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[数学] 从来不相信刻苦学习(题海战术、机械训练),畅谈亲子数学,兼谈数学的乐趣

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回复 1246#Jupiter 的帖子

估计名校也在反思。这两天的复旦、交大自主招生面试,考察的是“有社会责任感、道德意识、学习能力、创新精神”、“健康、真实”------至少,这也是种导向吧。.

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引用:
原帖由 hxy007 于 2008-11-20 17:00 发表 \"\"
  发完上个帖(第149楼)向数学老爹ccpaging请教后,俺就启程出差了。一路之上俺在想,如果数学上不能证明(x+24)/x=1成立的话,那数学就有缺陷,数学就不够完美。

  儿子1岁时,船长25岁,是儿子的25倍;
  ...
喜欢这种浪漫,而且还富有哲理。.

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昨天才发现这个贴,看了2天才看到18页。
各位大侠饶了我吧,慢点下贴
不然到何时才能赶上进度啊.

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回复 1220#hxy007 的帖子

某班共有学生38人,其中27人会游泳,23人会骑自行车,30人会打乒乓球。这个班至少有多少个学生三项运动都会?

我们来试试新的解法。

一、数形结合
  这道题从一开始,就要高呼:“儿子,拿笔和纸来。”
  好像数学进入二年级,数学题就不再是那么一针见血了,总是要多多少少地绕上一两个小圈子,所以,仅仅是凭空思考会觉得有些不够,内存小啊,怎么办?
  装“外存”先,准备好纸和笔,随意的记录下思考的内容、过程,从这些记录中寻找最后的结果。
  前面有老数学家讲到数形结合的重要性,比较抽象,可能没有引起足够的重视。后来运用了毕达哥拉斯的数形结合方法,给二年级小朋友解决了根号8和根号2的问题,该次教学实践的成功,印证了数形结合的强大威力。所以,至此以后,我们的数学研究增加了2样必不可少的工具--铅笔和草稿纸。

二、不要只盯住结果,关注问题,循序渐进
  我们先在草稿上画一个圈,这个圈代表了全体同学,38人;
  在全班同学这个大圈里边画第二个圈,游泳的学生,27人;
  画第三个圈,骑自行车,23人,这时我们碰到问题了,骑自行车的和游泳的加起来超过学生总数38人,这里为什么会多出来12个同学?
  如果游泳+自行车等于总数,是什么情况?
  如果游泳+自行车小于总数,又是什么情况?
  经过以上分析,我们可以知道答案,这多出来的12个同学就是又会游泳又会自行车的同学(至少)。

三、化繁为简
  在上图中,我们已经画了3个圈了,一个大圈套了2个交叉的小圈圈,显然,如果要再画第4个圈--打兵乓球的同学,整个图形就有点乱了。
  所以,充分利用二的结果,我们用全体同学38人、又会游泳又会自行车的同学12人、打兵乓球的同学30人,重新画一张新图,这里多出来4个同学。

四、结论
  于是,可以判定这个班至少有4个学生三项运动都会。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-13 22:24 编辑 ].

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回复 1254#ccpaging 的帖子

化抽象为形象,是个好办法。.

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你家007最大的特点就是争强好胜,真是羡慕!而我家的大宝也正如你所说的很有谦让精神,看来我要转变教育思路了。最近大宝迷上了《三国演义》和电视剧《红日》,希望能有所促进吧!.

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回复 1254#ccpaging 的帖子

你太有才了!
用这个法子,顺便也给孩子一点集合方面的启蒙。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-2-14 17:31 编辑 ].

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有冰激淋和酸奶的奥数

第一题
父:你们班上现在有多少个同学?
子:有49个同学。
父:放学前,老师说:“今天我们班有30个同学吃过冰淇淋,25个同学吃过酸奶。”
子:多了6个同学,为什么?
父:不知道啊。

第二题
父:爸爸、妈妈和Alex一起出去玩,回家以后,妈妈发现,我们今天有2个人吃过冰淇淋,有2个人吃过酸奶。
子:嗯,多一个人,这个人又吃了冰淇淋,又吃了酸奶。
父:那么?
子:我知道了,班上有6个同学又吃了冰淇淋,又吃了酸奶。

注意:
第二题中,Alex仅仅是提出了一个显而易见的猜想,如我们前面曾经提到的,任何的猜想都需要验证。
hxy007的1260#帖,提出了对这类显而易见的猜想的证明方法--反证法。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-15 12:34 编辑 ].

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回复 1258#ccpaging 的帖子

ccpaging 的办法灵的!叫小五来学习,居然立刻总结出通项公式:X=A1+A2+A3.....An-PX(n-1).

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奥数让我抓狂:爹妈的心声(续)

引用:
原帖由 ccpaging 于 2009-2-14 19:48 发表 \"\"
第一题
父:你们班上现在有多少个同学?
子:有49个同学。
父:放学前,老师说:“今天我们班有30个同学吃过冰淇淋,25个同学吃过酸奶。”
子:多了6个同学,为什么?
父:不知道啊。
第二题
父:爸爸、妈妈 ...
精彩!高明!!有了第二题作为梯子,解答第一题就水到渠成,也就给了第1254楼的解决方案一把金钥匙!!!
  亲子数学,关键不在于BBMM会做孩子做不出的题,而在于想出恰当的法子,让孩子理解题意,通过他自己的思考与探索解决问题;着眼点不在于解决一道道难题找到正确答案,而在于解决问题的探索过程,从中体会数学的思维以及思维的乐趣。
引用:
原帖由 hxy007 于 2009-2-12 11:57 发表 \"\"
  某班共有学生38人,其中27人会游泳,23人会骑自行车,30人会打乒乓球。这个班至少有多少个学生三项运动都会?

