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[数学] 一道老题，是小学奥数题。

1楼天马行空任我飞 天马行空任我飞 (身未动，心已远) 发表于 2010-11-15 12:25  只看此人

一道老题，是小学奥数题。

8个互不相等的分数，其中每7个的和都是分母为24的正的既约真分数（分子与分母的最大公约数为1的真分数），那么这8个分数的和是什么？.

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2楼smartwxc smartwxc (......) 发表于 2010-11-15 13:45  只看此人
24=2×2×2×3，分母为24的正的既约真分数分子可能有24×（1-1/2）×（1-1/3）=8个，8个选7个就是不选一个，共有8个和，恰为这8个24的正的既约真分数，因为两两可配成1，这8个和=4，每个分数加了7次，4/7即为答案。.

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3楼和和美美 和和美美 (愿生活更美好) 发表于 2010-11-15 13:58  只看此人
小学生会做这些奥数代表了什么?

[ 本帖最后由 和和美美 于 2010-11-15 14:00 编辑 ].

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4楼天马行空任我飞 天马行空任我飞 (身未动，心已远) 发表于 2010-11-15 14:49  只看此人

谢谢，再请教。

如果其中一组7个分数的和是23/24，无论加哪个正分数也都大于4/7？
引用:
原帖由 smartwxc 于 2010-11-15 13:45 发表 \"\"
24=2×2×2×3，分母为24的正的既约真分数分子可能有24×（1-1/2）×（1-1/3）=8个，8个选7个就是不选一个，共有8个和，恰为这8个24的正的既约真分数，因为两两可配成1，这8个和=4，每个分数加了7次，4/7即为答案。
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5楼shayun shayun (happy) 发表于 2010-11-15 16:17  只看此人

回复 3#和和美美 的帖子

如果是独立思考出来的，那说明这个孩子已经拥有了一定的阅读能力（读懂了题目，知道需要我们干什么），还拥有对既约真分数概念的真正理解，并且具有初步的分析能力。当然，如果不是自己想出来的，而是老师家长教他怎么一步步得到答案，那么就算记住了解题过程，那也说明不了什么。当然，也许思考能力就是这么一步步训练出来的。

[ 本帖最后由 shayun 于 2010-11-15 16:23 编辑 ].

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6楼smartwxc smartwxc (......) 发表于 2010-11-15 19:40  只看此人

回复 4#天马行空任我飞 的帖子

您算错了吧，23/24除以7还不到1/7.

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7楼天马行空任我飞 天马行空任我飞 (身未动，心已远) 发表于 2010-11-15 21:55  只看此人

回复 6#smartwxc 的帖子

我的意思说：其中一组7个分数的和是23/24，无论加哪个正分数也都大于4/7？
而4/7是8个分数的和，唯一的解释就是8个分数中有负数。.

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8楼YIMX YIMX (......) 发表于 2011-2-15 19:12  只看此人
引用:
原帖由 天马行空任我飞 于 2010-11-15 14:49 发表 \"\"
如果其中一组7个分数的和是23/24，无论加哪个正分数也都大于4/7？
不是4/7，满足条件的和应该是4。（8个分数为1/24、5/24、7/24、11/24、13/24、17/24、19/24、23/24）。
但这只是其中一个解，此题多解。
解题思路是逆向思维：一个整数，减去一个分母为24的既约真分数后其结果必然也是分母为24的既约真分数。
再加上两个条件：八个分数各不相同；任七个分数相加为正；所以这八个分数是八个不同的分母为24的既约真分数。最容易想到的是上述答案。
但是如果把1/24换成25/24、49/24、73/24......或者把5/24换成29/24、53/24......条件也都是满足的，相应的和就变成了5、6、7......
甚至把1/24换成-23/24、-47/24、-71/24也可以，相应的和为3、2、1。
因此正确答案是“任意正整数”。


我觉得学奥数最大的好处是培养孩子们进行有意识的逻辑思维、逆向思维、发散思维。

[ 本帖最后由 YIMX 于 2011-2-15 19:26 编辑 ].

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9楼格妈妈 格妈妈 (简单生活) 发表于 2011-2-16 00:00  只看此人

回复 8#YIMX 的帖子

很有意义的题，您的分析给了我启迪，谢谢。
但是，“任意正整数”好像有些问题。

首先，要看题目的条件：
1、“8个互不相等的分数”。没有对正负限制。
2、“其中每7个的和都是分母为24的正的既约真分数（分子与分母的最大公约数为1的真分数）”。
第二点限定了“正的既约真分数”，这就说明这每7个的和小于1（真分数的定义）；也暗示了本题涉及到了负数的概念。

所以，应该说：满足条件的8个和是：1/24、5/24、7/24、11/24、13/24、17/24、19/24、23/24

则，原来的8个分数总和为：
（1/24+5/24+7/24+11/24+13/24+17/24+19/24+23/24）/7
=4/7

2楼的答案正确。

这8个数分别为：
4/7-1/24=89/168
4/7-5/24=61/168
4/7-7/24=47/168
4/7-11/24=19/168
4/7-13/24=5/168
4/7-17/24=-23/168
4/7-19/24=-37/168
4/7-23/24=-65/168.

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10楼YIMX YIMX (......) 发表于 2011-2-16 12:20  只看此人
引用:
原帖由 格妈妈 于 2011-2-16 00:00 发表 \"\"
很有意义的题，您的分析给了我启迪，谢谢。
但是，“任意正整数”好像有些问题。

首先，要看题目的条件：
1、“8个互不相等的分数”。没有对正负限制。
2、“其中每7个的和都是分母为24的正的既约真分数（分子 ...
正确。不好意思漏看了一个真分数的“真”字。.

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