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一道概率题

经理给7个员工发工资卡，他把7张卡放在桌上，这7个员工每人从中随手抽一张，竟然没有一个人抽到自己的卡，问这种情况的概率有多大？

[[i] 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-1-13 17:52 编辑 [/i]].

提供一个思路，不知是否正确。可能计算过程存在问题。
还有些其它方法，思路有些类似，也需要找到递推式。

先假设只有1个员工，没人拿到自己卡的可能数为0，记 X(1)=0
只有2个员工，没人拿到自己卡的可能数 X(2)=1
只有3个员工，没人拿到自己卡的可能数
X(3)=所有可能数-1个员工拿到2个员工没拿到 - 2个员工拿到1个员工没拿到 - 3个全拿到
     =3!- C(3,1)*X(2) - C(3,2)*X(1) -1 = 6-3-1= 2
只有4个员工，没拿到自己卡的可能数
X(4)=所有可能数-1个员工拿到3个员工没拿到 - 2个员工拿到2个员工没拿到-...-4个全拿到
     =4!-C(4,1)*X(3)-C(4,2)*X(2)-C(4,3)*X(1)-1
     =24-8-6-1=9
只有5个员工，没拿到自己卡的可能数
X(5)=所有可能数-1个员工拿到4个员工没拿到 - 2个员工拿到3个员工没拿到-...-5个全拿到
     =5!-C(5,1)*X(4)-C(5,2)*X(3)-C(5,3)*X(2)-C(5,4)*X(1)-1
     =120-45-20-10-1=44
只有6个员工，没拿到自己卡的可能数
X(6)=所有可能数-1个员工拿到5个员工没拿到 - 2个员工拿到4个员工没拿到-...-6个全拿到
     =6!-C(6,1)*X(5)-C(6,2)*X(4)-C(6,3)*X(3)-C(6,4)*X(2)-C(6,5)*X(1)-1
     =720-264-135-40-15-1=265
只有7个员工，没拿到自己卡的可能数
X(7)=所有可能数-1个员工拿到6个员工没拿到 - 2个员工拿到5个员工没拿到-...-7个全拿到
     =7!-C(7,1)*X(6)-C(7,2)*X(5)-C(7,3)*X(4)-C(7,4)*X(3)-C(7,5)*X(2)-C(7,6)*X(1)-1
     =5040-1855-924-315-70-21-1=1854

所以概率=1854/7!=36.79%.

回复 2#童爸0928 的帖子

你的解法和我的解法如此一样，以至于我笑了出来。
我之所以把这题贴出来，是嫌我的解法不好，来寻求精简的解法的。结果来了一个和我一样的。
我们俩还是相视一笑吧。

这题数学模型简单，但求解意外复杂，有趣。

[[i] 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-7-16 18:44 编辑 [/i]].

回复 3#冬瓜爸爸 的帖子

哈哈，只有靠递推式了。
简洁的方法暂时还想不出来，看到这题，想用简洁的方法，发现行不通，没想到和你的方法完全一样。.

回复 4#童爸0928 的帖子

给你讲一个故事。
多年前，在Toronto，有一个人要去另一个城市Wellington面试。他自己没车，就坐长途车去。在Toronto长途车站，他买票时看见有一个年龄相仿的中东小伙也要买票，两人相视一笑（老外都这样的，国内的陌生人相互照面时脸上像刮了浆糊一样的）。买了票候车，又看见这人也到了同一侯车区，又相视一笑。等上了车，那人果然也上来了。这人就问中东小伙是不是也去Wellington, 小伙说“ahhhh....yes. You too?”又一笑。"For an interview? Me too"又一笑。那人马上意识到，两人可能是去同一家公司面试的了，再问， "XXX company?" 还是笑，果然！然后那人就不好意思再问下去了。

这个算是奇遇了吧。我看见你的解法，多年前的感觉又回来了。哈哈。

[[i] 本帖最后由 冬瓜爸爸 于 2010-1-14 13:47 编辑 [/i]].

回复 5#冬瓜爸爸 的帖子

早上看到这个题，粗略的想了想其它方法，就直奔这个方法而来，没想到和你的想法要不谋而合，大概是你的思路吸引我用了你的思路。我们一把年纪，要不是为了儿女，估计也不大会做这些题了。有的时候几个好手一起做做题，感受一下互相思想的碰撞，确实挺有趣的。.