  用代数方法解决这个问题不难,中学会学到。用算术的方法,最简单的可能是:
  不会游泳的:38-27=11(人)
  不会骑自行车的:38-23=15(人)
  不会打乒乓球的:38-30=8(人)
  这个班至少不会一项运动的人数,最多是:11+15+8=34(人)
  因此,这个班三项运动全会的人数,至少是:38-34=4(人)
  hxy007也想为自己貎似复杂的解决办法,作点辩解。可是,现在儿子正在犯傻,有更加基础的问题需要解决……
  折腾到晚上9点,才使犯傻的儿子恢复正常(见第1262楼)。唉,在余数问题上犯傻栽跟斗,已经不是第一回了。不知道,这一回能不能一劳永逸地解决问题。
  儿子安睡了,007才可以安安稳稳地自娱自乐玩奥数!

  007觉得,ccpaging提出的解决方案是一个正解,一个巧妙的正解。其难点是,想到“多出的人”是何许人也。有了“冰激淋和酸奶的奥数”打底子,孩子可以比较轻松地突破这个难点。007设想的解决方案,则反其道而行之,从“至少不会一样运动的人数”,去推知“三样运动样样都会的人数”。其难点,就是想到这种思路。一旦想到这种思路,接下来的关键,就是弄清楚“至少不会一样运动的人数”至多有几个。这个问题让中学生解,不难。让小学生解,有很大的难度。007也想借用ccpaging倡导的数形结合的方法以及集合思路,提出一个辅导小学生的方案。

  (一)情境
  
  为了刺激孩子更有兴致思考和讨论这个问题,可对原题稍加扩充和修改。
  明强小学要开运动会了。学校增设了一个“铁人三项”比赛项目,要求参赛者先后进行游泳、自行车、乒乓等三个项目比赛,三项成绩最优异者为冠军。某班共有同学38人,其中27人会游泳,23人会骑自行车,30人会打乒乓球。试问:这个班至少可以从几位同学中选派参赛选手?
  个人觉得,这种修正可以使孩子们更加理解题意,也更加理解探讨这种数学课题可能的现实意义。

  (二)问题

  这个班应该选什么样的同学代表班级参加“铁人三项”比赛呀?
  选既会游泳又会骑自行车还会打乒乓的同学参赛。
  用什么办法才能知道这个班有多少同学这三项运动都会呢?
  请三项都会的同学举一下手。(我cao,竟然这么简单!看来,这个题目是在瞎编!)
  假定我们不去问那个班的同学,就靠现在的已知条件,我们能够算出这个班至少有几个同学三项运动都会吗?

  (三)假设
  
  好像不能!因为,现在我们只知道这个班有27人会游泳,23人会骑自行车,30人会打乒乓球。可是,我们不知有多少人会两样,更不知道有多少三样都会?
  别那么快就下结论嘛!让我们一起开动脑筋,想一想。要是我告诉你这和班有18个女生,你们知道这个班有多少个男生吗?
  知道。38-18=20,这个班有20个男生。
  对头。你们能不能用相似的办法,算出这班有多少同学三样运动都会呢?
  要是我们能够知道这个班有多少同学至少有一样不会的话,用38减掉这个人数,就可以算出三样都会的同学有多少。
  
  (四)探究

  你们提出一个很有意思解决方案。现在,我们就试一试。先来看一看,这个班有多少同学“铁人三项”中至少有一样不会?
  这个班不会游泳的同学有38-27=11(人),不会骑自行车的同学有38-23=15(人),不会打乒乓球的同学有38-30=8(人),加起来,不会一项运动的有11+15+8=34(人)。
  这样算对吗?这个班要是有一些同学有两样不会,还有一些同学有三样不会,你们这样算不就多算了吗?
  对的。这就看这个班运气好不好了。运气好的话,不会这三项运动的都集中少数同学身上,三样都会的人数就多;运气不好的话,就有许多同学会两样却不会一样,三样都会的就很少。
  好吧。运气最好时至多有多少同学至少不会一样运动?运气最差时至少有多少同学至少不会一样运动?你们不要猜。我这里有一些圆圈,我们用它们来做一个游戏。这个最大的黄色圆圏代表这个班有38个同学;第二大的是一个绿圆,代表15名不会骑自行车的同学;稍小的是一个蓝圆,代表不会11名不会游泳的同学;最小是个粉红色的圆,代表8名不会打打乒乓球的同学。请你们摆一摆,运气好是什么样子?运气差又是什么样子?
  探究出来的理想结果如下图所示:

  运气不好时如图1,绿红蓝三圆不交叉。就是说,这三个圆代表的同学不会某一样运动,但会其它两样,他们都不能代表班级参加“铁人三项”比赛。运气好时如图2,绿圆含蓝圆,蓝圆含红圆。就是说,不打乒乓的同学肯定不会游泳,不会游泳的同学肯定不会骑自行车,因此只要不会骑车就不能代表班级参加“铁人三项”比赛。因此
  15 ≤ 至少不会一项运动的同学数 ≤ 34(即至少15人,至多34人)

  (五)结论

  除去绿蓝红部分,剩下的黄色部分代表的就是三项运动样样都会的同学。根据“三项运动样样都会的人数”=38-“三项运动至少不会一样的人数”,可得
  23 ≥ 三项运动样样都会的人数 ≥ 4
  也就是说,这个班至多有23个同学,至少有4个同学,兼会骑自行车、游泳、打乒乓球这三项运动,可以从中派选代表参加“铁人三项”比赛。
  这道题的解决思路,简单地说就是:

  “三项运动样样都会的人数”(至少)
  =全班人数-“三项运动至少不会一样的人数”(至多)
  =38-(不会骑车的人数+不会游泳的人数+不会打球的人数)
  =38-[(38-23)+(28-27)+(28-30)]
  =38-(15+11+8)
  =38-34
  =4(人)

  尽管我们想尽办法试图降低这道题的难度,但是个人认为让小学生做这种题并不恰当。这种题目电流量大太,会烧坏小学生娇嫩的脑子。玩当然可以,只是别当真。当真的话,只对探究过程当真,别在意能否找到答案。就是说,孩子做不出来,或者在有辅导的情况依然不理解,思维跟不上,不要抓狂,不要责怪孩子,不要对孩子的数学能力产生怀疑。相信他,到了中学,解决这种问题小菜一碟!

