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初一中等生学数学：完全平方公式的探究式学习

小女读预初，写了一个帖子
[url]http://ww123.net/thread-4801417-1-1.html[/url]

这学期小女读初一了，利用国庆假期抽空写了一个原创的帖子

小女学校最近开始学习平方和公式了，利用国庆假期，在家小女与家长在一起对平方和公式及其进行了探究。

一、平方和公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
   
理解1：从方程角度看上述平方和公式

家长提问1：上述平方和公式可以看成几元几次方程？
小女回答：两元两次方程

家长：你的回答不严谨，应该指出具体的哪两元。
小女回答：噢，以a,b为元的两元两次方程

家长：你的回答略为严谨了，但还没有概括上述方程或等式的特点。
小女回答：我觉得已经很完整了呀，还有什么遗漏？

家长：提示一下，上述方程或等式中含不含常数项，含不含一次项，每项是几次单项式？
小女回答：不含常数项，也不含一次项，每项是2次单项式，我知道了，应该回答上述方程是以a,b为元的两元两次齐次方程。

家长：进一步再观察以下，方程或等式还有什么特点？
小女回答：不知道

家长：提示一下，a,b互换一下，上述方程或等式有什么特点？
小女回答：a,b互换一下，上述方程或等式不变。

家长：a,b互换一下，上述方程不变，这种方程叫做对称式方程
家长：也就是说“提问1：上述平方和公式可以看成几元几次方程？”严谨的回答应该是
“以a,b为元的两元两次齐次对称式方程。”

家长提问2：上述平方和公式能否看成三元一次或三元二次方程？
小女回答：可以，把a+b看做一个整体，a^2+b^2看做一个整体,ab看做一个整体就可以做到。

家长：用换元法，就可以看得更清晰，进入初一需要逐渐转向代数思维推导演算，换元法是很常用的一种方法，可以简化复杂的代数表达式，使表达式更加清晰。令
x=a+b,y=a^2+b^2,z=ab
上述平方和公式能否看成三元二次方程,x,y,z三个量只要知道其中两个就可以求第三个量。


提问3：由平方和公式如何推导出平方差公式
小女回答：可以，把平方差公式-b看作+（-b）
(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2

家长：同理，上述平方差公式也能能看成三元一次或三元二次方程，令

x=a-b,y=a^2+b^2,z=ab
x,y,z三个量只要知道其中两个就可以求第三个量。事实上
a-b，a+b ，ab ，a^2+b^2
只要知道其中任两个，就可以求出其它量。

二、由平方和公式导出的公式

1、(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
2、(a-b)^2=a^2+b^2-2ab
3、
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
a^2+b^2=(a-b)^2+2ab
a^2+b^2=[(a+b)^2+(a-b)^2]/2

4、ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2
ab=[a^2+b^2-(a-b)^2]/2
ab=[(a+b)^2-(a-b)^2]/4

5、 (a+b)^2=(a-b)^2+4ab
(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

6、a^2+b^2>=2ab
(a+b)^2-4ab>=0
当a=b时取等号

三、例题讲解

1、  已知n满足（n-2010）^2+(2011-n)^2=5,求（2011-n）（n-2010）的值。
解：令a=n-2010,b=2011-n,则a+b=1,a^2+b^2=5
（2011-n)(n-2010）=ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2=(1-5)/2=-2

2、  已知（x-y）^2+4(x-1)(y-1)=0,则x+y=2

解：令a=x-1,b=y-1,则已知条件为（a-b）^2+4ab=(a+b)^2=0
则a+b=0即x+y=2

3、  已知x^2+x+1=0,求（1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8）的值。

解：已知x^2+x+1=0，则1+x^2=-x,x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0，即x^3=1
（1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8）=(1+x)(-x)(1+x)(-x)=x^2+2+x=1

