有11个球，每个球的重量都是整数，任取其中10个，都可以分成重量相等的2组，且每组都有5个球。
求证：每个球重量均相等。.

这个问题不是初预的啊。
严格来说最好说是高三的。
：）.

任取10个球，其和为偶数。所以这十一个数同奇偶。
如果是都是偶数，将这十一个数统统除以2；如果是奇数，加1再除以2。

以上过程可以重复无限次。
如果有一个不相等，那是不可能的。.

问题是小子在问我，而且他还嚷嚷着说这是显然的。
显然的，这话不太好说，似有打滚之意。.

哈哈，说显然就是在打滚。拉出去杖三十。.

题目中“每个球的重量都是整数"是必要条件吗？如果不是，结论会变化吗？.

必要的，奇偶性必须整数才行。无穷递降也必须整数才有矛盾。.

这道题的确来自于某小学奥数测试，我布置过作业，但是问题难度的确太大了。
如果把“整数”这个条件换成“有理数”，这个结果还是成立的。统分、都同乘分母就转换为整数问题了，所以也是成立的。
如果范围扩大到“实数”，构造反例也不容易。.

有理数就是整数啊，当年有人就为了“万物皆数”被扔到海里去的嘛。

无理数也许也是没有反例的，但是证明也许就不这么简单了。
感觉上无理数也是没有反例的，大概是所有的无理数部分也能分组吧。.

我想，实数范围内肯定是没问题的，大不了kg换算为mg，或者定义1/7kg等于*kg，根号3kg等于@kg。
总之，总能在数字上变为整数。.

再探讨，似乎“且每组都有5个球"亦非必要条件。.

每组五个恐怕是必要的吧。否则有反例：一个9，其他十个1。

否则每个加一，仍然满足条件就不满足了。

[ 本帖最后由 老猫 于 2007-8-25 23:49 编辑 ].

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-8-25 23:20 发表
我想，实数范围内肯定是没问题的，大不了kg换算为mg，或者定义1/7kg等于*kg，根号3kg等于@kg。
总之，总能在数字上变为整数。

乱讲

你的这个解释实际上是认为世界上所有的数都是有理数。或者说都是可简约的。：）.

既然1/3米等于1尺，为啥不能说根号3米等于1@尺？
当根号3米等于1@尺时，1米就是无理数个@尺了呀，所以，还是有“有理““无理”之分的。.

说得有理。
俺在瞎讲，纯属胡闹。

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-8-26 00:42 编辑 ].

既然有人已经说了俺有理，那就要有理到底。

顺便做一下科普工作。
为什么把整数和分数叫做有理数呢？其实这是一个美丽的错误翻译，有理数，英语是“rational number”。“ rational”的常意是理性的、合乎情理的意思。当初小日本把它翻译成有理数，我们又从鬼子那里翻译成中文，于是就发生了这种失误。其实“rational”还有另外一种意思就是比。那么“rational number”就是指：可以精确的表示为两个整数之比的数。这不就清楚了，整数和分数不就是可以表示为两个整数比的数吗？

日本鬼子真的不可信。大家要牢牢记住历史教训啊。.

1、穷寇莫追，要不寇就就地打滚了；
2、细想本题真的有“显然的”之意——任意性和对称性，比方说将“重量”改为“颜色”。.

有漏洞.

当然有漏洞，换一个球，可以换左右的原来的球的。.

好复杂啊！.

什么叫1@尺?.

...........................

哦，那是兄弟随便杜撰的。
意思是，定义1@尺=根号3米。
于是，诸如2根号3米就等于2@尺了，目的是为了将无理数“根号3”转化为有理数。.

这个问题对于实数也成立，把11个相等条件看成11个线性方程组，用线性方程组的基础解系来解决。这个问题放到中学确实不太合适，如果是整数的话，中学高年级倒可以试试，学习无穷下降这种思想。.

实际上就涉及数学学什么的问题了。

如果通过这一道题目，能让孩子有一种无穷递降的感觉。那就赚了。

我一般来说要用求证根号2是无理数，来让孩子感觉一下无穷递降。.

什么是有实际意义这个问题本来就是难以回答的深奥问题，体操、跑步、奥运乃至其它与吃饭没有关系事情哪些有实际意义？花时间搞清楚这些问题，可能一生也就过去了，“研究哪些问题有实际意义”有没有实际意义？
存在就是合理的，相信小孩到了学奥数的年龄的时候，家长大多也能逐步理解这个道理。
奥数和体操比较接近，可以说是思维体操，通过学习奥数，能够锻炼思维能力，培养严谨的逻辑思考能力。里面涉及到的定理、定义，绝大多数都会忘记，但是无形中提高的“功力”是伴你一生的。奥数本身的学习过程难道不是很有趣的人生体验？不是每个人学习奥数都要去参加IMO的，就如同人人锻炼身体但只有少数人参加奥运会。
有不少人回过头认为学习奥数对自己有害，这很正常，比如也有很多人认为读大学、读书、工作对自己也没有多大的用。
你小孩可能比你更适合学习奥数，你小孩的家长可能比你的家长出色，你提供给小孩的环境可能好于你家长提供给你的环境，你小孩的奥数老师可能好于你以前的奥数老师。。。。。。
好的数学也是一门艺术，学习过程中也能够体会到一种“美”。
我还体会到另外一个来自奥数的好处：因为很忙平时和小孩交流的较少，一年以来通过和小孩共同探讨、学习奥数问题，父子间加强了了解，相互欣赏促进了交流和感情，所以也可以算是一种高层次的亲子活动。
喜欢你要做的每一件事，喜欢你即将做的每一件事。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-31 08:01 编辑 ].

我同意aigleracer兄反对全民学奥数，但是反对他认为奥数是小聪明、无用的想法。

所谓“无用乃大学”
如果奥数看不到任何作用，那它的存在就变成一件很可疑的事情。
个人认为奥数，甚至整个数学学科，其可以应用的部分都是极小部分。甚至有人要将应用数学赶出数学系。：）
数学给整个人类带来的是一种思维。是一种渗到你骨子里面的东西。很多年前，美国有个邮包炸弹杀手，写了一篇批判工业时代的檄文。结果立刻有人认出来，说这个邮包杀手至少是一个数学博士。这就是不经意之间，已经被渗透了。
学数学的人，也许会被人认为呆。但是他这种“呆”其实是大多数人无法理解的一种执着。你说的大多数学了数学的人去做金融等等事情，没有错，因为他们没有那种执着，有这种执着的人是很少的。放弃数学的人做了其他的事情，也许碌碌无为，也许大红大紫，但是他们的心中已经打下了数学的烙印。
有学生问过我，你将来能成为一个数学家吗？答，“不可能，我没有那份执着，也没有那份天赋，将来能被称为‘数学教育家’就满足了。”

所有的事情要一分为二，全民学奥数也是一样。
坏处aigleracer兄已经说的够深刻了，我再补充一点：由于全民学奥数，大量的孩子被迫在题目中沉浮，结果会严重打击他们玩自己喜欢的东西，造成千人一面。
好处也是有一点点的：就是那些原本要很久以后，到了社会上才会被发现的执着之人，在初中甚至小学就被发现了。于是针对他们有了更好的教育。

我们讲有教无类，但是也要讲因材施教。如果一个不适合学奥数的在学奥数，那是一种浪费；但是一个适合学奥数的被放过了，也是一种浪费。.