神状态,这种奇怪的,自体繁殖式的‘教育’,没意义,完全没意义!”“我可看不出任何人怎么可能从这种自体繁殖式的体制中受到教育,在这种体制中,大家考试过关,再去教别人考试过关,但没有人理解任何东西。”.

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数射线的奥秘

引用:
原帖由 hxy007 于 2009-3-23 11:38 发表 \"\"

  老兄,基础性工作呀!咱也为孩子到了小三对等号意义的理解大成问题而苦恼。这都是一年级学得太快练得太多而没有给予机会反复玩味体会留下的祸根。
  等号如此,加减乘除、差、和、因数、积、商、余数,何尝 ...
笨爸爸、聪明儿子、儿子的同学,一起玩数射线
1、三把尺的游戏,见1721#贴。
http://ww123.net/baby/viewthread ... ;extra=&page=35
2、三把尺的另类玩法
    凳子、我、儿子,分别代表百位数、十位数、个位数,我们在纸条上写一个三位数。同学问三个问题,拿纸和笔计算,猜出这个三位数。
    凳子、我、同学,分别代表百位数、十位数、个位数,儿子问问题、猜数。
    这轮游戏里边,儿子和同学在猜数过程中都遇到了如何记录的问题,经常会因为记录得不好,出现混乱。
3、轮到BBMM猜数,开始演示如何使用同学们熟悉的数射线来记录和计算。
    |<----------- 第一个问题 ----------->|
    |<---- 百 ---->|<-- 十 -->|<-- 个 -->|
    |<--  计算  -->|<---  第二个问题 -->|
    |<----- 第三个问题 ----->|<- 计算 ->|
                          |<- 计算 ->|
    注意在第一个问题的射线画出来以后,立刻标上百、十、个的标记。
    计算出的结果最好用不同的颜色笔写,或者作其他标记。
    画图时提醒同学注意数射线的几个基本要素,零点,方向,刻度,单位,性质(名称)。
    注意从线段的关系中寻求答案。如果同学仅仅是为了标数而画线段,要及时纠正。
4、在数射线上做题:
    a + b = 12
    a - b = 6
    |<----------------- a ----------------->|<-- b -->|
    在示意a和b的长度时,小朋友会遇到一个小小的麻烦,不知道应该把a标长,还是把b标长。这个问题可要仔细,不要马虎放过。
    示意顾名思义就是要“表示意思”,要画好示意图,首先要有“意思”,也就是说要做一些前期的简单分析。
    例如上面这个问题在示意图上就是比较重要的,我们可以带着这个问题重新审题。如此可以知道,a比b长,简单地估算还可以知道 a 长的比较多。
    |<--------- a - b ---------->|<-- b -->|
    在画(a-b)的过程中Alex遇到了很大的麻烦,他发现无论如何画不出来。
    一根小棒,长度是a的话,确实找不到 a - b在哪里。可是,如果我们削去长度为 b 的一截,剩下的不就是 a - b了吗?
5、在数射线上做题:
    a + 2 x b = 12
    a - b = 3
    |<----------------- a ----------------->|<-- b -->|<-- b -->|
    |<--------- a - b ---------->|<-- b -->|

“喜羊羊”问题
北京台每天放3集,江苏台晚2天开始播放,每天放4集,问江苏台要几天才能追上北京台?
我们分别用4种方法做:
聪明的,列表用乘法计算;
            一     二    三   四   五   六
北京台   2       4      6    8    10   12
江苏台                   3    6     9   12

最笨的,第1集、第2集、、、一集一集地慢慢数;
            一     二    三      四       五         六
北京台   1,2    3,4   5,6      7,8      9,10      11,12
江苏台                 1,2,3    4,5,6    7,8,9     10,11,12

最聪明的,江苏台一开始落后4集,每天追上1集,故江苏台开播后第4天可以追上;
           一     二    三      四       五         六
江苏台          4      3       2         1          0

数射线,画射线时,我们遇到的一个棘手问题是以什么作为单位画线,我以为是以集为单位,儿子和同学都认为用天做单位,最后的结果证明,儿子和同学的方案较佳。
北京台 |--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+->
江苏台 |//////|---+---+---+---+---+---+---+---+---+-->

“笨”和“聪明”是好朋友
我:“下面我们想想有没有最笨的一个方法来做这道题呢?”
Alex笑曰:“你要我们学‘笨’啊?”
同学:“‘笨’的方法可能就是最简单的方法哦。”
我:“有很多聪明的方法就是从笨方法里边来的。”
Alex恍然大悟:“原来那些聪明的方法是从‘笨’方法里边找到的啊!”