4、已知a+1/a=2,求（1）a^4+1/a^4   (2)a^2011+1/a^2011

解：（1）已知a+1/a=2，两边平方得
            a^2+1/a^2=4-2=2
上式两边再平方得
a^4+1/a^4=4-2=2

(2)因为已知 a+1/a=2>0,  a+1/a=（1+a^2）/a  >0
所以a>0,令x^2=a,y^2=1/a,xy=1,
因为x^2+y^2>=2xy=2,当x=y取等号，所以a=1/a, 因为a>0,所以a=1.
故a^2011+1/a^2011=2

5、  已知a+1/a=3,求a^7+1/a^7

解：令x=a,y=1/a
则x+y=3,xy=1
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=9-2=7
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=27-9=18
x^4+y^4=(x+y)(x^3+y^3)-xy(x^2+y^2)=3*18-7=47
a^7+1/a^7=( x^3+y^3)( x^4+y^4)-(xy)^3(x+y)=18*47-3=843

五、练习

1、已知（x+y）^2=20,(x-y)^2=40,求（1）x^2+y^2的值 (2)xy的值

2、已知 （n-2012）^2+(2013-n)^2=5,求（n-2015）(2010-n)的值

3、已知 x^2+2x+y^2+6y+10=0,求x，y的值

4、已知ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1,且ac-b^2不等于0,则a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

5、已知a^2+a-1=0,求a^3+2a^2-2015的值

6、已知a=2000x+1997,b=2000x+1998,c=2000x+1999,求a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca的值

7、已知a^2+ab+b^2=1,求ab-a^2-b^2表达式的最大值和最小值

8、因式分解：（1+ab）^2+(a-b-2)(a-b+2ab)

[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-8 09:33 编辑 [/i]].

五、练习7的解答

7、已知a^2+ab+b^2=1,求ab-a^2-b^2表达式的最大值和最小值
解：令t=ab-a^2-b^2,与已知条件a^2+ab+b^2=1，得a^2+b^2=(1-t)/2,2ab=t+1
由 (a-b)^2>=0,即(1-t)/2-(t+1)>=0,t<=-1/3,所以ab-a^2-b^2表达式的最大值=-1/3
由 (a+b)^2>=0，即(1-t)/2+(t+1)>=0，t>=-3，所以ab-a^2-b^2表达式的最小值=-3.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2统称为“完全平方公式”，“平方和公式”的说法是不规范的。.

[url]http://baike.baidu.com/view/26374.htm[/url].

数学中的“平方差公式”特指(a+b)(a-b)=a^2-b^2。.

一般不把(a+b)^2=a^2+2ab+b^2看作一个方程，而是一个恒等式。.

“两元两次齐次方程”——规范的说法是“二元二次齐次方程”。.

五、练习8的解答
8、因式分解（1+ab）^2+(a-b-2)(a-b+2ab)

解：令x=a-b-2,y=a-b+2ab,则x+y=2(ab+a-b-1),x-y=-2(1+ab)
4xy=（x+y）^2-(x-y)^2
xy=((x+y)/2)^2-((x-y)/2)^2=(ab+a-b-1)^2-(1+ab)^2
因式分解（1+ab）^2+(a-b-2)(a-b+2ab)=(ab+a-b-1)^2.

已知x^2+x+1=0,求（1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8）的值。

严格地说，方程x^2+x+1=0在初中数学中是不应该出现的，因为其中的x是虚数。

如果允许虚数的存在，那么a^2+b^2>=2ab也未必恒成立。反例：a=0，b=i（i为虚数单位）。.

递推公式一：
[attach]733238[/attach]
推论1：已知a+b和ab可以求出a^n+b^n
推论2：已知a+1/a 可以求出a^n+1/a^n
推论3：已知b/a+a/b，可以求出（b/a）^n+(a/b)^n
推论4：已知a^n+b^n和ab,可以求出a+b

[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-7 22:05 编辑 [/i]].

递推公式二：
[attach]733237[/attach].

#10 楼，#11楼的递推公式称为
牛顿等幂和公式.