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-2-16 08:55 编辑 ].

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帮助减肥的小五奥数题

原题
Isabel妈 求助:五年级奥数题
某人要从第一阶楼梯走到第十阶楼梯,他共有三种走法:一次一阶,一次二阶,一次三阶,则他走完这十阶楼梯共有多少种不同走法?
答案是274种

http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4614542

何为“走一阶,走二阶,走三阶”?
假设有三个人上楼梯:
1、小妹妹,她的人小步子小,一次只能上一个台阶,于是10级抬价要跨10步。
2、小五生,步子大点了,一步可以上二个台阶,于是10级台阶只要跨5步。
3、爸爸看大家在楼道上玩的热闹,耐不住了,也走了一次。爸爸高大多了,一步可以上三个台阶,三步就上了9级台阶。可是笨爸爸在第9级台阶停住了,因为只剩下一级了,他想了想,只好一脸苦相地像小妹妹那样,上了第10级台阶。

大家跑了这么多次楼梯,都有点累了,一起拥进了家里喝水。小五生拿起了铅笔和草稿纸,又开始写写画画了,画的什么呢?请小五生讲给我们听吧。

(小五生要开始讲课了,大家快找沙发坐下、、、)

笨爸爸的脚上有鸡眼
前回讲到小五生若有所思地在草稿上写写画画,在大家喝水的当口,宣布了他的发现:

笨爸爸如果聪明一点的话,就可以发现,他其实有很多种走法,例如:
1+3+3+3,第一步走一级,再分成三步,每步三级。
3+1+3+3,第一步走了三级,有点气喘,第二步走了一级,后面三级一步。
、、、、

大家听了以后都一脸茫然,小妹妹问:”小五哥哥,你在说什么啊?“
为了使大家都明白是怎么回事,小五翻出了妹妹的玩具,有些是红色的方块,比较窄,有些是黑色的方块,长度正好红色方块的三倍,如图摆放。

第一次爸爸走的样子
+----+ +----+ +----+ +-+
第二次爸爸走的样子
+-+ +----+ +----+ +----+
第三次爸爸走的样子
+----+ +-+ +----+ +----+
第四次爸爸走的样子
+----+ +----+ +-+  +----+

小五生总结道:”爸爸有四种走法。“
笨爸爸终于明白过来了,可是爸爸不服气,对小五说到:
”如果在平时,这点步法也算不了什么,我的凌波微步功还没用上呢!但是,今天我脚上鸡眼有一DD痛,也可能一步走二级哦。“
小五当场晕倒:”我怎么把鸡眼给忘了啊?事情有点复杂了,大家请继续喝水,我研究去也。“

领悟
第一眼看到这题,感觉可能性蛮多了,但是没想到有274种之多。
目前为止,我们还是深一脚浅一脚的在黑暗中摸索,不过,这也比开始茫然不知所措好多了。这是黎明前的黑暗,最黑的一段时间,却已经孕育了希望。
在小五发现笨爸爸的鸡眼发作时,也同时领悟到这道题就是不同步幅之间的排列组合,很像一二年级做的数三角形、长方形的题目。

都是鸡眼惹的祸

小五生回到了自己房间开始回想刚才的情景,本来以为已经得到答案了,却被笨爸爸的鸡眼困住了。多么令人讨厌的鸡眼啊!

于是,小五生定下心来,决定从小妹妹开始研究。小妹妹的情况是最简单的,只有一种情况,那就是一步一步地走上来。
1

研究到小五生的情况就有一点复杂了,小五可以一步一级,也可以一步二级,例如:
1、可以走1步二级的,余下的一步一级;
2、上面1的情况,还可以随意插在任何位置;
3、也可以走2步二级的,余下的一步一级;

看起来,我们开始的时候必须分情况计算了。
1、只走一次二级步的
+--+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+ +-+
这种情况下,一共有9种走法

2、走二次二级步
、、、

小五生开始困惑了,这要走到什么时候啊?

最佳答案
小五生回忆到设计数三角形和长方形的通项公式的情景,突然灵光一现,似乎可以用递增楼梯级数的方式去研究。也就是第一次考察有一级楼梯的情况,以后依次递增,比较每次增加楼梯级数后产生的增量。
想到这小五生似乎看到了曙光,在书房里奋笔疾书地开始计算起来。不过小五生忽略了一件事情,那就是笨爸爸还在楼梯间爬上爬下地计算走法呢!
小五生终于得到了一下结果。

摘自:http://zhidao.baidu.com/question ... r=qrl&fr2=query
从只有一级时级开始考虑.
共一级时1种,共二级时2种, 共有三级时第一步若迈一级, 则剩下二级, 迈二级, 则剩下一级, 迈三步则正好. 所以共有2+1+ 1= 4种.
按这种方法得到递推公式
S4=S3 + S2 + S1
所以S10=274种.
好多啊, 幸亏没挨个数.

笨爸爸在楼梯间喊道:“儿子,我都爬了N次楼梯了,你有没计算出来啊!”
小五生忙道:“不用爬啦,我已经发现错误了。”
笨爸爸气喘吁吁地回到屋里,一边那毛巾擦汗一边责怪小五生:“儿子,那是爬楼梯啊!你这一错不打紧,我白爬了多少楼梯啊。”
小五生噘嘴辩解到:”我是错了,但是”错误“的结果是帮你减肥,这叫'负负得正'。你说过的,减肥茶就是质量不好的茶叶,一个道理,蒿?!“
============================
另有chenhao920的正宗解法,详见
http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4614542

ccpaging这个笨爸爸同学目前爬楼梯减肥中、、、!