全部游戏过程约2-3小时,我把所有的草稿纸都搜集好啦,准备以后做事后分析。

鸡鸭900只,鸡多152只,鸡鸭各多少?
近日,Alex的作业上有如下一题:

问:养鸡场有526只鸡和374只鸭,问鸡和鸭共有多少只?鸡比鸭多多少只?
答:526 + 374 = 900
      526 - 374 = 152
共有900只,鸡比鸭多152只。

于是,我倒过来给Alex出了以下这道题:
问:养鸡场有共有900只鸡和鸭,鸡比鸭多152只,问鸡有多少只?鸭有多少只
答:
    |<---------------------- 共有900只 --------------->|
    |<----------------- 鸡 ----------------->|<-- 鸭 -->|
    |<----- 鸡 - 鸭 = 152 ----->|<-- 鸭 -->|
鸭 + 鸭 = 900 - 152 = 748
鸭 = 374
鸡 = 900 - 374 = 526

鸡鸭问题的另一种解法
鸡比鸭多152只,把这152只鸡暂时赶出去;
剩下900-152,这里边鸡和鸭一样多,所以
鸭的数量 = (900 - 152) / 2
鸡的数量 = 鸭 + 152

鸡鸭问题的猜数法
有个小朋友是这么做这道题的:
鸡 + 鸭 = 900
鸡 - 鸭 = 152

鸡的个位数是6,鸭的个位数是4,因为0-9中,只有这2个数的和是10,差是2。
鸡的十位数是2,鸭的十位数是7,因为0-9中,只有这2个数的和是9(个位数上有进位),差是5。这步凑了很久。
百位数可以用估算法凑出来。

小二的智慧令人惊讶。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-29 22:32 编辑 ].

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天平的方法老好个,别过在哪里买天平啊?.

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引用:
原帖由 愛子のムーサイ 于 2009-3-26 12:04 发表 \"\"
天平的方法老好个,别过在哪里买天平啊?
淘宝上买的到。不过,我一直想跟儿子一起做一个,用雪糕里的小棒(扁平的那种)做,中间和2头各打小孔,穿回形别针。托盘用同样大小的纸板做,穿上线,吊在两头的回形别针上。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-26 12:18 编辑 ].

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【转帖】把握学科本质与研究学生:数学教育永恒的课题

http://bbs.cersp.com/dispbbs.asp ... ID=99718&page=1

把握学科本质与研究学生:数学教育永恒的课题
——评华应龙《圆的认识》一课
●北京  刘加霞

  普普通通的“圆”引出的是不普通的话题。
  听过华应龙老师执教的《圆的认识》的老师,大都为其“大气”的教学设计以及实施所折服,认为:新颖,精炼,有品位,智慧,自然,活跃,从容,幽默;教者潇洒自如,上课得心应手,学生学得轻松,知识掌握牢固……
  但也有这样的评价:有创意,但有争议;轻松、智慧、大气但有疑惑;满怀希望——比较失望;作秀——无意义……
  有争议有质疑正是社会进步的表现,正是课程改革能够深化的动力。
  质疑与争议的焦点在哪里呢?我们以“事实与证据”说话——课后即对部分听课教师(60人,其中江苏、北京各30人)做了问卷调查,调查结果如下表。
  总之,听课者担心基本知识和基本技能没有落实到位,不“扎实”。现在我们就来讨论其中的一些话题。

  一、是教“定义”还是让学生经历“定义化”?
  有的教师认为,华老师的课中,关于圆的半径、直径的定义及其它们之间的关系是一笔带过的,学生尤其是后进生能掌握圆的这些基本知识吗?
  这位教师的评价非常中肯,本课确实淡化了这些概念的“定义”,相反却非常重视对这些概念本质的理解:
  是什么(小明“寻宝”):在思考与尝试中初步感知“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹”,初步感知确定“圆”的两个核心要素:圆心、半径。
  为什么是圆:通过与正多边形的对比研究,再一次感悟到“圆”之所以为“圆”的关键是所有半径都相等。
  怎么画圆:通过对学生“非圆”作品以及如何在篮球场上画一个大大的“圆”的分析,再一次强化“圆”之所以为“圆”的核心:到定点的距离都相等。
  所以说,整堂课对“圆”本质的教学可谓“浓墨重彩”,让学生真正理解“圆为什么是圆”这一个看似不是“问题”的重要“问题”。
  我想教师的这种担心不无道理,因为在华老师的课上没有明确写出“圆心”、“半径”、“直径”的定义,也没有再进一步让学生练习这样的题目:给出半径的数据求直径或者给出直径的数据求半径;画出一个“圆”并标出一些非直径或者非半径的“线段”让学生来判断;也没有出几个像“从圆心到圆上任意一点的距离都相等”之类的判断题,因而听课教师认为练习不够,不能很好地强化学生的理解,“后进生”怎么办?一句话,听课教师的心里不“踏实”。
  但学生的后测结果表明,由于学生充分地经历了“圆”的形成过程,由于教师处处以圆的两个核心要素为重点来展开教学,因此,即使课堂上不练习这样的“问题”学生仍然没有“问题”。
  听课教师这种担心的背后实际上折射出教师的一种教学价值判断:我讲过的、练习过的“题目”就应该会解决,没有练过的就可能不会(甚至不会也是应该的)。教师的要求太低了,学习难道就是解决曾经解决过的问题?忘记了把握概念的本质并掌握解决问题的方法才是解决一切“问题”的法宝。
  这种担心的背后更折射出教师的几何教学观:我们是教“定义”还是让学生经历“定义化”的过程?
  对此,荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔早就有过精辟的论述①:
  儿童用逻辑方法组织活动的能力有着一个持续但并不连续的发展过程。在最初阶段,他们通过手、眼以及各种感觉器官进行思维,经过一段时间的亲身体验,通过主动的反思(笔者注:核心是追问“为什么”),就会客观地描述这些低层次的活动,从而进入一个较高的层次。必须注意,这个高层次的达到,绝不能借助算法或形式的灌输来强加给他们。
  我们实际的教学是否有很多是“借助算法或形式的灌输来强加给他们”的?展示几幅关于“圆”的美丽图片,再问问“这些都是什么形状”,抽象出“圆形”,紧接着就给出“圆心”、“直径”、“半径”的定义,并做练习巩固强化。这是小学的几何教学吗?靠这样的“形式化”的“强化”学生就理解了?学生就掌握了?学生对“几何”以及几何学习会有什么印象?
  他还接着说:
  演绎必须始于定义,它是演绎推理链中的重要一环。但苏格拉底的教学理论(笔者注:实际上就是弗赖登塔尔的主张)不主张用定义来引入几何对象……它(定义)不是强加的,而是由直观萌芽逐步发展的,因而就学会了演绎地组织一个对象性质的方法。
  在实际的科学研究工作中,多数定义不是事先想好的,而是组织、推理的结果。学生应该有权自己来发现,这样既直观、自然,又有相对性,可以充分体会定义的必要和作用,并且掌握等价的定义。
  对此,我们以一个案例来说明。为了了解学生对于“圆”的已有认识和经验到底有哪些,我们选择不同年级的学生做了前测,我以我女儿(小学三年级学生)作为观察对象之一,下面是其中的一段对话过程:
  笔者:下面这幅图中哪条线段是直径?(略)

