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[数学] 求教小三数学题

1楼苯苯龙妈妈 苯苯龙妈妈 (......) 发表于 2009-5-9 20:47 只看此人

求教小三数学题

当周长一致时，正方形与长方形哪个面积最大，如何求证？应是正方形吧，但不知如何解释？.

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2楼普通 普通 (不了解我) 发表于 2009-5-9 21:30 只看此人

假设:
周长是D
长方形的长和宽分别为A和B
正方形边长为C

则:
A+B=D/2
C=D/4

长方形面积=AB
正方形面积=(D/4)的平方=D平方/16

因为:
A平方+B平方>=2AB,
(A+B)的平方=A平方+B平方+2AB

所以:
(A+B)的平方>=4AB
即:
4AB<=(A+B)的平方=(D/2)的平方=D平方/4

所以:
AB<=D平方/16=正方形面积.

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3楼普通 普通 (不了解我) 发表于 2009-5-9 21:35 只看此人

三年级的孩子们是否学过上面解法中的一些公式呢？
如果没有学过
那么解释起来还是有难度的.

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4楼小邦妈 小邦妈 (人在旅途) 发表于 2009-5-9 21:45 只看此人

两数和相等,差越小,乘积就越大..

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5楼ccpaging

ccpaging (今天大扫除) 发表于 2009-5-9 22:41 只看此人

代数法证明
假设一个长方形的长为2A，宽为2B，那么同周长的正方形的边长为 A + B。
长方形的面积为4AB，正方形的边长为A2 + 2AB + B2. A2为A的平方。

问题被简化成：
4AB ? A2 + 2AB + B2
即 A2 - 2AB + B2 ? 0
因为 (A - B)2 >= 0
所以 A2 + 2AB + B2 >= 4AB，当且仅当 A= B时，等号成立。

由此可证，当周长一致时，当周长一致时，正方形比长方形的面积大。

以上证明要求能正确计算(A - B)2 = A2 - 2AB + B2。

动态想象
让我们从一个正方形开始。
先把高变短，因为周长不变，所以宽变长，一直可以变到高为0，这时长方形的面积为0。
重新开始，先把宽变短，因为周长不变，所以高变长，一直可以变到宽为0，这时长方形的面积为0。
因此，从变化的情况上看，我们可以做出如下猜想：
在周长一致的情况下，正方形处于面积变化的最大值，宽变短，面积逐渐减少到0，高变短，面积逐渐减少为0。

不过，这只是一个猜想，不能算是证明。

几何证明
以代数计算方式而言，存在几何证明的可能，即可以把4AB，A2, 2AB, B2所代表的长方形或正方形画出来，用挖补、填充一类地方法予以证明。

本人尚在二年级，对三年级情况不甚了解，但内心比较置疑该题的合理性。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-9 22:52 编辑 ].

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6楼苯苯龙妈妈 苯苯龙妈妈 (......) 发表于 2009-5-10 05:19 只看此人

谢谢热心的妈妈们，

.

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7楼普通 普通 (不了解我) 发表于 2009-5-10 09:59 只看此人

老师有标准答案吗？.

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8楼妤儿妈妈 妤儿妈妈 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2009-5-10 11:56 只看此人

当周长一致时，正方形的面积大。

对于三年级的孩子用实际数字来解释就比较易懂。假设正方形的边长为9cm，那么周长就是9x4=36cm.再假设长方形的长为10cm,宽为8cm,那么周长就是2x（10＋8）＝36cm.现在正方形和长方形的周长相等。而正方形的面积是9x9=81（平方厘米）。长方形的面积是10x8=80（平方厘米）。因为81（平方厘米）>80（平方厘米），所以当周长一致时，正方形的面积大。同样方法可以再次证明，长方形长7cm宽5cm.正方形边长6cm.当周长一致时，正方形的面积大。.

