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[数学] 求教奥数题：1×3×5。。。×1997×1999的末三位数？

1楼laomashitu2006 laomashitu2006 (......) 发表于 2009-1-14 10:50 只看此人

求教奥数题：1×3×5。。。×1997×1999的末三位数？

如题。请奥数高手解题。先谢谢了！.

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2楼阳阳妈咪ywy 阳阳妈咪ywy (......) 发表于 2009-1-14 14:29 只看此人

是不是 625 ？.

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3楼laomashitu2006 laomashitu2006 (......) 发表于 2009-1-14 14:42 只看此人

谢谢。拜托写下过程，我对这样的题很晕。

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4楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-14 15:27 只看此人

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想到第一步很关键：乘积的末三位数是多少只取决于被乘数的末三位和乘数的末三位，与之前的位数是多少无关。

然后，列表算一算，算的时候只算末三位就可以了。（如果没有想到第1步，就没法笔算了）
这样，多算几个数你就可以发现出现循环了。一般这种末位是几的题都会设计好出现循环。
然后根据循环，解出问题的答案。

当然，进一步可以考虑，有规律的正整数的乘积是否在末位都会出现循环。这个问题就比较深奥了，我也不懂，我感觉需要比较高深的数学了。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-1-14 15:33 编辑 ].

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5楼laomashitu2006 laomashitu2006 (......) 发表于 2009-1-14 15:56 只看此人

太强了，一句话点破梦中人。谢谢！.

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6楼laomashitu2006 laomashitu2006 (......) 发表于 2009-1-14 16:16 只看此人

从乘数31开始出现循环，末三位数是625，625，875，375的四节循环，由此推出
[（1999－31）/2] mod 4=0，推出末三位数是625。.

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7楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-14 16:33 只看此人

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呵呵，你还需要证明每4个数循环（其实间距为8）这个猜想成立。
不过填空题就不需要证明了。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-1-14 16:37 编辑 ].

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8楼laomashitu2006 laomashitu2006 (......) 发表于 2009-1-15 08:13 只看此人

对对对，是从从乘数25开始出现循环，末三位数是625，875，375，625，625，875，375，625的8节循环，[（1999－25）/2] mod 8=3，所以末尾数是625。jyuntiku您真是强人呀。.

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9楼tysl9719 tysl9719 (咋现就凋落) 发表于 2009-1-15 08:41 只看此人

都是高人啊.

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10楼smartwxc smartwxc (......) 发表于 2009-1-15 08:58 只看此人

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周期循环对于本题不是好方法，应该利用同余做，求末三位就是看原式除125和8的余数，容易知道原式除125除尽，除8余1（利用同余的乘法性质），所以是625.

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11楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-1-15 09:11 只看此人

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”求末三位就是看原式除125和8的余数。“
这个方法是很好，但是对于事先没有学过的同学，是不可能自己第一次就想出来的，除非是天才。而且作为一个独立思考的学生而言这个论断绝不是显然的而是需要证明的，我想这个证明不会比原题容易。

我推荐的方法虽然看起来有些麻烦，但是比较符合一般学生的认识规律。
通过亲手计算，发现循环后，再想一想这个循环为什么产生的，然后试着证明一下，就会自己总结出你说的方法了。这样做一道题目收获更大一些。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-1-15 09:13 编辑 ].