乘法公式如何推导来的，明白了这个，可能会更容易理解。.

乘法公式是因式（因数）特殊的乘法:
完全平方和公式是因式（因数）相同的乘法，如果用数来表示的话，就是乘方中的平方，用式表示的话，用的是乘法定律中的分配律进行推导的。
而乘法是加法的简便运算，运算定律是从运算顺序推导出来的。
学好乘法公式是让运算简便，它的逆向是因式分解。所以学习这部分的时候，要很明确的把两者之间的互逆关系展示给孩子。.

公式4、ab=[(a+b)^2-(a^2+b^2)]/2
ab=[a^2+b^2-(a-b)^2]/2
ab=[(a+b)^2-(a-b)^2]/4
公式4叫积化和差，所以是#8楼的因式分解用到的技巧。当然#8楼的因式分解也可以用其他方法解。只是略微繁琐。.

后面要学的勾股定理的一种证明方法，赵爽弦图，从几何图形的角度来说明这些关系，也非常有趣。.

从方程的理解，我给小女也灌输了“自由度”的概念

一个关于x,y的二元一次方程，
如果不给出方程，自由度=2，
如果只给出一个方程，x,y有无穷多个解，但这个给出方程就是一个限定条件，两个未知数只要给出期中任一个，就可以知道另一个的值，所以自由度=1，
如果给出二个方程，使得方程有唯一解，则自由度=0。
举例：一个班级40位同学的身高，分别为x1,x2,......x40,给出一个限定条件：40位同学的平均身高为1.55米。
x1+x2+......+x40=1.55，自由度=39.
我问了小女一个问题：
如果两个未知数x,y，给出的限定条件是只有一个二元二次方程时，会不会出现自由度为0的情况？
我给小女做了一个解答：如果两个未知数x,y，给出的限定条件是只有一个二元二次方程时，这个二元二次方程在坐标平面上一般表示曲线，x,y 有无穷多个解，但也可能这个二元二次方程在坐标平面上表示的是一个点。如果

这个二元二次方程在坐标平面上表示的是一个点，x,y,的解唯一。即出现自由度为0的情况。


解题需要知识铺垫，再来看
五、练习4、已知ax+by=1,bx+cy=1,cx+ay=1,且ac-b^2不等于0,则a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

x,y两个未知数，但给出了三个限制条件，解题思路是由已知ax+by=1,bx+cy=1，解出x,y,然后将解代入cx+ay=1，化简后得证。


再来看五、练习3、已知 x^2+2x+y^2+6y+10=0,求x，y的值，
解题思路：一个二元二次方程有唯一解，说明这个二元二次方程表示一个点，即（x-a）^2+（y-b)^2=0的形式。用配方法去配成两个平方。.

百度“自由度”
[url]http://baike.baidu.com/view/327514.htm[/url]

自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数.

:victory: ，好好学习一下！.

......

[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:38 编辑 [/i]].

......

[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:37 编辑 [/i]].

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[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-30 16:18 编辑 [/i]].

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[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:37 编辑 [/i]].

......

[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:38 编辑 [/i]].

......

[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:36 编辑 [/i]].

[attach]733670[/attach].

[attach]733671[/attach].

[attach]734511[/attach].

2012全国初中数学竞赛（副题）第11题
[attach]734570[/attach].

2012全国初中数学竞赛副题，见下图

[attach]734574[/attach].

唉，太难了。

[[i] 本帖最后由 ccpaging 于 2012-10-14 18:16 编辑 [/i]].

回复 31楼ccpaging 的帖子

同意，现在怎么初一就这么难了，象我这样已经遗忘了一大半公式的人还要重新拾起来辅导女儿，还不知道自己讲得女儿听不听得明白，真累人:'(.

[attach]736163[/attach]


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[attach]736162[/attach]

[[i] 本帖最后由 lily503 于 2012-10-24 08:39 编辑 [/i]].

[:sz13:].

收藏下.