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9楼ccpaging

ccpaging (今天大扫除) 发表于 2009-5-10 12:32 只看此人

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 11:56 发表
对于三年级的孩子用实际数字来解释就比较易懂。假设正方形的边长为9cm，那么周长就是9x4=36cm.再假设长方形的长为10cm,宽为8cm,那么周长就是2x（10＋8）＝36cm.现在正方形和长方形的周长相等。而正方形的面积是9x9=8 ...

这个方法可以证明：“同样周长下，正方形面积比长方形面积小”这个论断是错误的。却无法证明“同样周长下，正方形面积比长方形面积大”是正确的。

不过，这可以作为引导出猜想的实例，仍然具有一定的价值。

如果楼主这道题没有“求证”的要求，只做判断的话，对三年级似乎就比较合适了。.

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10楼妤儿妈妈 妤儿妈妈 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2009-5-10 13:34 只看此人

长方形长（厘米）宽（厘米）周长（厘米）面积（平方厘米）
      11                   1                      24                         11
      10                   2                      24                            20
         9                   3                      24                            27
         8                   4                      24                         32
         7                   5                      24                         35
      正方形       边长                                           周长（厘米）       面积（平方厘米）
      6                   24                            36
从这些数据可以看出在长方形周长相等的前提下，随着长和宽的差距缩小，长方形的面积就增大。就是前面小邦妈说得：两数和相等,差越小,乘积就越大。正方形是特殊的的长方形，长和宽相同，所以结论就是：当周长一致时，正方形比长方形面积大。我想普通（三楼）说得对，对于三年级的学生没有学过的公式，解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释，才能达到效果，请苯苯龙妈妈试试这个方法，应该可行。.

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11楼妤儿妈妈 妤儿妈妈 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2009-5-10 14:02 只看此人

当周长一致时正方形面积比长方形面积大

长方形长（厘米）宽（厘米）周长（厘米）面积（平方厘米）
      11                   1                      24                         11
               10                   2                      24                         20
                  9                   3                      24                         27
                  8                   4                      24                         32
                  7                   5                      24                         35
正方形  边长（厘米）             周长（厘米）面积（平方厘米）
      6                                              24                         36
从这些数据可以看出在长方形周长相等的前提下，随着长和宽的差距缩小，长方形的面积就增大。就是前面小邦妈说得：两数和相等,差越小,乘积就越大。正方形是特殊的的长方形，长和宽相同，所以结论就是：当周长一致时，正方形比长方形面积大。我想普通（三楼）说得对，对于三年级的学生没有学过的公式，解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释，才能达到效果，请苯苯龙妈妈试试这个方法，应该可行。。我想普通（三楼）说得对，对于三年级的学生没有学过的公式，解释起来是有难度的。只有用孩子已有的知识基础进行解释，才能达到效果，请苯苯龙妈妈试试这个方法，应该可行。（不好意思，上面发出后发现数据移位，再发一次，希望成功）.

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12楼妤儿妈妈 妤儿妈妈 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2009-5-10 14:04 只看此人

不好意思

不知为什么还是移位，不好意思希望大家谅解.

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13楼zhy9411 zhy9411 (不负功夫。) 发表于 2009-5-10 16:06 只看此人

正方形是特殊的长方形

唉，数学体系啊！.

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14楼ccpaging

ccpaging (今天大扫除) 发表于 2009-5-10 18:19 只看此人

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 14:04 发表
不知为什么还是移位，不好意思希望大家谅解

编辑和显示的字体不同，不同机器上字体不一样，都会有位移。
妈妈太追求美观了。现在这样，也能看出来了。

复杂点，可以用word做表格，然后用ultrasnap一类的拷屏软件，把表格存为图像，再上传到帖子里边。

严格地说，妤儿妈妈的这种方法可以认为是这道题的由来，即我们可以通过实例观察出变化的规律，但这种规律只基于有限的实例，可以就此提出对规律的猜想，却不能作为证明。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 18:25 编辑 ].

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15楼普通 普通 (不了解我) 发表于 2009-5-10 20:46 只看此人

三年级要做这么复杂的论证题
真是！！.

