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新知杯培训题 - 求助

求所有使2k^2+3k+2为完全平方数的正整数k.

[[i] 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-1-26 16:30 编辑 [/i]].

各位牛老师和牛家长，请帮我一下。.

提供思路，供参考。

2k^2+3k+2=m^2
得(k+1)(2k+1)=(m-1)(m+1)
为简便，用p=k+1代替k，用n=m-1代替m,
得 p(2p-1)=n(n+2)
这里p和2p-1互质

(1) p为偶数，则n必为偶数
   设n=2q
   p(2p-1)=2q(2q+2)=4q(q+1)
   因p为偶数,2p-1为奇数，且q,q+1互质
   得(p/4)*(2p-1)=q(q+1)
   必有p/4=q 和 2p-1=q+1
    即 8q-1=q+1，得7q=2
  故此种情况部成立

(2)p为奇数，则n必为奇数
   因为n,n+2互质
   必有 p=n 和 2p-1=n+2
   解得，p=3
   即 k=2

[[i] 本帖最后由 童爸0928 于 2010-1-27 17:17 编辑 [/i]].

回复 3#童爸0928 的帖子

童爸，非常感谢你花时间解这题，对你的功力很佩服。我觉得你的这个“必有”不是很容易理解，不知道这道题是否合适给初中生来做。

这里另有一题，是新知杯07年填空第10题，贴给你看看，相信你一定能做出来。既然是考题，一定是适合初中生的了。

使得 p(p+1)/2 + 1 是完全平方数的所有质数p为 ________..

回复 4#冬瓜爸爸 的帖子

冬瓜爸太客气了，我有时也现学现卖。
上题的“必有”确实用的不严密，这个“必有”需要证明的（反证法可证明出答案小于1或非整数，其它方法也可证明的出）。

这个题答案是2,5

做法和上题类似,就是简单了些。这题也是要知道两个大于1的连续自然数互质，（上个题还要知道两个连续奇数互质）

p(p+1)/2+1=m^2
得p(p+1)/2=(m-1)(m+1)

(1)p是偶数,有
  (p/2)(p+1)=(m-1)(m+1)
  p,p+1互质,所以p/2,p+1互质,m-1,m+1互质
  所以 p/2=m-1 和 p+1=m+1
  解得 p=2
(2)p是奇数,有
  ((p+1)/2)*p=(m-1)(m+1)
  同理,(p+1)/2=m-1和 p=m+1
  解得,p=5

[[i] 本帖最后由 童爸0928 于 2010-1-28 10:33 编辑 [/i]].

新知杯似乎很喜欢考完全平方数..

这样可以吗?

用因式分解做
解:令2k^2+3k+2=X^2
两边减1  2k^2+3k+1=x^1-1
              (2k+1)(k+1)=(x-1)(x+1)
            ∵k>0(正整数)   又∵2k+1>k+1  x+1>x-1
            ∴2k+1=x+1  k+1=x-1
联立方程组 x=2k
                      x=k+2
唯一解k=2,满足正整数条件

这样做对吗?我是低年级学生,请多多指教^_^.

回复 7#好大一只猫 的帖子

这样做不可以，联立方程不严密。

[[i] 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-1-29 16:41 编辑 [/i]].

回复 5#童爸0928 的帖子

我不知道怎么说，感觉不很踏实。
我举个例子吧，
比如11, 105互质，又有33，35互质
11*105=33*35
所以我们不能根据两个互质的奇数乘积相等，就判断它们对应相等。
我对“必有”的不舒服，就是来自这里。.

就按照7楼的思路,简单证明一下第一个题,供参考。原来我第一题作得稍复杂了点。
第二个题需要分奇偶数讨论,证法类似

(2k+1)(k+1)=(x-1)(x+1)
首先这里2k+1,k+1互质, x-1,x+1互质
另外,假设还有其它解
(1) 若p(p>1)是k+1因子,则有
   ((k+1)/p)*(p(2k+1))=(x-1)(x+1)
   必存在一个p满足
    (k+1)/p=x-1 和 p(2k+1)=x+1
   解得 k=(p-1)/(2p^2+1)<1
   所以矛盾
(2)若p(p>1)是2k+1的因子,则有
   ((2k+1)/p)*(p(k+1))=(x-1)(x+1)
   必存在一个p满足
    (2k+1)/p=x-1  和 p(k+1)=x+1
   得  k=(2p-p^2+1)/(p^2-2)
   分子 2p-p^2+1=-(p-1)^2+2
   可知,p>=3时,分子<0,所以不成立
   对于p=2,解得k=3/2,不是整数解

[[i] 本帖最后由 童爸0928 于 2010-1-28 15:22 编辑 [/i]].

回复 9#冬瓜爸爸 的帖子

第二个题除了除了类似第一个题的证法（虽然思路简单，但比较繁琐），另提供一个思路，供参考
a*b=c*d
d-c=2
若a存在一个因子q（q>=2)
(a/q)*(qb)=c*d
无论q怎么配，都会导致qb-a/q > 2
所以矛盾（与d-c=2矛盾），
因此，无论怎样都找不到qb=c,a/q=d，所以q=1

[[i] 本帖最后由 童爸0928 于 2010-1-28 16:56 编辑 [/i]].

回复 8#冬瓜爸爸 的帖子

知道了,谢谢!.

回复 10#童爸0928 的帖子

这个证明法严密。可以作为正解！.

回复 13#冬瓜爸爸 的帖子

其实用第二个证法也可以，左边无论怎么配，两数之差都大于2。而右边两数之差等于2。.