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-15 15:28 编辑 ].

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余数的活用(续1237楼)

  儿子遇到了一个令人不安的问题。问题不在不会做某道题,而在早先学过的一些数学连最基本的东西都没有过关。
  这次周未卷有一道题:有3叠本子,每叠42本,平均分给5个小朋友,至少再添加几本才正好分
  儿子苦着脸来找hxy007,他说:不管怎么添,都没办法做到正好分完?
  怪哉!007赶紧让他说说,他是怎么分的。儿子立即拿出他打过的草稿,被制止。007要他当面算一算,讲一讲:到底怎么个分不完?
  儿子说:5个小朋友要分的本子总共有42*3=126(本),126/5=25……1(本);要是添加1本,就是127本,127/5=25……2(本);要是添加2本,就是128本,128/5=25……3(本)。你看,不管加多少本,总是会多出几本来。
  我晕,到小三第二学期了,还会有这种高论!看来,当年儿子学除法和余数,学得不扎实。或者说,当年老师教除法和余数,教得太快,并没有让学生真正理解、领会除法及余数的概念。这一课得赶紧补上!
  007顺着儿子的思路开始装傻表演:是耶!——129/5=25……4(本); 130/5=25……5(本);131/5=25……6(本)。看来,你说得对,好像是不管126加多少都没有办法让5除完。
  儿子满脸狐疑,看着老爸边说边写。当007说到余数是6时,他再也忍不住了:这个余数不可能是6!他用竖式演算出131除以5得26余1,试图以此说服他老爸。
  007不买帐,也用竖式演算:131除以5,得25余6。
  看着007的演算过程和结果,小三生气坏了,憋了好一会儿,终于说出了反驳的理由:老师说了,余数不能和除数一样大,更不能比除数大。
  反问:余数为什么不能和除数一样大?余数要是和除数一样大,那就表示什么?
  答曰:余数和除数一样大,就表示被除数可以除尽,商要再加1。
  又问:我们试着做了这个题,哪个数可以被5除尽啊?
  子曰:130.我知道了,这个题目的答案是4!
  父:你是怎么样算出来的?
  子:先给126加1,看看能不能被5整除。不能整除的话,就加2,再看能不能被5整除……试到130,130能被5整除。所以130-126=4(本),要再添加4本才能正好平分。
  父:这个题目真烦人,是不是?有没有更好的办法?
  儿子露出一副困顿不解的样子。007看着,快要崩溃了,压住火气问:126不能被5整除,是不是?
  是。
  余数是多少?
  1。
  能不能让126变成一个别的数,好让它能被5整除?
  能。这个数是130,126变成130就能被5整除。
  我还有其它答案,126变成135、140、145……都能够被5整除。也就是说,126加4、9、14、19……都可以被5整除,所以你的答案好像不对哟!
  儿子这会儿脑子转过来了:题目是问“至少再添加几本才正好分?”所以答案应该是4,不是比5大的答案。
  007不依不饶:你为什么提到5?为什么答案一定要比5小?
  子答:余数1加上4,就够被5来整除了。
  007加了一把火:那么,你这答案除了可以用130-126算出来,还可以什么办法算出来?
  子恍然大悟:5-1=4.
  什么意思?
  除数减去余数,这个得数加到被除数里,它们的和就可以被整除。
  007肯定了这个总结,但意犹未尽:刚才说,让126变得再大一些,说不定就可以被5整除。现在来看一看,126不变大,能不能被5整除?
  子曰:不变大,就变小。126变小一些,也有可能被5整除。
  比如说,变多小?
  126减去1,得125,可以被5整除。
  还有呢?
  120也可以被整除。对了,我想起来了——只要个位数是0,或者是5,这样的数都能被5整除。

  LP旁听了许久,火冒三丈,忍无可忍,把父子俩狠狠地教训了一番:这是一个故事!说的是5个小朋友分126本本子,平均分下来,多出了1本。现在要你们想个办法,让他们每个人分得一样多。
  007立即响应:对对对,这个问题很简单。要是让我来分,我就把多出的那1本藏起来,让他们分125本,不就正好可以平分了吗?我要是很自私,还可以藏6本,藏11本……让他们平分得更少。
  儿子好像也豁然开朗:现在多了1本,要是让我分,我就再多给小朋友4本,加起来是5本,5个小朋友每人又可以多平分1本。要是还有更多的本子,我就会加9本、14本、19本、24本……小朋友们就会平分到更多的本子。

  对于孩子来说,除法的概念和运算规则以及余数概念,如果脱离了生活,就会变成一些十分抽象而毫无意义的东西。如果要使孩子获得其意义,就要不断地联系现实的生活,去使用这些概念和规则。这是LP大人给007的教训。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-3-13 17:52 编辑 ].

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回复 1262#hxy007 的帖子

个人以为这就是属于”三基“的内容,要反反复复地搞,会越来越清晰,越来越扎实。

学好”三基“,中学、大学会走的很顺,”道路越走越开阔“(宋祖英的配唱)。

另外,如学过点、线、面、体以后,有几个必须要问的问题:
点的长度是多少?线的粗细是多少?平面的体积是多少?

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-14 23:19 编辑 ].

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引用:
原帖由 hxy007 于 2009-2-14 22:31 发表 \"\"
  儿子遇到了一个令人不安的问题。问题不在不会做某道题,而在早先学过的一些数学连最基本的东西都没有过关。
  这次周未卷有一道题:有3叠本子,每叠42本,平均分给5个小朋友,至少再添加几本才正好分?
   ...
这题我家倒是一下子就出来了,可是后面那道汽车运输的题目让我看的冒火,虽然答案是对的,可是明明可以一步到位的题,硬是排了三个式子!害的船长老爹使出杀手钳用汉堡包来举例,小家伙眼一抬立马就得出了答案,问他解题过程,他好是得意,还被他嘲笑了一番。 看来汉堡包的刺激力够强.