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16楼ccpaging

ccpaging (今天大扫除) 发表于 2009-5-10 21:39 只看此人

以下连接讲到这个问题：
http://bbs.cersp.com/dispbbs.asp ... D=103181&page=1
潘晓明《长方形的周长和面积》教学实录与反思

以这个教学实录看是不要求证明的，只是找到这个规律，提出一个猜想。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-10 21:42 编辑 ].

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17楼芒果冰沙 芒果冰沙 (天天混着~~~) 发表于 2009-5-10 22:06 只看此人

引用:

原帖由 小邦妈 于 2009-5-9 21:45 发表
两数和相等,差越小,乘积就越大.

三年级应该学过这个,所以用这个解释最方便.

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18楼杨小兔的妈妈 杨小兔的妈妈 (今天又被兔哥欺负了!) 发表于 2009-5-10 22:15 只看此人

设定一个周长，直接进行推算就能得出正方形的面积比长方形面积大的结论了。小三的孩子完全可以做出来的。.

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19楼漂漂妈 漂漂妈 (爱阳光) 发表于 2009-5-10 22:27 只看此人

引用:

原帖由 妤儿妈妈 于 2009-5-10 14:04 发表
不知为什么还是移位，不好意思希望大家谅解

你可以在旧帖子上编辑的呀，不用发新的。另外，发帖和编辑时不要选择那个“代码模式”，选右边的“所见即所得模式”，这样帖子写的时候啥样发出来也是啥样，不会移位的。.

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20楼SophieDAD SophieDAD (......) 发表于 2009-5-11 08:58 只看此人

要想严格求证，应该不是三年级数学课所能及的。用列举的办法归纳，并不是证明。作为一个结论，让学生记住，并列举实例帮助孩子理解，是合理的。.

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21楼苯苯龙妈妈 苯苯龙妈妈 (......) 发表于 2009-5-11 09:03 只看此人

谢谢各位妈妈,我后来看了每日精练上的习题,和妈妈们的解答,心中豁然开朗,谢谢啦

.

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22楼helen-lwy妈妈 helen-lwy妈妈 (......) 发表于 2009-5-11 09:24 只看此人

周长一定时，两条边越接近面积越大.

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23楼tianba tianba (痛与不痛,一念之间) 发表于 2009-5-11 10:13 只看此人

小三的孩子......
看来我小学没毕业.

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24楼长腿MM 长腿MM (无缘大慈，同体大悲) 发表于 2009-5-11 11:19 只看此人

周长一致时，圆的面积是最大的。

偏题了

.

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25楼ccpaging

ccpaging (今天大扫除) 发表于 2009-5-11 11:33 只看此人

引用:

原帖由 小烦人MM 于 2009-5-11 11:19 发表
周长一致时，圆的面积是最大的。
偏题了

不偏，一点都不偏。这才是最最要紧的。为什么在自然界里边我们大多看到的是圆和圆球，很少看到正方形长方形？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-5-11 11:44 编辑 ].

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26楼金牛白羊 金牛白羊 (你们都是我的榜样) 发表于 2009-5-11 14:31 只看此人

昨双休日我们也做了。

设定一个具体的值就可以了，很简单了。
正方形 4 * 4 = 16
长方形（4+1）*（4-1） = 5 * 3=15

结论正方形面积大的。

让小孩从最简单的方法去理解。不用搞得很复杂.

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27楼hxy007

hxy007 (小子几岁老子就几岁) 发表于 2009-5-11 17:04 只看此人

回复 26#chang 的帖子

证明其实也不难，如果有了代数知识的话。

就照你的思路：

设正方形的边长为x,长方形的长比正形的边长长y
根据周长一样的要求，可推知，长方形的宽比正形的边长短y
所以长方形的面积S=(x+y)(x-y)=x^2-y^2
当y=0时，S=x^2（最大值）
这就意味着，周长相等的长方形中，其特殊形式（正方形）面积最大。
证毕！

这是对初中生的要求，对小学生作此要求，过分了。对小学生至多要求用上面所说的例证法证明。
高中生会学极限知识，证明会更加简捷。

[ 本帖最后由 hxy007 于 2009-5-11 20:37 编辑 ].

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