解答②“一共可以得到170段长短不一的短棍”说明被染色的点的个数正好是169,也就是说(n-1)+(m-1)-x=169,把①的结果带入我们得到n+m-(m,n)=170;
另一个关键点是“最长的小棍”=?,仔细分析不难发现在m>n的假设下,只有长为n的段是最长的段。而长为n的段是由两端红色点组成的,红色的点先把木棍分为m个长为n的小段,但是后来其中有些段当中被黑点“污染”了,我们的条件实际上是说正好有100段没被污染。这样我们就不难把“最长的小棍有100根”转换为另外一个方程m-(n-1)+x=m-n+(m,n)=100;
把两个等式相加我们得到2m=270,因此m=135,再代回原方程我们得到n-(135,n)=35,由于(135,n)是n的因子,因此它也是等式左边的因子,所以(135,n)也是35的因子,这样只能有(135,n)=1或5,如果(135,n)=1,代入得n=36,但是此时(135,n)=9矛盾。所以只能有(135,n)=5,代入得到n=40。
不难检验m=135,n=40的确满足条件,是唯一的解。
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本帖最后由 wood 于 2007-4-20 07:03 编辑 ].