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美国小学四年级的奥数题

我儿子在美国学校里参加了奥数班。  三年级下学期所有三年级学生参加一个智商考试, 通过的学生四年级开始在课余可以参加优才班活动(英文叫GATE (gifted and talented) Program). 他们今年的优才班活动是做奥数题。 每星期一, 星期二下午2:20 到3:00.  

我也去旁听了几节课。  每节课老师会发一张卷子, 每张卷子上有五道题。 每道题要在规定时间内完成。他们一道一道题做。  就比如, 老师说现在大家一起做第二道题, 四分钟后停止, 老师请会做的学生上来讲解。 等他讲完, 老师问:“有跟他不同的解题方法吗?” 所用解法不同的学生一个个上去讲一下。  然后做下一道题。  如果没有人会做, 老师会提示一下, 提示到大家会做了, 然后就像上边的程序一样, 学生做, 学生上台讲。  老师一点也不赶时间, 能讲完几道就讲几道。

每个月会有一次考试, 全国参加奥数活动的小朋友考同样的卷子。 但不会评名次, 小朋友只知道每道题各有百分之几的人做对了。

这是他们上星期做的几道题:

1. (4分钟) 在50和60之间的所有质数的和是多少?

2. (4 分钟) 小明把一个自然数除以2, 把所得到的商减6, 给得到的差开平方。  在平方根上加1. 把和再开平方。 最后得到3.  问小明最初的数是多少?

3. (6分钟) 在一条线段ABCDE上, D是AE的中点, BD的长度是AB长度的2/3. BC=CD. 问: AC是AE的百分之几?

4. (7分钟) 把两个小于20的连续自然数相乘, 再在积上加17.  你会发现有且只有两组自然数经过运算后结果不是质数。  找出这两组数。

5. (5 分钟) 一个电子表上的时间表达方式为: HH:MM. 在一天的7:59am和2:59pm之间有多少分钟HH比MM大?

[ 本帖最后由 小鹿 于 2009-2-15 13:50 编辑 ].

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回复 1265#小鹿 的帖子

这个方法不错,很像设想的“我不知道”数学社。尤其喜欢不赶时间的氛围。似乎也解决了一个悬而未决的顾虑,如果台下坐了一窝像我这样的笨爸爸和装傻充愣的聪明妈妈,孩子们也能通过孩子们之间的互动变得越来越聪明。

子曰:”三人行,必有我师焉。择其善者而从之,其不善者而改之。"

似乎以孔老师的想法,善者为师,不善者亦可为鉴,为师者不一定是“达者”。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-15 17:33 编辑 ].

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揪坏蛋:无穷的探索(续二)

引用:
原帖由 ccpaging 于 2009-2-14 21:45 发表 \"\"
爬楼梯减肥之五年级奥数题
某人要从第一阶楼梯走到第十阶楼梯,他共有三种走法:一次一阶,一次二阶,一次三阶,则他走完这十阶楼梯共有多少种不同走法?
答案是274种。问:如何解?
  前面刚刚说过,那道“铁人三项赛”题电量过大,会烧坏小学生的脑子。这道“爬楼梯减肥”题就更不像话,因为它的电量更大,更有可能要烧坏小学生的脑子。好在ccpaging把它变成了一场妙趣横生的数学搞笑游戏,不但降低了此题的难度,增加了趣味性,也提供了一种可行的思路,推动着孩子从尝试-错误中,逐渐探索,寻找到答案。相信老师们也有这种智慧,就是不知道有几个老师有这份胆识和耐心——用几节课的时间解决一个问题,是不是效率太低了?!
  可是,这样的耐心,引导孩子慢慢地探索,收益是巨大的。想想看,经历过这种探索的孩子,对数学会有什么感受?除了成功地解决一道难题,更重要的是,他对自己的数学能力充满自信,他得到了一次生动活泼的排列组合启蒙教育,不但受到严谨而灵活的数学思维方法的训练,也对数学充满好感——他一定会爱死迷死数学的。这样慢慢来,很值得哟!
  受此题及ccpaging搞笑方案的触动,先前那道“揪坏蛋”的变态小奥又勾起了hxy007兴趣。儿子不提,难道老子就不去思考了吗?不是说爸爸是儿子身后的那朵浪花吗?得作好准备,说不定哪一天儿子就会旧题重提。

  (九)“三分重组法”辅导方案:爸爸的设计

  第1134楼曾经提到:
引用:
原帖由 hxy007 于 2009-2-4 16:39 发表 \"\"
  前面的试验性探讨显示,二分法、三分法、四分法都包含了4种可能,其中3种可能,秤3次就可以锁定目标并识别其轻重;唯六分法出现了6种可能,其中3种需秤3次,另外3种需秤4次。比较而言,六分法似乎最不合理。有趣的是,儿子恰恰是在使用六分法进行探索时,出现了前面未曾有过的尝试——为了找到解决办法,他试图在车马炮兵仕相等6组之中寻求不同的组合,这等于是在三分法中寻求跨组的组合。
  儿子甚至想把双炮、双兵、双仕、双相分别拆开来重组。为了方便和明显起见,007建议他撤下一半的红棋,再补充黑棋车马炮卒士象各一个,跟留下的红棋车马炮兵仕相等6子配起来。这种搭配,更加明显地提示了各种可能的重组,把儿子看得头昏眼花,不知所措。
  太复杂了!儿子把握不住,放弃了,对007嚷道:老爸,我头晕!
  那就算了。小小年纪能够想到不断重组这一层,已经难能可贵。足矣!
  儿子当时放弃进一步思考,除了问题本身过于复杂之外,还与探索的工具不适当有关。黑棋车马炮卒士象和红棋车马炮兵仕相混在一起,确实会令人眼花瞭乱,搞乱思路。看来,探索所使用的工具是非常重要的。适当的工具,可以起到提示方法和降低探索难度等作用。为孩子挑选适当的探索工具,也是亲子数学的题中之意。儿子在探索“揪坏蛋”的方案时已经用过了四色飞行棋、国际象棋、中国象棋,这一回得让他使用陆战棋了。
  为了让题目与探索工具统一起来,007把JJ出的那道题改编了一下:

