小老虎他爸 2010-8-4 12:02
是我错了吗?
若1/X +1/Y +1/Z =1/(X+Y+Z)，证明:1/X^2009 +1/Y^2009 +1/Z^2009 =1/(X^2009 +Y^2009 +Z^2009 )
LJ的谋杀脑细胞之题[tt35] ，除了相对正规的方法，即对条件通分后提取公因式，得出X、Y、Z必有一对相反数后得证外，我还有一种做法，但做完后有疑惑，不能说服自己。然而LJ的徒弟认可我的做法，因此产生纠结，请高人指点迷津。
原式变化为：1/X +1/Y =1/(X+Y+Z)-1/Z
===> （X+Y）/XY = -（X+Y）/（X+Y+Z）Z
===> XY = -（X+Y+Z）Z ----（1）
由原式对称性同理有：
XZ = -（X+Y+Z）Y ----（2）
YZ = -（X+Y+Z）X ----（3）
（2）+（3），有 XZ+YZ = -（X+Y+Z）（Y+X），即:Z = -X-Y-Z，即Z=-（X+Y）/2
代入1/X +1/Y = 1/(X+Y+Z)-1/Z，有：
1/X +1/Y = 4/（X+Y） ===> （X+Y）^2=4XY ===> (X-Y)^2=0 ===> X=Y
则Z=-X 或 Z=-Y ，已得证。
看起来证毕的样子，但是如果过程中不用（2）+（3），而换一组，根据对称性，应可得到类似 Y=Z，X=-Y=-Z 的结果，虽然也能证明出来，但是这岂不是说 Y和Z 一种过程是相反数，另一种过程就是相等？
LJ的徒弟说我的纠结是多余的，因为X、Y、Z只是形式只是符号，对称性说明他们互换时是一致的，重要的是必存在相反数。
虽然他在帮我圆场，但我仍然觉得怪怪的，如果是我错了，错在哪里呢？如果是对的，难道是他的说法？不能说服我啊[tt27]
请高人指点。LJ如路过，请棒喝。.
格妈妈 2010-8-4 14:59
原式变化为：1/X +1/Y =1/(X+Y+Z)-1/Z
===> （X+Y）/XY = -（X+Y）/（X+Y+Z）Z
===> XY = -（X+Y+Z）Z ----（1）
你在这一步已经假定（X+Y）不等于0了。
实际上应该是或的关系。
X+Y=0 或 XY = -（X+Y+Z）Z
所以后面的推导均存在漏洞，导致推理不严密，出现似是而非的结果。.