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[数学] 休闲数学小品（109＃无限困惑）

151楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2008-12-26 15:29 只看此人

回复 149#greenjyz 的帖子

更强一点的命题是：“存在无穷多个无限不循环小数”，这个也没想好该如何证。

这个问题可以用反证法证明。

假设，只有有限个（比如n个）无限不循环小数。
那么，将它们任意排列后，从第1个中取小数点后第1位的那个数以外的任意数值，从第2个中取小数点后第2位那个数以外的任意数值。。。作为一个新的小数的，小数点后第1位，第2位。。。直到第n位。
然后取第n个小数的第n+1位以后的所有位，作为那个新小数的n+1位以后的所有位。
显然，这个新的小数也是一个无穷不循环小数。（如果不是那么第n个数也不是，和条件相反。）
其次，这个新的无限不循环小数不等于之前的任何一个无限不循环小数。和假设相矛盾。.

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152楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2008-12-26 15:52 只看此人

根号(n^2+1) n>=1 不是有理数就可以存在无穷多个无限不循环小数.

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153楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2008-12-26 15:55 只看此人

回复 147#火车是运茶的的帖子

我设想的一个构造无限不循环小数的方法。

随便选0-9十个数组成小数点后前10位（顺序不限）。如 0.0123456789。
第11-20位选择为第1-10位后一个数的值（规定9后为1）。0.0123456789，1234567891。
第21-40位分别选择为第1-20位后一个数的值。（为了看清楚我用逗号分隔小数）
0.0123456789，1234567891，1234567891，2345678912。
到第80位为：
0.0123456789，1234567891，1234567891，2345678912，
1234567891，2345678912，2345678912，3456789123。

依次不断重复，即可得到一个无限不循环小数。可用数学归纳法证明。.

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154楼火车是运茶的

火车是运茶的 (碧云天，黄叶地) 发表于 2008-12-26 15:56 只看此人

回复 152#xyq2100 的帖子

没错。但是我希望看到一个纯构造性的证明，以此解开hxy007的困惑。.

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155楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2008-12-26 15:57 只看此人

回复 152#xyq2100 的帖子

恩。同意。
不过有些人在乎怎么写出那个无限不循环小数来。.

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156楼火车是运茶的

火车是运茶的 (碧云天，黄叶地) 发表于 2008-12-26 15:59 只看此人

回复 153#jyuntoku 的帖子

能否把证明写出来？.

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157楼xyq2100 xyq2100 (......) 发表于 2008-12-26 16:01 只看此人

第1个 0.011222333344444... n个 (n-1)%10 依次排列
第k个 0.01...1(2^k个)2...2(3^k个)..... n^k个 (n-1)%10 依次排列
.
.
..

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158楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2008-12-26 16:05 只看此人

回复 156#火车是运茶的的帖子

晚上我试试吧。
你也可以试试对我的命题证否。.

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159楼火车是运茶的

火车是运茶的 (碧云天，黄叶地) 发表于 2008-12-26 16:06 只看此人

回复 151#jyuntoku 的帖子

这么说，“存在无穷多个无限不循环小数”已经得到构造性的证明（这个方法也可以看做是构造性的）。

实际上，在我们构造出来一个无限不循环小数之后，立即可以得到一系列的无限不循环小数。假设刚刚构造出来的那个是第0个，那么第n(n>=1)个就是把第0个小数的小数点后第n位变动一下，如加上1（但是9要变成0）。

所以关键的问题仍然是怎么样把“第一个”无限不循环小数构造出来。.

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160楼火车是运茶的

火车是运茶的 (碧云天，黄叶地) 发表于 2008-12-26 16:09 只看此人

引用:

原帖由 xyq2100 于 2008-12-26 16:01 发表 $\"\"$
第1个 0.011222333344444... n个 (n-1)%10 依次排列
第k个 0.01...1(2^k个)2...2(3^k个)..... n^k个 (n-1)%10 依次排列
.
.
.

这是一个好办法。赞！.

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161楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2008-12-26 16:10 只看此人

回复 157#xyq2100 的帖子

这个和0.101001000100001。。。是异曲同工。.

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162楼火车是运茶的

火车是运茶的 (碧云天，黄叶地) 发表于 2008-12-26 16:11 只看此人

事实上，112楼提出来的：
0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）

就是一个无限不循环小数。.

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163楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-12-26 20:07 只看此人

回复 151#jyuntoku 的帖子

妙的!!!.

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164楼火车是运茶的

火车是运茶的 (碧云天，黄叶地) 发表于 2008-12-26 20:44 只看此人

好了，有请各位继续挑一个构造好的无限不循环小数，用严格的数学方法证明它的确是不循环的。——直观在这里不能取代证明。.