  女儿:妈妈,什么叫“直径”啊?
  笔者:你自己看,自己决定吧。
  女儿:3号是直径。
  笔者:为什么啊?
  女儿:因为它是“直直”的,“直径”、“直径”嘛!
  笔者:其他的线段就不是“直直”的?
  女儿:是斜的,哦,也是“直直”的,因为3号最长。
  到底什么是“直径”?女儿创造的“定义”——圆上最长的线段——是否可以作为直径的等价定义?学生对于几何图形是否都有“直觉”?什么最容易被学生“直觉(知觉)”到?显然是“长度”,因此“距离”是学生学习、研究几何图形时最容易感知与理解的一个概念。
  让学生在动手、动脑的操作中经历“圆”的形成过程,并追问“圆为什么是圆”的理性推理过程,使得“直径”、“半径”、“圆心”的定义呼之欲出,因此,完全可以让学生自己来“创造”定义进而理解定义。在华老师的课上,就是通过如何“标出”直径、半径来强调这一点的:
  师:对,圆规两脚的距离就是半径。那现在我也来画一个圆!
  ……
  生(几乎是喊着):2倍关系!一半!(教师板书:d=2r。)
  (该片段详见前文课堂实录,编者注)

  二、对于“圆”,学生已有哪些认识?
  听完华老师的课,有很多教师担心思维慢的学生,尤其是后进生真正掌握“圆”了吗?其顾虑仍然是前面所说的没有强化定义,没有做相应的练习(后测结果表明,教师多虑了)。即使是后进生,对前面所说的练习有困难吗?学生对“圆”到底有哪些认识?
  对此,我们选择了北京市一所城区小学的六年级学生、北京市某郊区一所农村小学的五、六年级学生以问卷的形式进行调研,对我女儿以观察、访谈的形式进行了解,结果如下:
  1. 总体看,城区小学学生的得分远远高于农村学生的得分。
  2. 100%的学生能够正确地辨认出“圆形”,能够正确地标出哪条线段是直径。
  3. 填下面表格时,学生的差距比较大,但其原因不在于学生不理解直径与半径的关系,而在于教师的引导:当学生追问“什么是直径”、“什么是半径”时,如果教师鼓励学生按照自己的理解来判断,学生解决表格中的问题,几乎都没有问题(除个别学生计算上的失误以及做某个填空时误以为第一行给出的是直径,第二行给出的是半径)。而在做农村六年级学生的测试时,教师没有鼓励学生按照自己的理解来解,而是说“如果会就做,如果不知道就空着,不用填”,大约70%的学生没有做这个填空题。因此,从得分来看,五年级学生远远好于六年级学生。
  4. 当要求学生画一个半径为3厘米的圆并标出一条半径、直径及圆心时,城市小学的学生几乎百分之百能够解答(除个别学生“徒手”画圆)。农村学生约50%是“徒手”画圆(几乎都像“圆”,学生在力图保证到“定点”的距离相等),约50%没有留下任何“痕迹”,卷面是空白的。
  三年级学生解决这个问题的过程如下:
  先是“徒手”画圆,感觉“不圆”,自己的归因是“不认真”,然后又“认真”地“徒手”画了一个“圆”,仍然有的地方“瘪进去”了,最后自己终于发现“要用圆规画圆”,找到圆规后就能正确地解决这个问题。
  5. 小明说:“圆没有棱角,是圆圆的。”他说得对吗?请把你的理由写下来。几乎100%的学生认为他说的正确,但不能清晰地写出理由。个别学生认为他说得不对,例如,有学生说“圆不是没有棱角,而是有无数个棱角”,有的画出了圆的“圆心角”、“圆周角”,所以他认为“圆也有角”。
  通过前测调研,我们认为学生对于圆的认识没有本质上的区别,对“圆”都有一种“直觉”,差距在于是否听说过“直径”、“半径”、“圆心”等名词术语,更大的差距在于学生是否敢于挑战自己:
  学习敢于从自己“朴素”的理解开始吗?敢于自己给某个概念下“定义”吗?是否有尝试“错误”的愿望与勇气?是否有“教师没有讲,我也能会”的自信心?
  一句话,学生的差异不在于知识储备的多少,而在于是否有一定的学习方法与学生的数学学习观是什么。