  某陆战棋生产厂家的质量检查员向总经理J夫人报告,最近生产的陆战棋可能存在质量问题。因为他发现“司令”、“军长”、“师长”、“旅长”、“团长”、“营长”、“连长”、“排长”、“工兵”、“炸弹”、“地雷”、“军旗”这12种棋子中,11种重量一样,但有一种棋子跟其它棋子的重量有比较明显的差别。J夫人立即找来技术员,要求他用天平秤12个不同的棋子,只准秤3次,但必须找到那个重量不一样的棋子,并且查明它是比其它棋子重还是比其它棋子轻。假如你就是那个技术员,你会怎么秤呢?

  先让007当一回技术员吧。007从儿子打乱棋子重新编组的尝试中受到某种启发,琢磨着怎么通过不断重组的方法,秤三次就揪出那个坏蛋,而且知道它的轻重。12个棋子,每次秤8个,这种组合太多,情况太复杂,007把握不住,无数次的尝试都失败了。007只好改弦更张,另谋出路。ccpaging这个“爬楼梯减肥”的故事,还真地启发了007。秤三次保证揪出坏蛋,仿佛又出现了希望的曙光!
  不但用三分法秤12个棋子存在许多种组合,三次秤下来的结果也会存在多种排列。因为每一次秤的结果只有3种可能的结果,要么天平保持平衡,要么天平左倾,要么天平右倾,因此三次秤下来有3*3*3=27种结果,即平平平、平平左、平平右、平左平、平左左、平左右、平右平、平右左、平右右,左平平、左平左、左平右、左左平、左左左、左左右、左右平、左右左、左右右,右平平、右平左、右平右、右左平、右左左、右左右、右右平、右右左、右右右。
  可是,在007设想的秤量方案中,那12个棋子个个都要至少过1次秤,潜藏于其中的坏蛋自然不可能幸免,因此不可能出现三次秤量的结果都是天平保持平衡这种情况,接下来就不必考虑“平平平”这种可能的结果了。其余的26种可能,可以组合成13对相反的结果,即平平左-平平右、平左平-平右平、平左左-平右右、平左右-平右左、左平平-右平平、左平左-右平右、左平右-右平左、左左平-右右平、左左左-右右右、左左右-右右左、左右平-右左平、左右左-右左右、左右右-右左左。007在想,要是从这13对结果中选出12对,与12个棋子匹配,似乎就可以变成揪坏蛋并识别其轻重的识别码。
  选哪12对呢?随便选,应该都可以吧。但007怕麻烦,考虑到已经排除了“平平平”,凭着直觉感到其它含“平”的结果都应该保留。那就只能从那4对不含“平”的结果中排除1对了,排除谁呢?随便排除谁,肯定都可以。可是,007深受古典数学思想的影响,极其崇拜数学中的对称结构。既然已经排除了“平平平”,凭着对称美的直觉,决定让“左左左-右右右”出局。剩下的12对可能的结果,便构成了007揪坏蛋的识别标准。
  原以为有了识别标准,设计出秤量方案应该一帆风顺了。孰科一尝试,立马撞到南墙上。看来,还有一些东西需要考虑。这12对识别码,007用左半边来界定坏蛋“较重”,右半边用以界定坏蛋“较轻”。可是,照着前面的组合去设计秤量方案,就会出现一次秤量左右两边的秤盘上棋子个数不等这种咄咄怪事!
  初次设计失败的教训是:第一,这12对识别码左右两半中所含的可能结果加起来,应该各有12次“平”、12次“左”、12次“右”;第二,就左半边的识别码而言,第一次、第一次、第三次秤量所含的可能结果加起来,应该各有4次“平”、4次“左”、4次“右”(左半边做到了,右半边自然随之做到)。惭愧啊,007的矩阵没有学好,或者说学过的矩阵知识都还给了老师,只好用手工调整部分识别码的左右位置,以达到上述两点要求。这种原始办法,弄得007顾此失彼,焦头烂额,费了老大的劲,才弄出一个结果来。
  下面就是修正过的揪坏蛋识别标准:

  司令重(轻):平平左(平平右)——若第一次秤为平,第二次秤为平,第三次秤为左倾,则司令较重;反之,若平平右则司令较轻。下同。
  军长重(轻):平左平(平右平)
  师长重(轻):平右右(平左左)
  旅长重(轻):平左右(平右左)
  团长重(轻):左平左(右平右)
  营长重(轻):左左平(右右平)
  连长重(轻):左右平(右左平)
  排长重(轻):左右右(右左左)
  工兵重(轻):右平平(左平平)
  地雷重(轻):右平左(左平右)
  军旗重(轻):右右左(左左右)
  炸弹重(轻):右左右(左右左)
  
  有了系统的识别标准,接下来就是按此标准设计秤量方案了。第一次、第二次、第三次秤时,左秤盘应该放哪几个棋子,右秤盘应该放哪几个棋子呢?007的脑子有点乱了,这个秤量方案就请J姐或她家小五代劳来设计吧!007等着用这个方案和小三生共同探讨呢。

未完待续……

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-2-17 00:19 编辑 ].

