[数学] 2010-1-3 初三

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这个题比前一阵那个取小球(非整数的)证明球相等的要简单多了
为了方便，记A1A2=a,A1A3=b,A1A5=c
原问题化解为1/a=1/b+1/c
即bc=ac+ab=a(b+c)

现延长A2A1至B1,使A1B1=c,继续延长A2B1至B2,使B1B2=b
延长A3A1至B3,使A1A3=c,连接B3B2,B3B1

角A1=A2=...=180-360/7
角A2A1A3=角B3A1B1=(180-(180-360/7))/2=180/7
所以角A1B1B3=(180-角B3A1B1)/2=90-90/7=540/7
    角B3B1B2=180-角A1B1B3=180-540/7=720/7

在七边形内取个三角形A3A1A7,有A1A7=a,A1A3=b,A3A7=c
   角A3A1A7=角A2A1A7-角A2A1A3
           =180-360/7-180/7=720/7

所以三角形A3A1A7 全等于 三角形B2B1B3
   所以角B3B2B1=角A1A3A7
而对于正七边形,所有边对应的圆周角相等,
   即角A1A3A7=角A2A3A1
所以角B3B2B1=角A2A3A1
所以A2,A3,B2,B3四点共圆,
  所以A2A1*A1B2=A3A1*A1B3
  即bc=a(b+c)
  即1/a=1/b+1/c
得证.

童爸，对你的解题功力甚是欣赏！.

求满足 [n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]<n 的最大正整数n。其中[x]表示不大于实数x的最大整数。.

冬瓜爸过奖了。
好久不见我们的猫老师，挺想念的。

这题先猜猜答案。
2*3*11*13=858
根据题意试猜答案，试试858*3-1=2573，不成立，再试试858*2-1=1715成立
年终较忙，证明的比较仓促。供参考。

设A(n)=[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]
1/2+1/3+1/11+1/13=859/858
所以A(858)=859，不满足不等式
2的最大余数是1，3的最大余数是2，11的最大余数是10，13的最大余数是12
设b=1/2+2/3+10/11+12/13=2573/858
可得 2<b<3

所以，对于任意n,都有n=858m+k，其中m>=1,0<k<=858
因为858=2*3*11*13,所以
A(n)=A(858m+k)
    =A(858m)+A(k)
    =859m+A(k)
    =858m+m+A(k)
现在先找到m是多少
  由题意知，需要满足 858m+m+A(k) < n=858m+k
   即 m+A(k) < k
  计B(k)为A(k)小数部分,则B(k)<= b =2573/858
  而 m+A(k)= m+k/2+k/3+k/11+k/13 - B(k)
           = m+(859/858)k -B(k)
           >= k+(k+858m-2573)/858
  上式 m>=3时，m+A(k)> k，因此m<=2, 即m=2或m=1
  即 2+A(k) < k 或 1+A(k)< k
设B(k)=C(k)/858，其中C(k)<=2573
而m=2时，有2+A(k)=2+(859/858)k -B(k) =k+(1716+k-C(k))/858
若要满足2+A(k)<k,需要(1716+k-C(k))/858<0
  即(C(k)-k-1716)/858>0
   由上述过程知 C(k)-k-1716 是858的整数倍，即C(k)-k-1716=858p (p为正整数)
   所以 C(k)=858p+1716+k > 2573 这与 C(k)<=2573矛盾
所以 m=1, 即 1+A(k) < k，此时，1=<  n=858+k  <=1716
接下来得1715

[ 本帖最后由 童爸0928 于 2010-2-1 17:39 编辑 ].

你对问题变复杂后的泰然处之的态度让我羡慕。
因为我做这题的时候知道它是初中竞赛题（有时间限制的哦），应该不会搞到你这么深奥。

下面是我的解法，
记f(n)=[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]
2*3*11*13=858, 1/2+1/3+1/11+1/13=859/858,且f(858)=859,
1. 注意到4个“[ x ]”运算丢失最多不过是1/2+2/3+10/11+12/13=4-859/858=3-1/858,
    而此时n取值为2*3*11*13-1=857 (mod 858)
2. 在0到857之间，只有当k=857时，f(k)=855,比k/2+k/3+k/11+k/13差得最多，也是比k差得最多，
     而此时，也不过相差2，
     所以当0<= k <= 857时，f(k)+2>=k   （这条得来似乎很容易，但证明已经够了！）
3. 于是当n>=2*858时，设n=m*858+k（其中m>=2,k在0到857之间）,
     f(n)=f(m*858)+f(k)=m*859+f(k)=m*858+m+f(k)>=m*858+2+f(k)>=m*858+k=n,
    即不会有满足题意的n
4. 余下的最大的数就是2*858-1=1715，经检验符合题意。

[ 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-2-1 23:20 编辑 ].

冬瓜爸写得简洁清楚，我的思路和冬瓜爸其实是一样的，我主要这里始终存在疑虑（6楼第2条）
    “所以当0<= k <= 857时，f(k)+2>=k   （这条得来似乎很容易，但证明已经够了！）”
  存在除了857外的其它一些数也是相差2

其实证明这个很简单，
f(k)+3>k很容易证明，
因为不等式左右两边都是整数， 所以就得到f(k)+2>=k   

不过我昨天用了个复杂的证明方法，即在5楼用的方法，
“而m=2时，有2+A(k)=2+(859/858)k -B(k) =k+(1716+k-C(k))/858
若要满足2+A(k)<k,需要(1716+k-C(k))/858<0
  即(C(k)-k-1716)/858>0
   由上述过程知 C(k)-k-1716 是858的整数倍，即C(k)-k-1716=858p (p为正整数)
   所以 C(k)=858p+1716+k > 2573 这与 C(k)<=2573矛盾”
  即m=2,不成立.

f(k)+3>k很容易证明，
因为不等式左右两边都是整数， 所以就得到f(k)+2>=k   

的确存在不是857的数，f(k)比k同样差2，这不影响结论。能如此直接得出f(k)+2>=k正是我的解法的中心。

当然证f(k)+3>k要比直接证 f(k)+2>=k容易一些，也“可信”一些。（我的解法不可信吗，呵呵）
你这个思路更好了，你这里用到了整数的离散性。真是不错。

老实说，让初中生在限时的考试里解出这题，难度不小。出题的老师很辣手！.

这题要是出成填空题，反而做起来快。
现在求解加过程，对初中生来说，在有限时间内做出来，而且要过程完整，确实不容易。
像IMO或CMO那样，4个半小时作3道题，我觉得更好一些，能够考察学生深入思考问题和分析问题的能力。.