  三、数学文化该如何渗透?
  有教师认为:本课过分注重数学知识的人文背景,向学生充分展示了圆的文化内涵……但在基本的数学知识与数学能力方面,学生并未上升到数学的理性与概括阶段。
  真是这样吗?关于圆,“上升到数学的理性与概括阶段”是什么样子?数学文化的价值是什么?
  在当前的小学数学课堂教学中,教师们开始尝试数学文化的渗透,但现在也出现了偏颇:课堂上出现“古人说”、引用数学历史上的史料就算是渗透数学文化吗?对此,我们缺少对“什么是数学文化”以及如何发挥数学文化的教育价值的追问,“数学文化”因而很容易成为课堂教学的点缀与装饰品。
  对于什么是“文化”,我不敢谈论,但文化应包括三个层面的内涵:器物、制度、精神。数学文化也是这样,课堂教学中数学文化绝不能仅仅是“器物”的呈现,更重要的是制度(原理、方法等)、精神与信念的渗透,是用来帮助揭示教学内容的本质,要用得恰到好处。
  在华老师的课上,当学生经过操作、追问等活动理解了“圆为什么是圆”后,引出《墨经》中的“圆,一中同长也”,学生感悟到的是:我们非常聪明、古人更聪明,那么早就能够抓住事物的本质,更能体验到中国语言文字是高度凝练与概括的,进而体验到民族自豪感。
  当学生学会利用“对比”的研究方法,分析正多边形与圆的联系与区别后,并利用“课件”真正“看到”正N边形(当N越来越大)就是“圆”时,出示老子的经典概括“大方无隅”,学生的感悟又会是什么?除了前面所提之外,是否又从另一个角度高度概括了圆的本质?是否让学生初步感悟到了“量变导致质变”的哲学思想?是否让学生体验到了“无限”世界中的神奇与美妙?
  当学生利用圆规画圆后,教师说出“没有规矩,不成方圆”,学生是否体验到了成语的内涵?是否体验到了语文与数学的密切关系?是否意识到要换个角度看待所要学习的各学科?
  当学生不能用圆规画篮球场中的大圆,而是想尽一切“办法”画圆后,教师又谈到“没有规矩,不成方圆”,学生是否感悟到画圆不在于是否必须用“规”,而在于必须满足“到定点的距离等于定长”这一圆的本质特征?从而理解“规矩”并不是具体的“规”与“矩”,而是“道理”或者“原理”?再进而明白这也是做人和做研究的道理?
  经历这样的教学过程,学生理解了“圆,一中同长也”、“大方无隅”、“没有规矩,不成方圆”这三句话,这不正是对圆的本质以及特征的高度概括吗?
  课堂教学永远是“我的地盘我作主”。其前提是:把握学科本质+研究学生。
注释:
  ① 弗赖登塔尔:《作为教育任务的数学》,上海教育出版社(1995年),第284页。
  (责任编辑  余慧娟)
==========================================================
备注:原来在明强的帖子里边转过,没有深究。再次转来,作为火车的1770#贴的注脚。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-26 13:09 编辑 ].