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回复 1267#hxy007 的帖子

小五下午考完小机灵,现在连脑筋都不愿意动
我倒是感兴趣上面那些美国奥数题呢,小五他爹那种奥数弱智的人都说这些题目好,有根有据,不像我们那些减肥题登山题不着边际。可是,两个笨蛋男人对第4题苦思冥想半天做不出来,还是我,聪明,半分钟解决问题,答案是16、17和17、18,因为,(16X17+17)/17=17,(17X18+17)/17=18,只有它们不是质数,了不起吧,美国小四毕业咯!.

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回复 1265#小鹿 的帖子

真有意思,美国人出题目也用”小明“。

这种以孩子为主体,也不排名次的做法好,没有那么功利。题目也适合孩子的水平。.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-2-15 21:30 发表 \"\"
真有意思,美国人出题目也用”小明“。
原题里不是小明, 这不是我翻译了一下吗。

原题里叫Adnan.  (做题的时候小朋友可以直接称呼他为A.  题目里有几个人的话一般命名他们为: Amy (or Albert), Betty (or Brett), Cindy (or Cate), ....  )

[ 本帖最后由 小鹿 于 2009-2-15 21:53 编辑 ].

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发重复了

[ 本帖最后由 小鹿 于 2009-2-15 21:54 编辑 ].

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回复 1267#hxy007 的帖子

不好意思,没怎么看明白。

前面不是已经解决了第一次出现持平的情况了吗?这次完全可以减小点问题的规模啊。.

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回复 1270#小鹿 的帖子

他们起名字方便,A啊B啊的,一会儿就有方程的雏形了。我们是小明、小……我怎么就知道小明的?.

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引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-2-15 20:44 发表 \"\"
答案是16、17和17、18,因为,(16X17+17)/17=17,(17X18+17)/17=18,只有它们不是质数,了不起吧,美国小四毕业咯!
完全正确!  我们可是从1x2开始一项项检查才得到这个结果的!得到结果了才恍然大悟因为 16x17是17的倍数, 再加17仍然是17的倍数, 所以结果就不是质数。

后来小朋友说17这么神奇啊!  那20以内还有没有别的数也是这样的呢?  大家算了一下, 19不行(1x2+19不是质数), 13也不行(3x4+13不是质数)。 11好像可以, 但没来得及检查到最后几组。

[ 本帖最后由 小鹿 于 2009-2-15 22:09 编辑 ].

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回复 1274#小鹿 的帖子

从1x2开始一项项检查,7分钟时间不够呢。奥数有别于数学的地方就是有时候不能死算,要找规律。.

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那不是第一次做这种题吗 , 下一次再碰到这种题几秒钟就解决了。

而且我觉得一开始只有这样小朋友才能彻彻底底地明白这类题目。.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-2-15 21:55 发表 \"\"
不好意思,没怎么看明白。
前面不是已经解决了第一次出现持平的情况了吗?这次完全可以减小点问题的规模啊。
  这次采取的思路是,第一次一个也不搞定,第二次也搞不定,到第三次全搞定。我已经提出了识别标准,也提出了秤量方案的设计原则,就差具体的秤量方案了。J姐也在网上,不知是否有兴趣一起来讨论。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-2-15 23:23 编辑 ].

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回复 1276#小鹿 的帖子

你们那里白人孩子表现如何,是不是华人更聪明?.

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引用:
原帖由 小鹿 于 2009-2-15 22:08 发表 \"\"
那不是第一次做这种题吗 , 下一次再碰到这种题几秒钟就解决了。
而且我觉得一开始只有这样小朋友才能彻彻底底地明白这类题目。
[  启蒙不要快,快了会似懂非懂,而且容易挫伤探究的积极性。还是慢慢来,比较合乎认识规律。.

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回复 1277#hxy007 的帖子

我正在阅读你的方案。.

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倒也不一定华人小孩更聪明, 但华人小孩(其实应该说亚洲小孩)在父母的管理下更用功, 更忙碌一点。 于是考试成绩要好一点。

[ 本帖最后由 小鹿 于 2009-2-15 22:20 编辑 ].

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回复 1277#hxy007 的帖子

我怎么觉得你这套思路有问题,你好像想找出通项公式呢,难怪头大。.

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引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-2-15 22:37 发表 \"\"
我怎么觉得你这套思路有问题,你好像想找出通项公式呢,难怪头大。
  依稀记得中学时玩过类似的题目,但需要排查的可疑分子没有这么多。具体怎么弄记不清了,我现在也是在边写边想,有点眉目了,但还没有经过检验。要不,再等一会儿,我写出来,请你及火车老师审查一下?

  算了,暂不公布。相信J姐家的小五能够照着识别标准设计出秤量方案。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-2-16 03:56 编辑 ].

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回复 1283#hxy007 的帖子

我说老7,咱先88,明天再来验收。.

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引用:
原帖由 小鹿 于 2009-2-15 22:01 发表 \"\"
完全正确!  我们可是从1x2开始一项项检查才得到这个结果的!得到结果了才恍然大悟因为 16x17是17的倍数, 再加17仍然是17的倍数, 所以结果就不是质数。
后来小朋友说17这么神奇啊!  那20以内还有没有别的数 ...
  要是在一张普通的试卷上出现这道题,我也会老老实实从1x2查起,或者倒过来从18x19查起。但要是知道是在做变态的奥数,那我可不会那么老实。我可能也会像J姐一样,首先想到的是17前后那两个数,何况17这家伙就是个质数。这种巧妙的方法好像并不是数学探究的正路,老老实实地有序试算似乎才是正门武功。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-2-15 23:33 编辑 ].

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可以看了

哈哈,周五订了套《可怕的科学》,周日就送到了
可是多了本《太空旅行记》,少了本《电影特技魔法秀》
不过可以先看起来了.

