炫炫爸 2010-10-29 10:42
初一数学2010-10-29
初一数学2010-10-29.
炫炫爸 2010-10-29 18:24
不好意思，可能题目有误
x^8+98x^4Y^4+y^8
[[i] 本帖最后由 炫炫爸 于 2010-10-29 18:25 编辑 [/i]].
冬瓜爸爸 2010-10-31 00:12
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这是齐8次多项式。而且也是轮换对称式。可以用待定系数法来分解。
设原式可以分解为 （x^4+a1x^3y+a2x2y2+a3xy3+y4) (x4+b1x3y+b2x2y2+b3xy3+y4) ， 这里有6个未知数。
【 当然还需要讨论分解为（x^4+a1x^3y+a2x2y2+a3xy3 -y4) (x4+b1x3y+b2x2y2+b3xy3 -y4) 的情况，这里略 】
这个齐8次多项式展开后有9项，分别是x8, x7y,..., xy7,y8,其中6项的系数为0，首项系数1，中间x4y4系数98，末项系数1。
可得
a1+b1=0 x7y的系数
a3+b3=0 xy7的系数
a2+b2+a1b1=0 x6y2的系数
a2+b2+a3b3=0 x2y6的系数
a3+b3+a1b2+a2b1=0 x5y3的系数
a1+b1+a3b2+a2b3=0 x3y5的系数
1+1+a2b2+a1b3+a3b1=98 x4y4的系数
解上述方程，需要一点小技巧，容易得出 b1=-a1,b2=a2,b3=-a3 (由于a与b也是对称的，不妨设a1>=0)
于是 a2^2-2a1a3=96,且 2a2=a1^2=a3^2, 解这个关于a1,a2,a3的方程，得两组解
（4,8,-4), 或者（2根号6,12,2根号6）（-2根号6,12，-2根号6），这样b1,b2,b3也分别解出了（-4,8,4），（-2根号6,12，-2根号6），（2根号6,12,2根号6）
于是可以分解为
（x^4+4x^3y+8x2y2-4xy3+y4) (x4+4x3y+8x2y2-4xy3+y4)
或者可以分解为 （x^4+2根号6x^3y+12x2y2+2根号6xy3+y4) (x4-2根号6x3y+12x2y2-2根号6xy3+y4).
冬瓜爸爸 2010-10-31 00:21
回复 3#炫炫爸 的帖子
炫炫爸，
见我4楼的帖子，你大概也没有料到，这个8次对称式居然有两个不同的分解结果！！
我解开以后，我自己也觉得很意外。一个是整系数的分解，一个是实系数的分解。怎么会这样呢......
可是，难道我的结果不对吗？
另外4楼提到 （x^4+a1x^3y+a2x2y2+a3xy3 -y4) (x4+b1x3y+b2x2y2+b3xy3 -y4) 的情况，还需要讨论，也许还有分解的结果。那就辛苦你了..... 我搞到这么晚，[tt29] 了。.