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165楼火车是运茶的

火车是运茶的 (碧云天，黄叶地) 发表于 2008-12-29 09:56 只看此人

没有人来证明啊？我来证一个：
A=0.1010010001……（两个1之间依次多一个0）

假设这是一个循环小数，循环节是X，那么X一定不能全部由0构成（否则A就要变成有限小数了），也就是说X中一定要有至少一个1。进一步，X中不能只有一个1，否则多个循环节的1之间的0的个数就不会改变了。

这样，对于某个循环节X，其最后一个（最后边）1和后边的X的第一个（最左边）1中间全是0，记这里的0的个数为a。显然，a个0连续出现在X和后边的X连接的地方。

但是我们已经知道两个1之间要依次多一个0，也就是说在两个1之间出现的连续的0的个数必须是不能重复的。这就矛盾了。因此A不可能是循环小数。.

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166楼shumi1 shumi1 (学生午餐跟公务员同标准or公务员午餐与学生同标准) 发表于 2009-6-26 09:34 只看此人

http://ww123.net/baby/viewthread ... 3D1%26cycleid%3D326.

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167楼dean1128 dean1128 (......) 发表于 2009-6-30 14:09 只看此人

看了那么多，发现有些人对于“无限多个”与“很多个”，“无穷大”与“很大的数”之间的区别没有搞清。.

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168楼dean1128 dean1128 (......) 发表于 2009-6-30 14:18 只看此人

引用:

原帖由 jyuntoku 于 2008-12-26 15:29 发表 $\"\"$
更强一点的命题是：“存在无穷多个无限不循环小数”，这个也没想好该如何证。

这个问题可以用反证法证明。

假设，只有有限个（比如n个）无限不循环小数。
那么，将它们任意排列后，从第1个中取小数点后第1位的 ...

没那个必要吧，只要存在一个x是无限不循环小数，那么x+1，x+2，x加上任何一个自然数都是无限不循环小数，自然数有无限多个，那么这样的数就能轻松找到无限多个。.

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169楼dean1128 dean1128 (......) 发表于 2009-6-30 14:35 只看此人

提一个问题，实数为什么和数轴上的点一一对应？我忘记了。.

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170楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-6-30 15:12 只看此人

回复 168#dean1128 的帖子

恩。你说的有道理，我这里的“无穷多个”以及“无限”“有限”这些词都用得不准确。自然数的个数本身就是“无穷多个”，你的构造完全没有问题。
我原来帖子这里讲的“无穷多个”时的意思是比自然数的个数（即n个，n是任意大的自然数）更多的无穷多个。.

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171楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-6-30 15:17 只看此人

回复 169#dean1128 的帖子

我的理解是：把实数和数轴上的点一一对应，是一种对实数连续性的直观地比喻性质的描述。
这样说的好处是，数轴我们看得到且容易想象，数轴的“连续性”我们可以凭借本能和直观感觉到，所以实数的连续性我们也似乎能本能地直观地感觉到了，这个实数的根本性质就变成不证自明的了。（换句话说，诱导学生自己发现并认同了实数的连续性这一公理，尽管他们完全没有意识到为什么需要这条公理。）
于是老师可以继续往下教了。

总之，这是一种为了便于教学的“方便”讲法。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:28 编辑 ].

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172楼dean1128 dean1128 (......) 发表于 2009-6-30 15:30 只看此人

引用:

原帖由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:12 发表 $\"\"$
自然数的个数（即n个，n是任意大的自然数）

这个表述有点混淆“任意大的自然数”和“无穷大”的概念。.

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173楼dean1128 dean1128 (......) 发表于 2009-6-30 15:42 只看此人

回复 170#jyuntoku 的帖子

首先，可以证明实数集不可数（就是实数比自然数个数多），方法很多，这里举一个
http://zh.wikipedia.org/w/index. ... 5&variant=zh-cn
。
然后，可以证明有理数集是可数的（就是有理数和自然数一样多）。
就可以得到无理数集不可数了。.

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174楼dean1128 dean1128 (......) 发表于 2009-6-30 15:47 只看此人

引用:

原帖由 jyuntoku 于 2009-6-30 15:12 发表 $\"\"$
恩。你说的有道理，我这里的“无穷多个”以及“无限”“有限”这些词都用得不准确。自然数的个数本身就是“无穷多个”，你的构造完全没有问题。
我原来帖子这里讲的“无穷多个”时的意思是比自然数的个数（即n个，n ...

这必须整清楚，什么叫比自然数的个数多？在你的概念里，整数、有理数、偶数、自然数哪个更多？.

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175楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-6-30 15:55 只看此人

回复 174#dean1128 的帖子

整数、有理数、偶数、自然数这几个集合的势是一样的，可以说是一样“多”。.

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176楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-6-30 15:57 只看此人

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对，就是你说的那个地方表述有问题。.

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