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有序试算才是正门武功

引用:
原帖由 hxy007 于 2009-2-15 23:18 发表 \"\"

  这种巧妙的方法好像并不是数学探究的正路,老老实实地有序试算似乎才是正门武功。 ...
同意。
直觉不一定时时有,不一定事事有
在我原来的学习过程中,一直都有碰到直觉超好的同学,十分佩服,也有些崇拜。自己也偶有这种有感觉的时候,不是经常。所以,“直觉”的问题就是不太可靠,而我们学习和探究要解决的是没有直觉的时候,应该怎么办。

有且只有
就这道题而言:
4. (7分钟) 把两个小于20的连续自然数相乘, 再在积上加17.  你会发现有且只有两组自然数经过运算后结果不是质数。  找出这两组数。
作为一个命题,里边有2个关键词十分重要“找出这两组数”和“有且只有”,如果只给出的答案“16/17”和“17/18”似乎只证明了"有",未能进一步思考“只有”。“有且只有”数学里边非常常用的表达方式,似乎数学总是已这种方式向世人证明其严密性。

没有对“只有”做进一步思考,便不会有这种感觉:
“后来小朋友说17这么神奇啊!“
也没有更进一步的探究:
”那20以内还有没有别的数也是这样的呢?  大家算了一下, 19不行(1x2+19不是质数), 13也不行(3x4+13不是质数)。 11好像可以, 但没来得及检查到最后几组。”

后两步可能正是数学让人着迷的地方。

更正hxy007
hxy007所说“有序试算似乎才是正门武功”是不对的,应该改成“有序试算是正门武功”

同时,我仍然会崇拜拥有直觉的人,我也会沾沾自喜于曾经拥有过的直觉。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-16 14:54 编辑 ].

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值得思考的问题:先立后破

春节期间,我带Alex及其爷爷一起拜访了我大学的老师,老师给我提出一个有针对性的建议“先立后破”,并解释到:
“立是指先教授正确的概念、理论和方法,破是指质疑概念、理论或者尝试不同的方法”
当时我仅仅是记下老师的谆谆教导,并不十分明白。

经过一段时间的思考,有一DD心得,与大家共享。

(抽空慢慢写,这似乎跟教育理论有关,请教育方面的达人多多指教)、、、

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-16 11:58 编辑 ].

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回复 1286#cks_gs 的帖子

  恭喜!祝贺!!
  多一本少一本都没有关系。孩子能够认真读完其中的几本,就受益匪浅了。.

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回复 1289#hxy007 的帖子


孩子昨晚就开始读了第一本《雨林深处》,爱不释手
与店家反映的结果是再给我一本《电影特技魔法秀》,多的《太空旅行记》也不用退了,他嫌麻烦。
谁想要我可以送一本《太空旅行记》,不过要等《电影特技魔法秀》到了才行。.

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“揪坏蛋”识别标准(修订版)出炉

引用:
原帖由 Jupiter 于 2009-2-15 23:18 发表 \"\"
我说老7,咱先88,明天再来验收。
  JJ并火车老师等BBMM,昨天偶炮制的那个识别标准确实存在问题,表述也不清楚。已经改正过来了(见第1267楼)。根据识别标准修订版,似乎可以编制一个合乎要求的“三分重组”秤量方案。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-2-16 11:45 编辑 ].

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引用:
原帖由 ccpaging 于 2009-2-16 10:05 发表 \"\"
hxy007所说“有序试算似乎才是正门武功。”是不对的,应该改成“有序试算才是正门武功。”
  感谢指正!偶也是这个意思,可是,矩阵知识都丢了的人,是没有底气说得这么肯定的。.

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引用:
原帖由 cks_gs 于 2009-2-16 11:42 发表 \"\"

孩子昨晚就开始读了第一本《雨林深处》,爱不释手
与店家反映的结果是再给我一本《电影特技魔法秀》,多的《太空旅行记》也不用退了,他嫌麻烦。
谁想要我可以送一本《太空旅行记》,不过要 ...
我这好像多一本《电影特技魔法秀》,交换之。待我找Alex确认后,短您。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-16 11:51 编辑 ].

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有这么巧的事??
期待ing.

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回复 1291#hxy007 的帖子

好像难度很大。而且,感觉把问题复杂化了。.

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引用:
原帖由 火车是运茶的 于 2009-2-16 14:42 发表 \"\"
好像难度很大。而且,感觉把问题复杂化了。
同感。似乎有一个先立再破,和如何“立”的问题。个人建议,立论如山,简单明确,尤其是全新的概念时,从最简单的入手为宜。

1、hxy007的余数研究,是一个破的过程,因为前面立的过程已在课堂教育中完成了。
2、ccpaging比较得意的集合问题,先从3个人,2:2简单问题入手,明确新的概念,以此立,再扩展到多个。
3、ccpaging比较郁闷的是爬楼梯,没有在1-4级楼梯的时候立,直接去破10级楼梯,故吃力不讨好。

一点浅见,供斟酌。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-16 14:51 编辑 ].

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回复 1291#hxy007 的帖子

兴致勃勃跑来看答案,结果还是一头雾水,换汤不换药,吓得我也不敢讲话,现在好了,有火车开道,我说老7,全是未知的,你排来排去想干嘛? .

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回复 1287#ccpaging 的帖子

还没说你呢,我好不容易来一次灵感就没你贬得一文不值!
没听说过吗,要踩着先人的肩膀往上爬,好像是这样说的如果把所有的数都验算一遍,我们就成先人了。

[ 本帖最后由 Jupiter 于 2009-2-16 14:50 编辑 ].

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回复 1298#Jupiter 的帖子

我崇拜有灵感的人哦!.

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回复 1295#火车是运茶的 的帖子

  我也觉得设计上难度大,但觉得设计出来后,一看又觉得不难了。这是我的感觉,究竟如何,大家来评议。容我再检验一遍,立即上传。.

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