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【转帖】精彩于“方”“圆”之间

http://www.zcjy.net/Article/Class5/Class13/200803/2687.html

精彩于“方”“圆”之间
作者:陈惠芳    文章来源:中国教师报    点击数:200    更新时间:2008-3-4

精彩于“方”“圆”之间

——听华应龙老师执教《圆的认识》有感

    不久前,听了全国著名数学特级教师华应龙执教的《圆的认识》一课。华老师的质疑反思和批判创新精神,使《圆的认识》又有了别样的解读。有三点非常深刻的感受,写出来请同行们指正。
    【对象感】
    “我发现我们对于‘圆的认识’这节课教学内容的处理,主要存在以下三个问题。注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征,不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括出圆的特征;注重组织学生学会用圆规等材料‘画圆’,不重视组织学生思考‘为什么这样就可以画出圆’;注重数学史料的文化点缀,不重视数学史料的文化功能挖掘……”
    “我思考——‘圆的认识’这节课究竟要讲什么?圆的特征究竟是什么?这样的特征是不是需要组织学生小组合作研究?接着思考——半径和直径是不是应该‘浓墨重彩’去渲染?小学数学教学是否应该不仅关注‘是什么’和‘怎样做’,还应该引导学生去探究‘为什么’和‘为什么这样做’……”
    听课前,细读了华老师的“课前慎思”,别有一番滋味在心头。“一堂成功的数学课,必然有强烈的对象感!”这是我的第一直觉。华老师的思考始终以有利于学生发展为根本,他坚持“教什么比怎么教更重要”的理念。所以,他不断地叩问这堂课究竟要教什么?究竟怎么教?为什么要这样教?思考这些问题,就能较好地确定学生的学习起点,拟定合理的课堂教学目标,确定可行的教学策略。
    我还特别欣赏这样一个镜头:在学生尝试用圆规画一个半径是3厘米的圆后,一般的老师都会展示学生成功的作品,而华老师却将学生错误的作品一一展评。这正是华老师的独到之处——有对象感。现代教学思想认为,学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得到纠正,而必须是一个“自我否定”的过程。部分学生第一次不会画圆,最好的办法就是让他通过相互对比,自我进行反思、自行修正!
    华老师之所以能够从容地驾驭课堂,正是源于他对教材的正确把握和对学生的尊重与理解。或许当我们的思维方式呈现“方”的时候,华老师独自选择了“圆”!
    【学科感】
    “数学是思维的体操。”华老师深谙此理。如何培养学生的批判思维和创新思维?如何让学生获得丰富而独特的心理体验?正是他本堂课最想做的文章。不妨再现一些精彩的片段:
    课始,华老师创设一个问题情景:小明参加头脑奥林匹克寻宝活动,得到一张纸:“宝物距离你左脚3米”。
    华老师请学生在头脑中想一想,宝物可能在什么地方。学生在纸上纷纷表示自己的想法。华老师接着问:“除了你找到的这个点,宝物还可能在什么地方?”学生在纸上画的点多了,一个、两个……渐渐呈现出“圆”形。他随即引导学生深入思考:“为什么宝物的位置就成为了一个圆?”围绕这个思维触点,整节课由此生发开去。
    接着,华老师创设了操作情景:请学生尝试用圆规画一个半径是3厘米的圆。
    练习后,他选择了一些作品进行展示。学生身边没有橡皮,许多原生态的失败作品一览无遗。他幽默地评价说:“圆的样子都是一样的,不圆的样子就各有各的不同。请同学们慢慢欣赏回味,想象它们是怎样在无意中被创造出来的?”学生盯着屏幕,若有所思,若有所悟。“从这些不圆中,我们学会画圆了吗?”老师的及时追问似乎又暗含着什么。在比较观察中,在讨论思辨中,圆的特征渐渐明朗,学生也获得了画圆的方法要领。
    最后,华老师联系学生实际,创设了生活情景,由画“小圆”引发学生思考“大圆”的画法。学生有的认为先固定圆心,用线绕一圈画大圆;有的认为可以将小圆一圈圈往外放;还有的说先画正方形,再画圆……
由课始寻宝到画圆到解释生活问题,真正的“入一点,牵一线,构一面”。“浑然大气练成圆”,触及了学生认知的内核。教学过程中,华老师着力建构问题模式,让问题的开放与教师的统领,学生的独思与全班的互动交流和谐统一,在不断追问中逐步理解、明晰、构建、完善圆的认识,真正使概念的建构过程成为一个“意义赋予”的过程,提升了学生学习的层次,凸显了数学课的“数学味”。
    【文化感】
    “文化的最初本意,可以理解为对土地的开发、植物的栽培和农作物的收获。教育领域之中深层次文化的意义,是现在的教育教学方式、教育教学过程,就是文化过程。你怎么教着,学生怎么学着。”(成尚荣语)对数学课堂文化的关注是新课改的核心理念之一。本节课中,华老师通过语言的内涵品质来关注数学文化,通过教学内容的行进适时渗透数学文化,通过师生的互动交流来提升课堂文化。很多老师评价说:“他的数学课极富文化感。”
    研讨圆的特征时,华老师出示了古语:“圆,一中同长也。”他让学生学着古人的样子读读这句话。“那么,难道正三角形、正四边形、正五边形……不是‘一中同长’吗?”教师的反问显然让学生有些措手不及。当多媒体依次渐变图形,从正六边形一直到正819边形时,学生终于耐不住性子了:“老师,我认为圆是正无数边形!”是呀,由“圆”的教学引申至“正多边形与圆的关系”、“圆与球体的联系”,这样也暗含着刘徽的割圆术理论,让学生真切地体会到“圆是正无数边形”的极限思想。曲径通幽,富含哲理。
    在画圆环节中,华老师先呈现了“没有规矩,不成方圆”。“那么,有了这样的‘圆规’画圆,一定没问题吧?”看似自言自语,实则不断引发学生新的“学习生长点”。在探讨由小圆到大圆的过程中,华老师大胆放手让学生进行思考“为什么用绳子就可以画出圆来,为什么没有规矩,也可以画出圆?”学生认为确定了圆心,半径就能确定圆了。华老师随即评价说:“原来都遵循了圆的规矩。看来,方有方的规矩,圆有圆的规矩,做人有做人的规矩,任何事物都有规矩。”因为深入,所以浅出。
    课末,华老师出示了爱因斯坦语:“我没有什么特别的才能,不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了”。科学家们还喜欢追问这样的问题:“一定这样吗?”回归到课始情景,他再次追问:“宝物一定在左脚为圆心、半径3米的圆上吗?”然后出示半个西瓜:“这还是‘圆’吗?”由圆及球,前后呼应,随意的追问是否承载着太多的数学思考?
    在华老师的课堂上,数学学习作为一种文化熏染和文化传承,从传统的数学史料的刻意点缀转化成了数学思想方法的不断充实,这使得课堂的认知探究过程逐渐丰满,学生的数学素养不断丰厚。
    感谢华老师,让我通过这堂课感受到了数学文化的深邃美丽。
    (作者单位系江苏省张家港市沙洲小学).