初中题目，我要去反思自己在大学是怎么考过概率论的。。。。。.

回复 7#hanh 的帖子

同样反思中。。。。。。:L.

给个想法， 供参考：
定义f(x,x) : 表示x个人抽取x张工资卡(x张工资卡分别属于这x个人）都没有抽到自己的可能的情况总数。
    f(x,x-1):  表示x-1个人从x张工资卡（其中x-1张是这x-1个人的，另外一张不是他们x-1个人之中任何一个人的)中分别抽一张，都没有抽到自己的可能的情况总数。
根据定义有（推理略）：
如果x个人抽取，都不能抽到自己的，第1个人开始抽，他可以抽x-1种卡。假设第1个人抽到第n张卡，则除了第1和n个人之外，其他x-2个人可以抽取x-1张卡。由于第n个人的卡已经被第1个人取走，第n个人可以取任何情况下的剩余最后一张而不会取到自己的工资卡。
根据前面的分析可以得到： 对于x个人抽取x帐卡情况，第一个人可以抽取x-1种情况下，剩余的x-1张卡被x-2人抽，最后一张给第1个人抽走工资卡的人。
这样可以得到： f(x,x) =(x-1)f(x-1,x-2)

对于x-1个人抽取x张卡的情况：
  剩余一张卡有两种情况：
1）不属于x-1个人。这种情况下，可能的情况等价于x-1个人抽x-1张卡的情况。
2） 剩余的卡是x-1个人其中的一个的。这个剩余的卡有x-1种情况， 然后剩余的情况数目等价于x-2个人抽x-1张卡的情况。  
根据这个分析可以得到：
f(x,x-1)=f(x-1,x-1)+(x-1)f(x-1,x-2)  

根据f(2,1) =1,f(2,2)=1, 得到：
f(3,2)=f(2,2)+2f(2,1)=3;
f(3,3)=2f(2,1)=2;
f(4,3)=f(3,3)+3f(3,2)=11;
f(4,4)=3f(3,2)=9;
f(5,4)=f(4,4)+4f(4,3)=53;
f(5,5)=4f(4,3)=44;
f(6,5)=f(5,5)+5f(5,4)=309;
f(7,7)=6f(6,5)=1854。
。。。

7个人都没有抽到自己工资卡的可能的情况有1854种，所有抽取的可能情况是7！次，则概率为1854/7！









[quote]原帖由 [i]冬瓜爸爸[/i] 于 2010-1-13 17:50 发表 [url=http://ww123.net/baby/redirect.php?goto=findpost&pid=6477470&ptid=4702329][img]http://ww123.net/baby/images/common/back.gif[/img][/url]
经理给7个员工发工资卡，他把7张卡放在桌上，这7个员工每人从中随手抽一张，竟然没有一个人抽到自己的卡，问这种情况的概率有多大？ [/quote].

回复 1#冬瓜爸爸 的帖子

[[i] 本帖最后由 jyuntoku 于 2010-1-16 17:34 编辑 [/i]].

回复 9#alphax16 函数

你定义的函数的确是解决这类概率问题的有效工具。
你的函数是一类递归函数，多年前我们在念书的时候，我记得为递归函数的程序求解做过一个练习的。当时老师给我们的递归函数是叫ackerman function.
你定义的Alphax16 函数可以给现在的学生们来学递归用了。哈哈。
你的函数为这类问题提供了计算机解法。具有一般意义。

我怀疑这道概率题放在初中版是不是有点不合适。.

我记得当人数趋向于无穷大的时候，这个概率趋向于1/e。.

如果递归的话。
假设n个人的情况是f(n)
那么容易得到f(n+2)=(n+1)(f(n+1)+f(n)).

回复 13#老猫 的帖子

楼上的递推公式把2楼的讨论进行了精彩的归纳。献花！
可以用数学归纳法证明，对
f(n)=n!-C(n,1)f(n-1) - C(n,2)f(n-2) - ... - C(n,n-1)f(1)-1    （该等式的数学意义直观易懂，缺点是计算复杂）
存在f(n+2)=(n+1)(f(n+1)+f(n))  
这就是楼上给出的递推公式。.