5楼jyuntoku
(......)
发表于 2009-3-6 20:58
只看此人
回复 1#Marya 的帖子
不好意思看错题目了。正方形的话应该这样证明。
第1步 首先如果某种颜色R满足任意两行中都没有相同数量的话,那么把该种颜色在横行中的每行的个数从小到大排序,这个序列一定要满足以下条件:
a 不能有相邻的两个数的差为0,(这样就相等了)
b 不能有相邻的两个数的差大于等于2,(这样多出来的这几格的竖行中该颜色R的格子数相等。即第m横行如果比第n横行的R色格子多2个,不妨设这多的两个格子一个是mp格一个是mq格。第p竖行中R颜色格子数为比第m横行涂R格子数更多的横行个数加上1(mp格),而第q竖行中涂R颜色格子数为比第m横行涂R格子数更多的横行个数加上1(mq格),两者相等。)
所以横行中每行涂R的格子个数一定为1,2,3,4,5,,,15.(第1种情况)或者是0,1,2,,,14.(第2种情况)。否则题目的结论被满足。
第2步 第1种情况考虑涂R的格子的补集格子,将它们同样按横行中的每行个数从小到大排序,则为0,1,2,3,4,,,14。
我们考虑在横行补集格子中某种颜色G都没有相同数量,那么把该种颜色在横行补集格子中的每行的个数从小到大排序,这个序列一定要满足一下条件:
a 不能有相邻的两个数的差为0,(这样就相等了)
b 不能有相邻的两个数的差大于等于2,(这样多出来的这几格的竖行中该颜色R的格子数相等)
并且在涂R色15格的那一横行中,G色的格子数为0。
所以每个横行中涂G色的格子数一定是0,1,2,,,,14。否则题目的结论被满足。
而此时,每个横行都没有最后那种颜色即B色,题目的结论被满足。
第3步 第二种情况也同样讨论。补集是1到15,G色格子数必为0,,,14。最后还是每个横行都没有B色,题目的结论被满足。
通过上述证明发现,这道题目只要边长数大于等于颜色数,结论就不变。
[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-3-6 21:06 编辑 ].