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作图解题(三年级)

转自:
http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4627664

原题:
一个正方形的操场,现在把它的边长增加10米,面积比原来增加了800平方米,问原来这个操场的面积是多少?

多多多妈的方程式解法:
X*X=Y
(X+10)(X+10)=Y+800
X=35

老师的算式分析:
800-10×10=700
700÷2=350
350÷10=35
35×35=1225

kongjoy的拼接方法
小戚的老师也是这么说的,还有一种方法供参考
(800/10-10)/2  加中括号后平方
这种方法是把下面一个长方形移动到上面,可以拼成一个大长方形;
宽是10,先求出长,再减去10,剩下的是两条正方形边长,再除以二
平方后得出面积。
两种方法,多种视野

shianqi提供的图形和ccpaging的注解

1、右上角的正方形为10 X 10 = 100平方米
2、上面新增加的一个长方形和右边新增加的长方形面积相等,2个长方形的总面积为 800 - 100 = 700 平方米,1个长方形的面积为350平方米
3、长方形一边长为10米,另一边,即原正方形的边长为 35 米
4、原操场面积为 35 X35 平方米

作图顶重要
代数、几何、解析几何等诸多的数学门类在历史上很多都是同步发展的,它们只是从不同的角度去思考问题。有一些问题,在对某一门类来说很难解释,在其它的门类里边可能就很容易,如前面介绍过的√2。
不过,某些二年级、三年级同学还不太适应画图,甚至有人会觉得想出来问题才厉害,画图寻找答案不算是本事。碰上某些“难题”,大家咬着铅笔,揪着头发,拍着脑袋冥思苦想,却没想到换一个角度考虑,例如在草稿上画一张示意图。
同学们初学画图,刚开始主要是掌握画图工具的使用和作图的一些基本方法,如标注长度、画阴影等,用不同颜色的笔区别已知条件和计算结果,然后学会从图上去寻找规律、关系,最终找到答案。BBM们可以先给孩子做几次示范,以后就尽量让孩子自己画,BBMM纠错。
画图能解决很多想起来很复杂的问题。如栽树问题、煎饼问题,集合问题等等。不光是难题要画图,碰上吃不准的题目也可以画图,让我们把画图变成一种习惯。其实,小朋友蛮喜欢画图,蛮喜欢享受使用各种画图工具带来的乐趣。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-30 20:28 编辑 ].

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称金币啦。。。

11、Alex、以及他们的老爸请注意,这里有道好玩的题目,试试看吧。
大多数辨认真假金币的迷题中,使用的都是有两个托盘的平衡式天平,现在玩个新东西,你只有一个普通的盘秤。
现在给你三大袋金币,每袋金币的的数量是不确定的。其中一袋装的全是假币,每个重55克,另两袋装的则是每个重50克的真币。 请问最少操作几次,才能确定找出那袋假币?.

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引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-3-31 11:54 发表 \"\"
11、Alex、以及他们的老爸请注意,这里有道好玩的题目,试试看吧。
大多数辨认真假金币的迷题中,使用的都是有两个托盘的平衡式天平,现在玩个新东西,你只有一个普通的盘秤。
现在给你三大袋金币,每袋金币的的数 ...
是下面这样的盘秤吗?有没刻度?.

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度盘秤.gif (9.59 KB)

2009-3-31 12:04

度盘秤.gif

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回复 1778#ccpaging 的帖子

是滴是滴。。。这是一道动脑筋的算术题。
当然有刻度,没有刻度叫秤吗?.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-3-19 12:00 发表 \"\"
ccpaging是主力,我是帮衬的,因为孩子还太小,所以没有什么实际的辅导工作可以写出来的。

帖子里会有很多数学公式,用word编辑不容易吧?可否考虑LaTeX,但是这个东西不是所见即所得的。
用LaTeX的人不是很多吧...
你是不是做数学或是物理论文时用的?呵呵~
我读书时有个老师是LaTeX高手来的,他后来出过一本书,我们几个打过下手。
.

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一本好书就是一个好老师

Alex跟我散步时,突然问我:“爸爸,你知道吗,掷6个钱币,一共有64种可能性?”
我:“是吗?真有这么多吗?”
Alex:“我从《可怕科学》里边看到的。两个人打赌,如果对方掷出了5面上,一面下,就给对方60便士,对方只有60分之一得几率赢到这60便士。”
估计Alex记错了,在要求顺序的前提下,应该是 1/64 的机会。
我:“还是想不明白为什么6个钱币,就有64种可能性。要不咱们从简单的1枚钱币试试?”
Alex:“1枚钱币有2种可能性,正、反;2枚钱币有四种可能性,正正、正反、反正、反反、、、”
我:“这我都知道,3枚钱币怎么办呢?好像很复杂哦,正正正、正反正、、、”
Alex:“不用那么麻烦,2枚钱币乘以2就是3枚钱币的可能性。”
我:“哦,对啊!”
Alex:“我们可以从6枚钱币倒回来数数,看看对不对?6枚,64种;5枚,32种;4枚;16种;3枚,8种;2枚,4种;1枚,2种,我们算对了。”

原来给 Alex 买《可怕的科学》时,我比较担心小二能不能看懂。后来在旺旺圈子里边,有妈妈说:“一本看不懂的书不可怕。”仔细想想,妈妈说的有道理。只要是开卷有益的好书,看不懂就跳过,没什么坏处。儿子有兴趣就给他买,给他看,几本书而已,咱们还消费得起。

看过几本以后,Alex 突然问我:“爸爸,我发现可怕的科学,有些地方讲的不清楚,搞不懂它讲的是什么?”
我答到:“哦,那不一定是书上没讲清楚,也有可能是因为你现在还小,知识还太少,书里讲的你看不明白,这是正常的,毕竟你现在还是二年级嘛。也正是因为这样,我们才要不断地学习新的知识。没关系的,看不明白就不看这部分,等你三年级、五年级、初中、高中学到的知识越来越多,就能看懂更多的东西。”

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-31 21:44 编辑 ].

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引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-3-31 11:54 发表 \"\"
11、Alex、以及他们的老爸请注意,这里有道好玩的题目,试试看吧。
大多数辨认真假金币的迷题中,使用的都是有两个托盘的平衡式天平,现在玩个新东西,你只有一个普通的盘秤。
现在给你三大袋金币,每袋金币的的数量是不确定的。其中一袋装的全是假币,每个重55克,另两袋装的则是每个重50克的真币。 请问最少操作几次,才能确定找出那袋假币?
  11没有受过奥数训练,估计做不出来。11他爸爸想出来了,只要秤一次就行了。前提条件是,J姐不能为难我说:每个袋里只有一个或两个币。.

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回复 1782#hxy007 的帖子

这道题不算奥数吧。。。就像我以前说的,让孩子们统计一辆车开开停停乘客上上下下,大家都认真计算人数,而最终却问一共停靠几站。。。现在大家一看到这种称重量找次品的题目,脑子里还是惯性思维,刹不住车。。。
你这一提醒,蛮有趣,一个袋子里只有一两个币。。。也可以的啊,又是老方法上阵,只从两个袋子里拿不同数量的币称一次,第三个袋子可以靠判断。
反正这是一道算术题。.

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哪位BBMM编点逆向思维的故事?

引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-4-2 09:27 发表 \"\"
这道题不算奥数吧。。。就像我以前说的,让孩子们统计一辆车开开停停乘客上上下下,大家都认真计算人数,而最终却问一共停靠几站。。。现在大家一看到这种称重量找次品的题目,脑子里还是惯性思维,刹不住车。。。
...
说到“惯性思维”,想编几个故事给孩子讲讲逆向思维,可是总编的不好。

逆向思维是一种小概率的思维模式,我们生活中也经常使用。

例如:当我们走到超市门口,突然发现手套不见了,我们会顺着来路找下去,而绝不会从起点开始查找。习惯惯性思维的小朋友,通常会问:“咱们几点出发?速度是多少?出发以后经停了哪些地方?”

哪位BBMM编点故事出来玩玩?逆向思维的介绍见:
http://www.fundfund.cn/news_2008314_25888.htm

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-4-2 10:02 编辑 ].

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回复 1780#grant 的帖子

我是玩票性质的。.

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回复 1777#Jupiter 的帖子

重量差不少,找个有经验的小贩掂量掂量就行了么。不过假币不是一般都要轻一些的吗,尤其是假金币?.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-4-2 11:09 发表 \"\"
重量差不少,找个有经验的小贩掂量掂量就行了么。不过假币不是一般都要轻一些的吗,尤其是假金币?
你!
ccpaging,快来看啊,这就是逆向思维,胡搅蛮缠的逆向思维!!!
假币轻的话。。。那就假币45克好了。。。不是一样的么,反正就是要找出一袋不同的。
哼哼,真要像老7所说的,一个袋子里只有一个两个,小贩掂量得出来么?

[ 本帖最后由 Jupiter 于 2009-4-2 11:41 编辑 ].

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回复 1787#Jupiter 的帖子

那也要看你的秤的精度呢,要是只能一两一两地称,也麻烦。.

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回复 1788#火车是运茶的 的帖子

明知道我最近犯困。。。算了,懒得动脑筋跟你搞。.

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引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-4-2 09:27 发表 \"\"
你这一提醒,蛮有趣,一个袋子里只有一两个币。。。也可以的啊,又是老方法上阵,只从两个袋子里拿不同数量的币称一次,第三个袋子可以靠判断。
要是每个袋子里只有一个币呢?.

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回复 1790#hxy007 的帖子

那不是成了:三个金币其中一个分量轻,只称一次,找出来。
你有这本事没?.

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回复 1789#Jupiter 的帖子

我不是故意捣乱。我总觉得有种题目是先有个算法,再设计个题目给孩子,希望他们用我们预料中的方法解题。这也无可厚非,不过接触过的孩子会做,没有接触过的就不一定了。

但是还有一种题目,是从生活中来,不拘解法,这也蛮有意思的。你的题目呢,介于两者之间。.

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回复 1792#火车是运茶的 的帖子

我的题目不是从生活中来的,是从别的地方看来的。。。我比较晕,别再把我叫过来。.

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引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-4-2 09:27 发表 \"\"
这道题不算奥数吧。。。就像我以前说的,让孩子们统计一辆车开开停停乘客上上下下,大家都认真计算人数,而最终却问一共停靠几站。。。现在大家一看到这种称重量找次品的题目,脑子里还是惯性思维,刹不住车。。。
...
明白了,第一个袋子拿1枚,第二个袋子拿2枚,第三个袋子拿3枚。
如果只多5克,那么第一个袋子是假币,依次类推。

这种秤第一次用,不太熟悉。.

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回复 1794#ccpaging 的帖子

也来凑个趣,给大家上几道菜玩玩,不过不是给小朋友的奥数题,是给大朋友脑力激荡的:

1、在某次审判中作为物证出示了14枚硬币。专家发现,从第一到第七枚硬币是伪币,从第八到第十四枚硬币是真币。法官只知道伪币的重量都相同,真币的重量也都相同,且伪币较轻。专家想向法官证明:从第1到第7枚为伪币,第8到第14枚为真币。问:只用一个天平如何在三次之内完成如上证明工作?

2、有6只布袋,每只都装有50枚金币,每袋要么都是真金币,要么都是假金币。已知真金币每枚重50克,假金币重45克。如何用一台磅秤,只称一次,区别每袋金币的真伪?

3、将上题改为10只布袋,每只都装有100枚金币,每袋要么都是真金币,要么都是假金币。已知真金币每枚重50克,假金币重45克。如果已知其中有两袋是假的。用一台磅秤,只称一次,如何找出假的?在本题中每袋金币最少可以是多少个?.

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回复 1785#火车是运茶的 的帖子

呵呵,要是不了解LaTeX的话,还真会信了你这句话呢。
.

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引用:
原帖由 smartwxc 于 2009-4-2 17:13 发表 \"\"
2、有6只布袋,每只都装有50枚金币,每袋要么都是真金币,要么都是假金币。已知真金币每枚重50克,假金币重45克。如何用一台磅秤,只称一次,区别每袋金币的真伪?
6只布袋编号为1 2 3 4 5 6,
依次从中取出1 2 5 10 20枚金币去称。
假设全部是真的,总份量为(1+2+5+10+20)*50g
看少多少g,就可以看出是哪个(些)袋子里是假的。

答案应该是不唯一,因为每个袋中取出的个数可以做调整,但不能有几个相加等于其中一个的情形出现。

[ 本帖最后由 grant 于 2009-4-3 11:43 编辑 ].

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引用:
原帖由 smartwxc 于 2009-4-2 17:13 发表 \"\"
3、将上题改为10只布袋,每只都装有100枚金币,每袋要么都是真金币,要么都是假金币。已知真金币每枚重50克,假金币重45克。如果已知其中有两袋是假的。用一台磅秤,只称一次,如何找出假的?在本题中每袋金币最少可以是多少个?
应该也是上面一样的思路。看少了多少份量。由于已知只有两袋是假的,所以只要不存在两两相加相等的数字即可。
粗想了一下应该是这样的顺序:1 2 3 5 7 10 14 19 25 32 40 49 59
那么每袋金币最少应该是59个。也许有更好的编码方式,先发这个答案上来。

================================
不对... 上面的编码中40+19 = 49+10
要再想想。

================================
似乎是1 2 3 5 8 13 21 30 39 53
最少需要53个金币。

================================
如果这样呢:1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
应该也没有出现两两相加结果相等的组合,可是就要最少89枚金币了。

[ 本帖最后由 grant 于 2009-4-3 12:20 编辑 ].

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引用:
原帖由 smartwxc 于 2009-4-2 17:13 发表 \"\"
1、在某次审判中作为物证出示了14枚硬币。专家发现,从第一到第七枚硬币是伪币,从第八到第十四枚硬币是真币。法官只知道伪币的重量都相同,真币的重量也都相同,且伪币较轻。专家想向法官证明:从第1到第7枚为伪币,第8到第14枚为真币。问:只用一个天平如何在三次之内完成如上证明工作?
给伪币编号F1到F7,真币编号G1到G7。

取F1和G1到天平左右两端去称,证明F1是伪币,G1是真币;
取F1和G1到天平左边,F2和F3到天平右边,证明F2和F3是伪币;
取F1, F2, F3和G1到天平左边,F4至F7到天平右边,证明F4至F7是伪币;
由此推断G2至G7为真币。.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-4-3 12:18 发表 \"\"


给伪币编号F1到F7,真币编号G1到G7。

取F1和G1到天平左右两端去称,证明F1是伪币,G1是真币;
取F1和G1到天平左边,F2和F3到天平右边,证明F2和F3是伪币;
取F1, F2, F3和G1到天平左边,F4至F7到天平右边, ...
厉害的~.

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